Dreißig Aufgaben zum Einsetzungsverfahren — vom sauberen Isolieren über die Klammer beim Einsetzen bis zu den Sonderfällen. Die Aufgaben A1 bis A20 kannst du direkt auf dieser Seite anklicken, ziehen oder eintippen; sie geben dir sofort eine Rückmeldung. Ab A21 rechnest du wie in der Klassenarbeit auf Papier und trägst nur noch dein Ergebnis ein. Jede dieser Aufgaben hat drei gestufte Hilfen: Der erste Tipp zeigt dir die Richtung, der zweite den entscheidenden Rechenschritt, der dritte die vollständige Lösung mit Probe. Öffne den dritten Tipp bitte erst, wenn du wirklich festhängst — der Lerneffekt steckt im eigenen Versuch.
Die Chips an jeder Aufgabe zeigen dir das Anforderungsniveau: AFB I heißt wiedergeben und direkt anwenden, AFB II heißt selbst entscheiden und umformen, AFB III heißt begründen, rückwärts denken oder einen Sonderfall durchschauen. Aufgaben mit dem Chip Mix mischen bewusst Wissen aus mehreren Unterkapiteln — genau so kommt es später auch in der Klassenarbeit vor. Der Balken oben zeigt dir jederzeit, wie viele Aufgaben du schon gelöst hast.
A1
Was stimmt über das Verfahren?
AFB I
Kreuze alle Aussagen an, die auf das Einsetzungsverfahren zutreffen.
Mehrere Antworten sind richtig. Markiere alle zutreffenden und klicke dann auf „Prüfen“.
Genau das ist der Vorteil gegenüber dem Gleichsetzungsverfahren: Du musst nur eine Gleichung umformen. Nach dem Einsetzen hast du aber erst eine Koordinate — die zweite folgt in der Rücksubstitution.
A2
Stimmt das?
AFB I
Entscheide bei jeder Aussage, ob sie stimmt.
Fünf Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann startest du die Serie mit „Neue Runde“ neu.
Aussage 1 von 5
Zwei Merksätze stecken darin: Der Term gehört immer in die andere Gleichung, und ein Faktor vor der Variablen verlangt eine Klammer.
A3
Der Rechenweg als Lückentext
AFB I
Setze die Fachbegriffe an die richtigen Stellen. Zwei Wörter bleiben übrig.
Wort anklicken, dann Lücke anklicken (oder umgekehrt) — mit Tab und Enter geht es genauso. Ein Klick auf eine gefüllte Lücke legt das Wort zurück.
Beim Einsetzungsverfahren musst du zuerst in einer Gleichung eine Variable . Den entstandenen Term setzt du dann in die Gleichung ein. Steht dort ein Faktor davor, brauchst du eine . Die neue Gleichung enthält nur noch eine . Ist sie gelöst, folgt die , und zum Schluss machst du die in beiden Gleichungen.
Zwei Wörter bleiben übrig: Steigung und Nullstelle beschreiben die Gerade, nicht den Rechenweg. Die sechs eingesetzten Begriffe sind genau die fünf Schritte des Verfahrens.
A4
Die fünf Schritte ordnen
AFB I
Bringe die Arbeitsschritte des Einsetzungsverfahrens in die richtige Reihenfolge.
Ziehe die Karten in die richtige Reihenfolge — mit der Tastatur: ↑/↓ verschiebt, Shift+↑/↓ wechselt nur den Fokus.
1Eine Gleichung nach einer Variablen mit Koeffizient 1 auflösen.
2Den Term in die andere Gleichung einsetzen — mit Klammer, wenn ein Faktor davorsteht.
3Die Klammer ausmultiplizieren und zusammenfassen.
4Die entstandene Gleichung nach der verbliebenen Variablen auflösen.
5Rücksubstitution, Probe in beiden Gleichungen, Lösungsmenge notieren.
Der häufigste Fehler ist, Schritt 3 zu überspringen und sofort zusammenzufassen. Erst ausmultiplizieren, dann gleiche Glieder addieren — sonst verschwindet ein Vorzeichen.
A5
Wie günstig ist die Gleichung?
AFB I
Sortiere jede Gleichung danach, wie leicht sich daraus ein Term zum Einsetzen gewinnen lässt.
Ziehe jede Karte in den passenden Korb — oder wähle sie mit Enter aus und drücke dann die Ziffer des Korbs (0 legt sie zurück).
1sofort einsetzbar
2erst umformen, ohne Brüche
3Umformen führt auf Brüche
Der Blick geht immer auf die Koeffizienten: Steht eine Variable schon allein, kannst du sofort einsetzen. Steht vor ihr eine 1 oder eine −1, ist das Umformen bruchfrei. Bei allen anderen Zahlen entstehen Brüche.
A6
Rechenkette: I: y = x + 3, II: 2x + 3y = 19
AFB II
Löse das System Schritt für Schritt. Jeder Schritt schaltet den nächsten frei.
Rechne die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft.
Setze y = x + 3 in II ein und löse nach x auf. Wie groß ist x?
Berechne mit der Rücksubstitution das y. Wie groß ist y?
Probe in II: Welchen Wert liefert 2 · 2 + 3 · 5?
Wie viele Lösungen hat dieses System?Lösung
Der Rechenweg: 2x + 3 · (x + 3) = 19 → 2x + 3x + 9 = 19 → 5x = 10 → x = 2. Damit ist y = 2 + 3 = 5 und L = {(2 | 5)}.
A7
Nur das y
AFB I
Gegeben ist I: x = y + 4 und II: 2x + y = 14. Welchen Wert hat y?
Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.
Gleichung I liefert den Term für x. Einsetzen in II: 2 · (y + 4) + y = 14 → 2y + 8 + y = 14 → 3y = 6 → y = 2. Zur Kontrolle: x = 2 + 4 = 6 und 2 · 6 + 2 = 14 ✓.
A8
Welches x gehört zu welchem System?
AFB II
Setze den Term aus Gleichung I in Gleichung II ein und bestimme so das x. Setze dann das Kreuz.
Setze in jeder Zeile das passende Kreuz — hier ist es genau eins pro Zeile. Enter setzt und löscht.
System
x = 1
x = 2
x = 3
x = 4
I: y = x + 1, II: 3x + 2y = 12
I: y = 2x + 3, II: x + y = 6
I: y = 3x − 8, II: x + 2y = 12
I: y = 4 − x, II: 3x − y = 4
I: y = 2x, II: 5x − 2y = 3
Die Rechnungen: 3x + 2(x + 1) = 12 → x = 2 · x + (2x + 3) = 6 → x = 1 · x + 2(3x − 8) = 12 → x = 4 · 3x − (4 − x) = 4 → x = 2 · 5x − 2 · 2x = 3 → x = 3. Vergiss in Zeile 4 die Klammer nicht: −(4 − x) wird zu −4 + x.
A9
System und Lösung verbinden
AFB II
Verbinde jedes Gleichungssystem mit seinem Lösungspaar.
Klicke links ein System an und dann rechts seine Lösung — es entsteht eine Verbindungslinie. Mit der Tastatur: Enter zum Auswählen, ↑/↓ zum Wandern.
Zwei Paare haben dasselbe x (2 | 6) und (2 | 3), zwei dasselbe y. Du kommst hier also nicht mit halben Rechnungen durch — rechne jedes Mal beide Koordinaten aus.
A10
Memory: Begriff und Bedeutung
AFB I
Finde die acht Paare aus Fachbegriff und Erklärung.
Decke zwei Karten auf, die zusammengehören. Mit der Tastatur: Tab zur Karte, Enter aufdecken, Pfeiltasten zum Wandern.
Versuche: 0 von 16
Die letzte Karte ist die wichtigste: 0 = 0 bedeutet nur dann „unendlich viele Lösungen“, wenn du den Term in die andere Gleichung eingesetzt hast.
A11
Gleichsetzen oder Einsetzen?
AFB II
Welche Aussage gehört zu welchem Verfahren — oder zu beiden?
Ordne jede Aussage einem der drei Bereiche zu. Mit der Tastatur: Enter zum Auswählen, dann 1–3 für den Bereich, 0 zurück.
1 nur Gleichsetzen
2 beide Verfahren
3 nur Einsetzen
Beide Verfahren führen zum selben Lösungspaar. Der Unterschied ist nur die Vorarbeit: zweimal umformen und vergleichen — oder einmal umformen und ersetzen.
A12
Fehlersuche: I: y = 2x − 1, II: 3x + 4y = 18
AFB II
Ein Mitschüler hat so gerechnet. Markiere alle Zeilen, die einen Fehler enthalten.
In dieser Lösung stecken Fehler. Klicke genau die falschen Zeilen an — die richtigen musst du stehen lassen.
Drei Fehler, und alle drei hängen zusammen: Die fehlende Klammer erzeugt den falschen Term, der falsche Term erzeugt das falsche x — und die halbe Probe deckt beides nicht auf.
A13
Miras Rechenweg
AFB II
Begleite Mira durch die Aufgabe und wähle in jedem Schritt die richtige Fortsetzung.
Spiele den Ablauf Schritt für Schritt durch: Was passiert als Nächstes? Nur die richtige Karte bringt dich weiter.
Der komplette Ablauf: einsetzen → Klammer ausmultiplizieren → zusammenfassen und auflösen → Rücksubstitution und Probe. Der zweite Schritt ist die häufigste Fehlerquelle.
A14
Entscheidungsbaum: Wie gehst du vor?
AFB II
Vor dir liegt I: 3x + y = 11 und II: 5x − 2y = 11. Arbeite dich durch den Baum, bis du beim passenden Vorgehen landest.
Beantworte die Fragen des Entscheidungsbaums mit Ja oder Nein und schau, wo du herauskommst.
Für dieses System landest du beim Isolieren von y in Gleichung I: y = 11 − 3x. Einsetzen in II ergibt 5x − 2 · (11 − 3x) = 11 → 11x = 33 → x = 3 und y = 2.
A15
Lösungsweg zusammenbauen
AFB II
Baue den vollständigen Lösungsweg für I: y = x − 4 und II: 3x + 2y = 17. Zwei Bausteine sind falsch und bleiben übrig.
Setze den Lösungsweg von oben nach unten zusammen. Ein Klick legt den Baustein auf den nächsten freien Platz, ein Klick im Bauplan legt ihn zurück. Enter funktioniert genauso.
Die beiden Fallen sind Klassiker: die halb ausmultiplizierte Klammer (2 · (−4) = −8, nicht −4) und die vertauschten Koordinaten. In der Lösungsmenge steht immer erst x, dann y.
A16
Erst isolieren, dann das x bestimmen
AFB III
In keinem der Systeme ist eine Variable schon isoliert. Bestimme trotzdem die x-Koordinate der Lösung.
Wähle für jede Zeile die x-Koordinate der Lösung: 1 = x ist 1, 2 = x ist 2, 3 = x ist 3, 4 = x ist 4, 5 = x ist 5. Mit der Tastatur: Tab zur Zeile, ←/→ zwischen den Stufen, Enter setzt.
1 = x ist 15 = x ist 5
I: x + y = 7 und II: 2x − y = 5
I: x − y = 1 und II: 3x + 2y = 23
I: 2x + y = 8 und II: x + 3y = 9
I: y − 2x = 3 und II: 4x + y = 9
I: x + 2y = 8 und II: 3x − y = 3
In jeder Zeile musst du zuerst isolieren: y = 7 − x, x = y + 1, y = 8 − 2x, y = 2x + 3 und x = 8 − 2y. Achte danach auf das Minus vor der Klammer — in Zeile 1 wird aus 2x − (7 − x) der Term 2x − 7 + x.
A17
Welcher Schritt ist gemeint?
AFB II
Fünf Fragen zum Ablauf des Verfahrens. Klicke jeweils den passenden Schritt im Schema an.
Klicke den gesuchten Schritt im Schema an. Mit der Tastatur: Tab oder Pfeiltasten zum Wandern, Enter zum Auswählen.
Schritt 4 ist der entscheidende: Steht dort noch eine Variable, gibt es genau eine Lösung. Fällt sie weg, bleibt eine wahre oder falsche Aussage übrig — und damit unendlich viele oder gar keine Lösung.
A18
Rückwärts: den fehlenden Wert finden
AFB III
Von einem System kennst du nur Gleichung II: x + 2y = 13 und die Form von Gleichung I: y = 3x + a. Bekannt ist außerdem, dass die Lösung die x-Koordinate x = 1 hat.
Rechne die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft.
Setze x = 1 in II ein: 1 + 2y = 13. Wie groß ist y?
Setze x = 1 und y = 6 in I ein: 6 = 3 · 1 + a. Wie groß ist a?
Welchen y-Achsenabschnitt hat damit die Gerade zu I?
Wie viele Lösungen hätte das System, wenn I zu y = −0,5x + 4 würde?
Rückwärts denken heißt: Das Lösungspaar (1 | 6) muss beide Gleichungen erfüllen. Deshalb kannst du aus II zuerst y berechnen und danach a bestimmen. Zum letzten Schritt: II lässt sich zu y = −0,5x + 6,5 umstellen. Eine Gleichung I mit y = −0,5x + 4 hätte dieselbe Steigung, aber einen anderen y-Achsenabschnitt — parallele Geraden, also null Lösungen.
A19
Zwei Sparpläne
AFB II
Anna hat 60 € und legt jede Woche 8 € dazu: I: y = 8x + 60. Bens Guthaben y erfüllt II: y − 3x = 100. Dabei ist x die Anzahl der Wochen. Schätze zuerst: Nach wie vielen Wochen haben beide gleich viel Geld?
Schiebe den Regler auf deine Schätzung — Pfeiltasten bewegen ihn feiner. Nach dem Prüfen siehst du den Trefferbereich.
0 Wochen20 Wochen
Gleichung I ist schon nach y aufgelöst, also darfst du den Term 8x + 60 direkt in II einsetzen: 8x + 60 − 3x = 100. Zusammenfassen ergibt 5x + 60 = 100, dann | − 60 also 5x = 40 und damit x = 8. Rücksubstitution: y = 8 · 8 + 60 = 124. Nach 8 Wochen haben beide 124 €.
A20
Sonderfälle und Klammern
AFB III
Kreuze alle Aussagen an, die zum Einsetzungsverfahren richtig sind.
Mehrere Antworten sind richtig. Markiere alle zutreffenden und klicke dann auf „Prüfen“.
Verschwindet die Variable, ist das kein Rechenfehler, sondern ein Sonderfall: Eine wahre Aussage wie −4 = −4 bedeutet unendlich viele Lösungen, eine falsche wie −4 = 5 bedeutet L = { }. Und wer den Term aus I wieder in I einsetzt, erhält nur 0 = 0 — eine wahre, aber nutzlose Aussage.
A21
Zwei Systeme, beide schon vorbereitet
AFB I
In beiden Systemen ist bereits eine Variable isoliert. Setze den Term in die andere Gleichung ein und gib das Lösungspaar an. a) I: y = 2x + 3 II: x + y = 12 b) I: x = 2y − 6 II: 3x + y = 17
Wohin damit?: Bei a) ersetzt du in II das y durch den Term 2x + 3. Weil vor dem y kein Faktor steht, brauchst du hier keine Klammer: x + 2x + 3 = 12.Bei b) ersetzt du in II das x durch 2y − 6 — dort steht die 3 davor, also 3 · (2y − 6).
Zusammenfassen: a) x + 2x + 3 = 12 wird zu 3x + 3 = 12. Ziehe auf beiden Seiten 3 ab. b) 3 · (2y − 6) + y = 17 wird ausmultipliziert zu 6y − 18 + y = 17, also 7y − 18 = 17.Erst wenn nur noch eine Variable dasteht, kannst du auflösen.
Lösung: a) 3x = 9, also x = 3; Rücksubstitution y = 2 · 3 + 3 = 9 → L = {(3 | 9)}. b) 7y = 35, also y = 5; Rücksubstitution x = 2 · 5 − 6 = 4 → L = {(4 | 5)}.Probe a): 3 + 9 = 12 ✓. Probe b): 3 · 4 + 5 = 17 ✓.
A22
Ein besonders kurzer Term
AFB I
Gegeben ist das System I: y = 4x II: x + y = 20. Berechne das Lösungspaar und mache anschließend die Probe in beiden Gleichungen.
Der Term ist nur 4x: Auch ein Term ohne Summand darf eingesetzt werden. In II wird das y durch 4x ersetzt: x + 4x = 20.Eine Klammer brauchst du nicht, weil vor dem y kein Faktor steht.
Zusammenfassen: x + 4x sind 5x. Es bleibt 5x = 20 übrig.Teile beide Seiten durch 5.
Lösung: x = 4 und damit y = 4 · 4 = 16, also L = {(4 | 16)}.Probe: I: 16 = 4 · 4 ✓ II: 4 + 16 = 20 ✓.
A23
Erst isolieren, dann einsetzen
AFB II
Im System I: x + 3y = 10 II: 2x − y = 6 ist noch keine Variable isoliert. Wähle klug, forme um und berechne das Lösungspaar.
Welche Variable?: In I steht das x mit dem Koeffizienten 1, in II das y mit dem Koeffizienten −1. Beide Wege bleiben bruchfrei. Nimm I nach x: x = 10 − 3y.Ein Koeffizient von 1 oder −1 ist immer das billigste Ziel.
Einsetzen mit Klammer: Setze 10 − 3y in II ein. Vor dem x steht die 2, also muss die Klammer stehen: 2 · (10 − 3y) − y = 6.Ausmultipliziert: 20 − 6y − y = 6, also 20 − 7y = 6.
Gegeben ist I: y = 2x − 3 II: 4x − 3y = 1. Setze ein und achte besonders auf die Vorzeichen beim Ausmultiplizieren.
Klammer setzen: Vor dem y steht in II die −3. Deshalb: 4x − 3 · (2x − 3) = 1.Ohne Klammer würdest du nur den ersten Summanden mit −3 malnehmen — das ist der häufigste Fehler.
Ausmultiplizieren: −3 · 2x = −6x und −3 · (−3) = +9. Es entsteht 4x − 6x + 9 = 1, also −2x + 9 = 1.Beide Summanden in der Klammer werden mit −3 multipliziert, das zweite Vorzeichen dreht sich dabei um.
a) Lies aus der Zeichnung den Schnittpunkt der beiden Geraden ab. b) Berechne anschließend mit dem Einsetzungsverfahren die Lösung eines anderen Systems: I: y = 3x − 1 II: x + y = 7
Ablesen: Suche in a) den Punkt, in dem sich beide Geraden treffen, und lies zuerst den x-Wert auf der waagerechten Achse ab.Die Zeichnung liefert dieselbe Lösung wie die Rechnung — nur schneller und ungenauer.
Einsetzen: In b) ersetzt du in II das y durch 3x − 1: x + 3x − 1 = 7.Kein Faktor vor dem y, also keine Klammer nötig.
Lösung: a) S(2 | 4). b) 4x − 1 = 7 | + 1 ergibt 4x = 8, also x = 2 und y = 3 · 2 − 1 = 5. L = {(2 | 5)}.Beide Aufgaben haben verschiedene Systeme — vergleiche nicht die Zahlen, sondern die Vorgehensweise.
Zu a): Die beiden Geraden I und II mit ihrem Schnittpunkt.
A26
Äpfel und Birnen
AFB II
Drei Äpfel und zwei Birnen kosten zusammen 4,50 €. Ein Apfel und vier Birnen kosten zusammen 4,00 €. Stelle ein Gleichungssystem auf (x = Preis eines Apfels, y = Preis einer Birne) und berechne beide Preise.
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€
System aufstellen: I: 3x + 2y = 4,5 II: x + 4y = 4. In II steht das x mit dem Koeffizienten 1 — isoliere dort: x = 4 − 4y.Beim Aufstellen hilft die Frage: Was kostet eine Frucht?
Einsetzen: Setze 4 − 4y in I ein. Vor dem x steht die 3, also mit Klammer: 3 · (4 − 4y) + 2y = 4,5.Ausmultipliziert: 12 − 12y + 2y = 4,5, also 12 − 10y = 4,5.
Das System I: y = 4x − 5 II: 3x + y = k hat eine Lösung mit x = 2. Bestimme zuerst y und dann die Zahl k.
x ist bekannt: Gleichung I enthält kein k. Setze dort einfach x = 2 ein.Der Parameter steht nur in II — deshalb ist I der Startpunkt.
y berechnen: y = 4 · 2 − 5 = 3. Jetzt kennst du das komplette Lösungspaar (2 | 3).Erst mit beiden Koordinaten kannst du II auswerten.
Lösung: Einsetzen in II: 3 · 2 + 3 = k, also k = 9.Probe: Für k = 9 erfüllt (2 | 3) beide Gleichungen ✓.
A28
Wann gibt es unendlich viele Lösungen?
AFB III
Gegeben ist I: y = 3x + 2 II: 6x − 2y = c. Für welchen Wert von c hat das System unendlich viele Lösungen? Und wie viele Lösungen hat es für c = 5?
Einsetzen trotz Parameter: Setze den Term 3x + 2 in II ein — der Buchstabe c stört dabei nicht: 6x − 2 · (3x + 2) = c.Die Klammer ist Pflicht, denn vor dem y steht die −2.
Was passiert mit dem x?: Ausmultipliziert: 6x − 6x − 4 = c. Die x-Terme heben sich auf, es bleibt −4 = c.Sobald die Variable verschwindet, entscheidet die verbleibende Aussage über die Lösungsmenge.
Lösung: Für c = −4 lautet die Aussage −4 = −4 — sie ist wahr, also gibt es unendlich viele Lösungen. Für c = 5 lautet sie −4 = 5 — sie ist falsch, also gibt es 0 Lösungen und L = { }.Für c = −4 ist II nur das (−2)-fache von I umgestellt: dieselbe Gerade, doppelt aufgeschrieben.
A29
Vater und Sohn
AFB III
Ein Vater ist heute dreimal so alt wie sein Sohn. In zehn Jahren ist er nur noch doppelt so alt wie sein Sohn dann. Wie alt sind beide heute? Verwende s für das Alter des Sohnes und v für das Alter des Vaters.
Jahre
Jahre
Beide Sätze übersetzen: Heute: I: v = 3s. In zehn Jahren ist der Sohn s + 10 und der Vater v + 10 Jahre alt, also II: v + 10 = 2 · (s + 10).Das „in zehn Jahren“ gilt für beide Personen — ein häufig übersehener Punkt.
Einsetzen: I ist schon nach v isoliert. Setze 3s in II ein: 3s + 10 = 2 · (s + 10), also 3s + 10 = 2s + 20.Rechts wird die Klammer ausmultipliziert, links bleibt alles stehen.
Lösung: 3s + 10 = 2s + 20 | − 2s ergibt s + 10 = 20, dann | − 10 also s = 10. Rücksubstitution: v = 3 · 10 = 30. Der Sohn ist 10, der Vater 30 Jahre alt.Probe: In zehn Jahren sind sie 20 und 40 — und 40 ist genau das Doppelte von 20 ✓.
A30
Rechnen, prüfen, weiterdenken
AFB IIAFB IIIMix
Gegeben ist I: y = x − 1 II: 2x + y = 8. a) Berechne das Lösungspaar mit dem Einsetzungsverfahren und vergleiche es mit der Zeichnung. b) Wie viele Lösungen hätte das System, wenn Gleichung I durch y = −2x + 5 ersetzt würde?
Teil a) einsetzen: Ersetze in II das y durch x − 1: 2x + x − 1 = 8.Vor dem y steht kein Faktor, also ist hier keine Klammer nötig.
Teil b) umstellen: Stelle II nach y um: y = −2x + 8. Vergleiche die Steigung mit der von y = −2x + 5.Gleiche Steigung, aber verschiedene y-Achsenabschnitte bedeuten parallele Geraden.
Lösung: a) 3x − 1 = 8 | + 1 ergibt 3x = 9, also x = 3 und y = 3 − 1 = 2. L = {(3 | 2)} — genau der Schnittpunkt in der Zeichnung. b) Einsetzen liefert 2x + (−2x + 5) = 8, also 5 = 8. Diese Aussage ist falsch, es gibt 0 Lösungen.In b) verschwindet das x vollständig — das ist der sichere Hinweis auf einen Sonderfall.
Zu a): Die Geraden zu I und II schneiden sich in (3 | 2).
