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Im Schnittpunkt ist y gleich y
Grafisch abgelesen wird der Schnittpunkt ungenau, sobald er nicht auf einem Gitterpunkt liegt. Das Gleichsetzungsverfahren liefert ihn rechnerisch und exakt.
- Idee:beide Gleichungen geben an, wie groß \(y\) an der Stelle \(x\) ist.
- Schnittpunkt:nur dort liefern beide Vorschriften denselben y-Wert.
- Gleichsetzen:aus \(y = 2x - 1\) und \(y = -x + 5\) wird \(2x - 1 = -x + 5\).
- Gewinn:aus zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten wird eine mit nur noch \(x\).
Merke
Gleichsetzen: \(y = m_1 x + b_1\) und \(y = m_2 x + b_2 \;\Rightarrow\; m_1 x + b_1 = m_2 x + b_2\)
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Das Verfahren in vier Schritten
Das Gleichsetzungsverfahren eignet sich besonders, wenn beide Gleichungen schon nach \(y\) aufgelöst sind.
- 1. Auflösen:beide Gleichungen nach derselben Variablen auflösen.
- 2. Gleichsetzen:die beiden rechten Seiten gleichsetzen.
- 3. Lösen:die entstandene Gleichung nach \(x\) auflösen.
- 4. Einsetzen:\(x\) in eine Ausgangsgleichung einsetzen, \(y\) berechnen, Probe machen.
Merke
Ergebnis: Schnittpunkt \(S(x \mid y)\) — die Lösungsmenge ist \(L = \{(x \mid y)\}\)
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Allgemeine Hinweise
y nicht vergessen
Mit \(x = 2\) bist du erst halb fertig. Die Lösung eines LGS ist immer ein Zahlenpaar.
Einfachere Gleichung wählen
Setze \(x\) in die Gleichung ein, mit der du leichter rechnest. Mit der anderen machst du die Probe.
Sonderfälle erkennen
Fällt \(x\) beim Lösen ganz weg, gibt es keine Lösung (falsche Aussage) oder unendlich viele (wahre Aussage).