Dreißig Aufgaben zum Modellieren — vom Übersetzen einzelner Sätze über vollständige Sachaufgaben bis zu Ergebnissen, die rechnerisch stimmen und trotzdem unmöglich sind. Die Aufgaben A1 bis A20 kannst du direkt auf dieser Seite anklicken, ziehen oder eintippen; sie geben dir sofort eine Rückmeldung. Ab A21 rechnest du wie in der Klassenarbeit auf Papier und trägst nur noch dein Ergebnis ein. Jede dieser Aufgaben hat drei gestufte Hilfen: Der erste Tipp zeigt dir den Ansatz, der zweite den entscheidenden Schritt, der dritte die vollständige Lösung mit Probe am Sachtext. Öffne den dritten Tipp bitte erst, wenn du wirklich festhängst — der Lerneffekt steckt im eigenen Versuch.
Die Chips an jeder Aufgabe zeigen dir das Anforderungsniveau: AFB I heißt wiedergeben und direkt anwenden, AFB II heißt selbst entscheiden und umformen, AFB III heißt begründen, rückwärts denken oder ein Ergebnis kritisch beurteilen. Aufgaben mit dem Chip Mix mischen bewusst Wissen aus mehreren Unterkapiteln — genau so kommt es später auch in der Klassenarbeit vor. Denk bei jeder Sachaufgabe an den Schlusspunkt: Probe am Text, Plausibilität prüfen, Antwortsatz mit Einheiten. Der Balken oben zeigt dir jederzeit, wie viele Aufgaben du schon gelöst hast.
A1
Was gehört zu einem vollständigen Ansatz?
AFB I
Kreuze alle Aussagen an, die auf einen sauberen Ansatz zutreffen.
Mehrere Antworten sind richtig. Markiere alle zutreffenden und klicke dann auf „Prüfen“.
Der Ansatz ist die Übersetzung des Textes in Mathematik — mehr nicht. Welches Verfahren du danach wählst, entscheidest du erst in Schritt 3, und das Ergebnis steht am Ende, nicht am Anfang. Der Antwortsatz gehört zu Schritt 5 und kann die Definition der Buchstaben nicht ersetzen.
A2
Stimmt das?
AFB I
Entscheide bei jeder Aussage, ob sie stimmt.
Fünf Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann startest du die Serie mit „Neue Runde“ neu.
Aussage 1 von 5
Zwei Sätze musst du dir merken: Die Probe gehört an den Sachtext, und der Antwortsatz nennt immer Größe, Zahl und Einheit.
A3
Der Fünfschritt als Lückentext
AFB I
Setze die Fachbegriffe an die richtigen Stellen. Zwei Wörter bleiben übrig.
Wort anklicken, dann Lücke anklicken (oder umgekehrt) — mit Tab und Enter geht es genauso. Ein Klick auf eine gefüllte Lücke legt das Wort zurück.
Beim Modellieren legst du zuerst die fest und schreibst zu jeder gleich die passende dazu. Danach suchst du im Text die beiden , aus denen die zwei Gleichungen entstehen. Ist das System gelöst, machst du die Probe nicht nur in den Gleichungen, sondern am . Dabei prüfst du auch die : Eine negative Stückzahl ist rechnerisch möglich, im Sachzusammenhang aber nicht. Zum Schluss schreibst du einen vollständigen mit Einheiten.
Zwei Wörter bleiben übrig: kgV und Steigung gehören zum Rechnen, nicht zum Modellieren. Die sechs eingesetzten Begriffe beschreiben genau den Fünfschritt.
A4
Die fünf Schritte ordnen
AFB I
Bringe die Arbeitsschritte beim Modellieren in die richtige Reihenfolge.
Ziehe die Karten in die richtige Reihenfolge — mit der Tastatur: ↑/↓ verschiebt, Shift+↑/↓ wechselt nur den Fokus.
1Variablen festlegen — mit Bedeutung und Einheit.
2Die beiden Bedingungen aus dem Text als Gleichungen aufschreiben.
3Ein Lösungsverfahren wählen und die Wahl kurz begründen.
4Das System lösen und die Probe am Sachtext machen.
5Das Ergebnis auf Plausibilität prüfen und einen Antwortsatz schreiben.
Wer den ersten Schritt überspringt, verliert im vierten die Übersicht: Ohne klare Bedeutung der Buchstaben lässt sich am Ende nicht sagen, welche Zahl zu welcher Größe gehört.
A5
Bedingung oder Beiwerk?
AFB I
Nicht jeder Satz eines Sachtextes wird zu einer Gleichung. Sortiere die Sätze.
Ziehe jede Karte in den passenden Korb — oder wähle sie mit Enter aus und drücke dann die Ziffer des Korbs (0 legt sie zurück).
1Anzahl-Bedingung
2Wert-Bedingung
3keine Bedingung
Eine Anzahl-Bedingung zählt Dinge und liefert meist die Gleichung x + y = …. Eine Wert-Bedingung misst Geld, Gewicht oder Länge; dort stehen Preise oder Maße als Faktoren vor den Variablen. Alles andere ist Beiwerk und gehört in keine Gleichung.
A6
Summe und Differenz
AFB I
Die Summe zweier Zahlen ist 45, ihre Differenz beträgt 9. Wie groß ist die größere der beiden Zahlen?
Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.
Ansatz: x = größere Zahl, y = kleinere Zahl. Bedingungen: x + y = 45 und x − y = 9. Addiert man beide Gleichungen, fällt das y weg: 2x = 54, also x = 27 und y = 18. Probe am Text: 27 + 18 = 45 ✓ und 27 − 18 = 9 ✓.
A7
Memory: Begriff und Bedeutung
AFB I
Finde die acht Paare aus Fachbegriff und Erklärung.
Decke zwei Karten auf, die zusammengehören. Mit der Tastatur: Tab zur Karte, Enter aufdecken, Pfeiltasten zum Wandern.
Versuche: 0 von 16
Die letzten beiden Paare gehören zusammen: Bei einem Tarifvergleich sorgt die Grundgebühr dafür, dass ein Angebot am Anfang teurer ist — und genau deshalb gibt es überhaupt einen Gleichstand.
A8
Rechenkette: Eintritt im Schwimmbad
AFB II
Drei Erwachsene und vier Kinder zahlen zusammen 44,00 € Eintritt. Zwei Erwachsene und fünf Kinder zahlen zusammen 41,00 €. Arbeite dich Schritt für Schritt zu den beiden Preisen durch.
Rechne die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft.
Multipliziere I mit 2. Welche Zahl steht danach rechts?
Multipliziere II mit 3. Welche Zahl steht danach rechts?
Subtrahiere die erste neue Gleichung von der zweiten und löse nach k auf. Was kostet eine Kinderkarte in Euro?€
Setze k in Gleichung I ein. Was kostet eine Erwachsenenkarte in Euro?€
Der Ansatz: e = Preis einer Erwachsenenkarte in €, k = Preis einer Kinderkarte in €. Bedingungen: I: 3e + 4k = 44 und II: 2e + 5k = 41. I · 2 ergibt 6e + 8k = 88, II · 3 ergibt 6e + 15k = 123. Die Differenz ist 7k = 35, also k = 5. Aus I folgt 3e = 44 − 20 = 24, also e = 8. Probe am Text: 3 · 8,00 € + 4 · 5,00 € = 44,00 € ✓ und 2 · 8,00 € + 5 · 5,00 € = 41,00 € ✓. Antwort: Eine Erwachsenenkarte kostet 8,00 €, eine Kinderkarte 5,00 €.
A9
Fünf Sachaufgaben, vier mögliche Zahlen
AFB II
Stelle für jede Aufgabe im Kopf das System auf und kreuze die gesuchte Anzahl an.
Setze in jeder Zeile das passende Kreuz — hier ist es genau eins pro Zeile. Enter setzt und löscht.
Sachaufgabe
5
8
10
12
Auf dem Hof stehen Fahrräder und Autos: 14 Fahrzeuge mit 40 Rädern. Wie viele Fahrräder?
Ein Beutel enthält 18 Nüsse. Walnüsse wiegen 10 g, Haselnüsse 2 g, zusammen 116 g. Wie viele Walnüsse?
16 Krüge, kleine mit 1 l und große mit 3 l, zusammen 28 l. Wie viele kleine Krüge?
In einer Klasse sind 26 Kinder, davon 2 Mädchen mehr als Jungen. Wie viele Jungen?
Im Kurs sind 17 Personen, davon 7 Anfänger mehr als Fortgeschrittene. Wie viele Fortgeschrittene?
Der Reihe nach: 8 Fahrräder und 6 Autos (8 + 6 = 14, 16 + 24 = 40); 10 Walnüsse und 8 Haselnüsse (100 g + 16 g = 116 g); 10 kleine und 6 große Krüge (10 l + 18 l = 28 l); 12 Jungen und 14 Mädchen; 5 Fortgeschrittene und 12 Anfänger. In allen fünf Aufgaben steckt dieselbe Struktur: eine Anzahl-Bedingung und eine zweite Bedingung.
A10
Satz und Gleichung verbinden
AFB II
a ist Annas Kartenzahl, b ist Bens Kartenzahl. Verbinde jeden Satz mit der passenden Gleichung.
Klicke links einen Satz an und dann rechts seine Gleichung — es entsteht eine Verbindungslinie. Mit der Tastatur: Enter zum Auswählen, ↑/↓ zum Wandern.
Die Sechs bedeutet jedes Mal etwas anderes: einmal eine Differenz, einmal einen Faktor, einmal eine Summe. Beim letzten Satz wandern die Karten: Anna bekommt 6 dazu, Ben verliert 6 — deshalb steht auf der einen Seite ein Plus und auf der anderen ein Minus.
A11
Wohin gehört die Tätigkeit?
AFB II
Der Fünfschritt lässt sich in drei Abschnitte bündeln. Ordne jede Tätigkeit zu.
Ordne jede Tätigkeit einem der drei Bereiche zu. Mit der Tastatur: Enter zum Auswählen, dann 1–3 für den Bereich, 0 zurück.
1 Ansatz
2 Lösen
3 Prüfen und Antworten
Der Ansatz übersetzt, das Lösen rechnet, das Prüfen führt zurück in die Wirklichkeit. Die meisten Punkte in einer Klassenarbeit gehen im ersten und im letzten Bereich verloren — nicht beim Rechnen.
A12
Fehlersuche: Blumenstrauß
AFB II
Ein Strauß besteht aus 12 Blumen. Eine Rose kostet 3,00 €, eine Tulpe 1,50 €; der Strauß kostet 27,00 €. Markiere alle Zeilen, die einen Fehler enthalten.
In dieser Lösung stecken Fehler. Klicke genau die falschen Zeilen an — die richtigen musst du stehen lassen.
Die beiden Bedingungen wurden vertauscht — und dieser Fehler zieht sich bis ins Ergebnis durch. Ein guter Test: Schau dir die Einheiten an. Links neben dem Gleichheitszeichen stehen bei der Preisgleichung Euro, also muss auch rechts ein Geldbetrag stehen. Richtig lautet das System r + t = 12 und 3r + 1,5t = 27 mit r = 6 und t = 6.
A13
Autos und Motorräder
AFB II
Begleite die Aufgabe Schritt für Schritt und wähle jedes Mal die richtige Fortsetzung.
Spiele den Ablauf Schritt für Schritt durch: Was passiert als Nächstes? Nur die richtige Karte bringt dich weiter.
Der komplette Ablauf: Variablen benennen → beide Bedingungen als Gleichungen schreiben → Verfahren wählen → lösen → am Sachtext prüfen und antworten. Der zweite Schritt ist die häufigste Fehlerquelle, weil Anzahl und Wert leicht vertauscht werden.
A14
Lösungsweg zusammenbauen: Sportgeräte
AFB II
Acht Bälle und fünf Springseile kosten 97,00 €, vier Bälle und zehn Springseile kosten 86,00 €. Baue den vollständigen Lösungsweg. Zwei Bausteine sind falsch und bleiben übrig.
Setze den Lösungsweg von oben nach unten zusammen. Ein Klick legt den Baustein auf den nächsten freien Platz, ein Klick im Bauplan legt ihn zurück. Enter funktioniert genauso.
Die beiden Fallen sind Klassiker: die vergessene rechte Seite (−2 · 86 = −172, nicht 86) und die vertauschte Antwort. Wenn du b und s sauber definiert hast, kannst du am Ende gar nicht mehr durcheinanderkommen. Probe: 8 · 9,00 € + 5 · 5,00 € = 97,00 € ✓ und 4 · 9,00 € + 10 · 5,00 € = 86,00 € ✓.
A15
Welcher Schritt ist gemeint?
AFB II
Fünf Fragen zum Ablauf. Klicke jeweils den passenden Schritt im Schema an.
Klicke den gesuchten Schritt im Schema an. Mit der Tastatur: Tab oder Pfeiltasten zum Wandern, Enter zum Auswählen.
Schritt 4 hat zwei Gesichter: Dort rechnest du — und dort merkst du auch, ob das Ergebnis überhaupt zur Geschichte passt. Eine negative Stückzahl ist rechnerisch korrekt und im Sachzusammenhang trotzdem unmöglich.
A16
Wann kosten beide Angebote gleich viel?
AFB III
Bestimme in jeder Zeile den Gleichstand — ohne zu zeichnen.
Wähle für jede Zeile die Stückzahl, bei der beide Angebote gleich viel kosten: 1 = bei 1 Stück, 2 = bei 2 Stück und so weiter bis 5. Mit der Tastatur: Tab zur Zeile, ←/→ zwischen den Stufen, Enter setzt.
1 = Gleichstand bei 15 = Gleichstand bei 5
Werkstatt: A 12 € Grundgebühr und 2 € je Werkstück — B 4 € Grundgebühr und 4 € je Werkstück
Fotodruck: A 15 € Jahresbeitrag und 1 € je Bild — B 5 € Jahresbeitrag und 3 € je Bild
Kletterhalle: A 9 € Monatsbeitrag und 3 € je Besuch — B kein Beitrag und 6 € je Besuch
Kanuverleih: A 8 € Grundgebühr und 2 € je Stunde — B 2 € Grundgebühr und 8 € je Stunde
Tonstudio: A 14 € Grundgebühr und 3 € je Stunde — B 6 € Grundgebühr und 7 € je Stunde
Immer dieselbe Gleichung: Grundgebühr A + Preis A · n = Grundgebühr B + Preis B · n. Der Gleichstand liegt bei n = (Grundgebühr A − Grundgebühr B) : (Preis B − Preis A). Der Reihe nach: 8 : 2 = 4, 10 : 2 = 5, 9 : 3 = 3, 6 : 6 = 1 und 8 : 4 = 2. Merke dir die Regel: Vor dem Gleichstand lohnt das Angebot mit der kleineren Grundgebühr, danach das mit dem kleineren Stückpreis.
A17
Eier zählen
AFB II
In einem Karton liegen Viererpackungen und Sechserpackungen: zusammen 9 Packungen mit 44 Eiern. Wie viele Eier stecken insgesamt in den Viererpackungen? Jeder Baustein steht für eine Viererpackung.
Klicke so viele Bausteine an, wie du brauchst. Tastatur: ←/→ wandern, Enter schaltet um. Die Summe rechnet sich live mit.
0
Ziel: 20
Ansatz: v = Anzahl der Viererpackungen, s = Anzahl der Sechserpackungen. Bedingungen: v + s = 9 und 4v + 6s = 44. Aus der ersten Gleichung folgt s = 9 − v, eingesetzt: 4v + 54 − 6v = 44, also −2v = −10 und v = 5. Fünf Viererpackungen enthalten 5 · 4 = 20 Eier, die vier Sechserpackungen die restlichen 24. Probe: 5 + 4 = 9 Packungen ✓ und 20 + 24 = 44 Eier ✓.
A18
Ausrüstung für die Klassenfahrt
AFB II
Drei Zelte und vier Isomatten kosten zusammen 246,00 €. Zwei Zelte und sechs Isomatten kosten zusammen 234,00 €. Schätze zuerst: Was kostet ein Zelt?
Schiebe den Regler auf deine Schätzung — Pfeiltasten bewegen ihn feiner. Nach dem Prüfen siehst du den Trefferbereich.
0 €100 €
Ansatz: z = Preis eines Zeltes in €, i = Preis einer Isomatte in €. Bedingungen: I: 3z + 4i = 246 und II: 2z + 6i = 234. I · 2 ergibt 6z + 8i = 492, II · 3 ergibt 6z + 18i = 702. Die Differenz ist 10i = 210, also i = 21. Aus I folgt 3z = 246 − 84 = 162 und z = 54. Ein Zelt kostet 54,00 €, eine Isomatte 21,00 €. Probe: 2 · 54 + 6 · 21 = 108 + 126 = 234 ✓.
A19
Entscheidungsbaum: Ist das Ergebnis brauchbar?
AFB II
In einem Schuppen stehen Fahrräder und Dreiräder: 15 Fahrzeuge mit zusammen 28 Rädern. Du hast f = 17 und d = −2 berechnet. Arbeite dich durch den Baum und finde heraus, was das bedeutet.
Beantworte die Fragen des Entscheidungsbaums mit Ja oder Nein und schau, wo du herauskommst.
Ansatz: f = Anzahl der Fahrräder, d = Anzahl der Dreiräder. Bedingungen: f + d = 15 und 2f + 3d = 28. Einsetzen von d = 15 − f ergibt 2f + 45 − 3f = 28, also −f = −17 und f = 17, d = −2. Beide Gleichungen sind erfüllt (17 − 2 = 15 ✓ und 34 − 6 = 28 ✓), aber −2 Dreiräder gibt es nicht. Die Aufgabe hat rechnerisch eine Lösung und im Sachzusammenhang keine.
A20
Kartentausch
AFB III
Nele und Timo tauschen Sammelkarten. Gibt Nele Timo 4 Karten, haben beide gleich viele. Gibt umgekehrt Timo Nele 4 Karten, hat Nele doppelt so viele wie Timo. Rechne dich Schritt für Schritt heran.
Rechne die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft.
Nele gibt Timo 4 Karten, danach haben beide gleich viele. Wie viele Karten hat Nele mehr als Timo?
Wie viele Karten hat Timo?
Wie viele Karten hat Nele?
Wie viele Karten haben beide zusammen?
Der erste Schritt ist der Trick: Wandern 4 Karten von Nele zu Timo, verändert sich der Abstand um 8 — deshalb hatte Nele vorher genau 8 Karten mehr. Ansatz: n = Neles Karten, t = Timos Karten. Bedingungen: n − 4 = t + 4 und n + 4 = 2 · (t − 4). Aus der ersten folgt n = t + 8, eingesetzt: t + 12 = 2t − 8, also t = 20 und n = 28. Probe am Text: Nach dem ersten Tausch haben beide 24 Karten ✓; nach dem zweiten hat Nele 32 und Timo 16, und 32 ist das Doppelte von 16 ✓.
A21
Losverkauf
AFB I
Beim Sommerfest verkauft der Förderverein rote und grüne Lose. Ein rotes Los kostet 2,00 €, ein grünes 5,00 €. Verkauft wurden 40 Lose, die Einnahmen betragen 149,00 €. Wie viele Lose jeder Farbe wurden verkauft?
Variablen und Bedingungen: r = Anzahl der roten Lose, g = Anzahl der grünen Lose. Im Text stecken zwei Bedingungen: eine über die Anzahl der Lose und eine über das Geld.Schreibe beide Sätze getrennt untereinander, bevor du rechnest.
Das System: I: r + g = 40 II: 2r + 5g = 149. Weil I schon fast nach einer Variablen aufgelöst ist, bietet sich das Einsetzungsverfahren an: g = 40 − r.Achte auf die Einheiten: In II stehen links Euro, also gehört rechts der Geldbetrag hin.
Lösung: Einsetzen: 2r + 5 · (40 − r) = 149 → 2r + 200 − 5r = 149 → −3r = −51 → r = 17. Damit ist g = 40 − 17 = 23.Probe am Sachtext: 17 + 23 = 40 Lose ✓ und 17 · 2,00 € + 23 · 5,00 € = 34,00 € + 115,00 € = 149,00 € ✓. Antwort: Es wurden 17 rote und 23 grüne Lose verkauft.
A22
Zwei Zahlenrätsel
AFB I
a) Die Summe zweier Zahlen ist 63, ihre Differenz beträgt 17. Wie heißen die beiden Zahlen? b) Die Summe zweier Zahlen ist 84. Die größere Zahl ist doppelt so groß wie die kleinere. Wie heißen die beiden Zahlen?
Übersetzen: a) „Summe“ heißt x + y, „Differenz“ heißt x − y. b) „doppelt so groß wie“ heißt u = 2v.Auch bei Zahlenrätseln gehört eine Variablendefinition dazu: x = größere Zahl, y = kleinere Zahl.
Die Systeme: a) I: x + y = 63 und II: x − y = 17. Vor dem y stehen +1 und −1 — du darfst sofort addieren. b) I: u + v = 84 und II: u = 2v. Hier ist u schon isoliert, also einsetzen.Wähle das Verfahren nach dem, was schon dasteht — das spart Arbeit.
Lösung: a) Addieren ergibt 2x = 80, also x = 40 und y = 63 − 40 = 23. b) Einsetzen ergibt 2v + v = 84, also 3v = 84, v = 28 und u = 56.Probe: 40 + 23 = 63 ✓ und 40 − 23 = 17 ✓ | 56 + 28 = 84 ✓ und 56 = 2 · 28 ✓.
A23
Gleichschenkliges Dreieck
AFB I
Ein gleichschenkliges Dreieck hat den Umfang 40 cm. Jeder Schenkel ist 2 cm länger als die Basis. Wie lang sind Basis und Schenkel?
cm
cm
Variablen und Umfang: b = Länge der Basis in cm, s = Länge eines Schenkels in cm. Beim gleichschenkligen Dreieck sind zwei Seiten gleich lang, also gilt U = b + 2s.Zeichne dir die Figur und schreibe an jede Seite ihren Buchstaben.
Das System: I: b + 2s = 40 II: s = b + 2. Weil s in II schon isoliert ist, setzt du den Term direkt in I ein.„2 cm länger als die Basis“ heißt s = b + 2 — nicht b = s + 2. Prüfe das an einem Beispiel: Wäre b = 10, wäre s = 12.
Lösung: b + 2 · (b + 2) = 40 → b + 2b + 4 = 40 → 3b = 36 → b = 12 und s = 12 + 2 = 14.Probe am Sachtext: 12 cm + 14 cm + 14 cm = 40 cm ✓ und 14 = 12 + 2 ✓. Antwort: Die Basis ist 12 cm lang, jeder Schenkel 14 cm.
Gleichschenkliges Dreieck: Die beiden Schenkel s sind gleich lang, unten liegt die Basis b.
A24
Boot auf dem Fluss
AFB II
Ein Motorboot fährt eine 24 km lange Flussstrecke mit der Strömung in 2 Stunden, gegen die Strömung braucht es 3 Stunden. Berechne die Eigengeschwindigkeit des Bootes und die Geschwindigkeit der Strömung.
km/h
km/h
Von der Zeit zur Geschwindigkeit: b = Eigengeschwindigkeit des Bootes in km/h, s = Geschwindigkeit der Strömung in km/h. Mit der Strömung fährt das Boot 24 km in 2 h, das sind 24 : 2 = 12 km/h. Gegen die Strömung sind es 24 : 3 = 8 km/h.Rechne die beiden Zeiten zuerst in Geschwindigkeiten um — danach ist es ein gewöhnliches System.
Das System: Mit der Strömung addieren sich die Geschwindigkeiten, gegen die Strömung ziehen sie sich ab: I: b + s = 12 II: b − s = 8. Vor dem s stehen +1 und −1.Genau dieses Paar aus Summe und Differenz taucht in Sachaufgaben immer wieder auf.
Lösung: Addieren: 2b = 20, also b = 10. Rücksubstitution in I: 10 + s = 12, also s = 2.Probe am Sachtext: Mit Strömung 10 + 2 = 12 km/h, also 24 km in 2 h ✓. Gegen die Strömung 10 − 2 = 8 km/h, also 24 km in 3 h ✓. Antwort: Das Boot fährt 10 km/h, die Strömung beträgt 2 km/h.
A25
Im Sparschwein
AFB II
In einem Sparschwein liegen nur 50-Cent-Stücke und 1-Euro-Stücke: insgesamt 50 Münzen im Wert von 35,50 €. Wie viele Münzen jeder Sorte sind es?
Einheiten festlegen: x = Anzahl der 50-Cent-Stücke, y = Anzahl der 1-Euro-Stücke. Rechne durchgehend in Euro: Ein 50-Cent-Stück ist 0,50 € wert.Wer Cent und Euro mischt, bekommt zwangsläufig falsche Zahlen. Entscheide dich für eine Einheit.
Das System: I: x + y = 50 II: 0,5x + 1y = 35,5. Multipliziere I mit −1 und addiere: −x − y = −50 plus 0,5x + y = 35,5 ergibt −0,5x = −14,5.Alternativ kannst du II mit 2 multiplizieren: x + 2y = 71. Auch dann fällt beim Subtrahieren das x weg.
Lösung: −0,5x = −14,5, also x = 29. Rücksubstitution in I: 29 + y = 50, also y = 21.Probe am Sachtext: 29 + 21 = 50 Münzen ✓ und 29 · 0,50 € + 21 · 1,00 € = 14,50 € + 21,00 € = 35,50 € ✓. Antwort: Es sind 29 Fünfzig-Cent-Stücke und 21 Ein-Euro-Stücke.
A26
Museum: Einzelkarte oder Jahreskarte?
AFB IIAFB IIIMix
Der Eintritt ins Museum kostet 9,00 € pro Besuch. Wer eine Jahreskarte für 60,00 € kauft, zahlt zusätzlich nur noch 3,00 € je Besuch. a) Bei wie vielen Besuchen kosten beide Möglichkeiten gleich viel, und wie hoch sind die Kosten dann? b) Ab wie vielen Besuchen im Jahr ist die Jahreskarte günstiger?
Besuche
€
Besuchen
Zwei Kostenterme: n = Anzahl der Besuche im Jahr, K = Kosten in €. Ohne Karte: K = 9n. Mit Jahreskarte: K = 60 + 3n. Die 60 € fallen auch dann an, wenn du gar nicht hingehst.Die feste Grundgebühr steht ohne n, der Preis je Besuch steht mit n.
Gleichstand berechnen: Setze beide Terme gleich: 9n = 60 + 3n. Subtrahiere 3n auf beiden Seiten: 6n = 60.Genau hier schneiden sich die beiden Geraden in der Zeichnung.
Lösung: a) 6n = 60, also n = 10 Besuche; die Kosten betragen dann 9 · 10 € = 90,00 € beziehungsweise 60,00 € + 3 · 10 € = 90,00 € ✓. b) Bei genau 10 Besuchen ist es gleich teuer, also lohnt die Jahreskarte erst ab 11 Besuchen. Probe: Bei 11 Besuchen zahlst du 99,00 € ohne Karte und 93,00 € mit Karte.Denke bei b) an die Plausibilität: Besuche sind ganze Zahlen, deshalb ist die Antwort 11 und nicht 10,1.
Die rote Gerade zeigt die Einzelkarten, die blaue die Jahreskarte. Sie schneiden sich bei 10 Besuchen und 90 €.
A27
Kaffee mischen
AFB II
Ein Händler mischt zwei Kaffeesorten zu 10 kg Hausmischung. Sorte A kostet 18,00 € je Kilogramm, Sorte B kostet 12,00 € je Kilogramm. Die Mischung soll 15,60 € je Kilogramm kosten. Wie viel Kilogramm nimmt er von jeder Sorte?
kg
kg
Was ist der Gesamtwert?: x = Menge von Sorte A in kg, y = Menge von Sorte B in kg. Die 10 kg Mischung kosten 10 · 15,60 € = 156,00 € — das ist die rechte Seite der Wertgleichung.Rechne den Kilopreis der Mischung zuerst in einen Gesamtpreis um.
Das System: I: x + y = 10 II: 18x + 12y = 156. Setze y = 10 − x in II ein.Kontrolle vorab: 15,60 € liegt zwischen 12,00 € und 18,00 € — näher an 18, also muss von Sorte A mehr genommen werden.
Lösung: 18x + 12 · (10 − x) = 156 → 18x + 120 − 12x = 156 → 6x = 36 → x = 6 und y = 4.Probe am Sachtext: 6 kg + 4 kg = 10 kg ✓ und 6 · 18,00 € + 4 · 12,00 € = 108,00 € + 48,00 € = 156,00 €, also 15,60 € je Kilogramm ✓.
A28
Rückwärts gedacht
AFB III
Die Summe zweier Zahlen ist 40. Verdoppelt man die kleinere Zahl und halbiert man die größere, so erhält man zweimal dasselbe Ergebnis. Wie heißen die beiden Zahlen?
Den zweiten Satz übersetzen: x = größere Zahl, y = kleinere Zahl. „Verdoppelt man die kleinere“ heißt 2y, „halbiert man die größere“ heißt x : 2. Beide Ergebnisse sind gleich.Schreibe die Bedingung wörtlich auf: 2y = x : 2.
Bruch wegbekommen: Aus 2y = x : 2 wird durch Multiplikation mit 2: 4y = x. Damit lautet das System I: x + y = 40 und II: x = 4y.Multipliziere die ganze Gleichung mit 2, nicht nur eine Seite — sonst kippt die Waage.
Lösung: Einsetzen: 4y + y = 40 → 5y = 40 → y = 8 und x = 4 · 8 = 32. Das gemeinsame Ergebnis ist 2 · 8 = 16 beziehungsweise 32 : 2 = 16.Probe am Sachtext: 32 + 8 = 40 ✓, das Doppelte von 8 ist 16 und die Hälfte von 32 ist ebenfalls 16 ✓.
A29
Batterien im Karton
AFB III
In einem Karton sollen Dreierpackungen und Fünferpackungen Batterien liegen: zusammen 12 Packungen mit insgesamt 70 Batterien. Rechne das Gleichungssystem vollständig aus und beantworte dann die Frage: Wie viele Packungen jeder Sorte sind es?
Ansatz wie immer: d = Anzahl der Dreierpackungen, f = Anzahl der Fünferpackungen. I: d + f = 12 II: 3d + 5f = 70.Auch wenn die Aufgabe seltsam wirkt: Rechne erst sauber, urteile danach.
Rechnen: Aus I folgt f = 12 − d. Eingesetzt in II: 3d + 5 · (12 − d) = 70 → 3d + 60 − 5d = 70 → −2d = 10.Achte auf das Vorzeichen: 3d − 5d ergibt −2d, und 70 − 60 ergibt 10.
Lösung und Deutung: d = −5 und f = 17. Beide Gleichungen sind erfüllt (−5 + 17 = 12 ✓ und −15 + 85 = 70 ✓), aber −5 Packungen kann es nicht geben. Im Sachzusammenhang hat die Aufgabe also 0 Lösungen.Zur Kontrolle: 12 Packungen liefern höchstens 12 · 5 = 60 Batterien. Die geforderten 70 sind gar nicht erreichbar — das siehst du sogar ohne Rechnung. Genau dafür ist die Plausibilitätsprüfung da.
A30
Zwei Kopierläden
AFB III
Kopierladen A verlangt 5,00 € Grundgebühr und 0,08 € je Kopie. Kopierladen B verlangt 12,00 € Grundgebühr und ebenfalls 0,08 € je Kopie. a) Was kosten 200 Kopien in jedem Laden? b) Bei wie vielen Kopien kosten beide Läden gleich viel? Gib die Anzahl der Lösungen an und begründe in Gedanken, was das für die beiden Geraden bedeutet.
€
€
Kostenterme aufstellen: n = Anzahl der Kopien, K = Kosten in €. Laden A: K = 5 + 0,08n. Laden B: K = 12 + 0,08n.Vergleiche die beiden Terme, bevor du rechnest: Was ist gleich, was ist verschieden?
Gleichsetzen: 5 + 0,08n = 12 + 0,08n. Subtrahiere auf beiden Seiten 0,08n — dann fällt die Unbekannte vollständig weg und es bleibt 5 = 12.Eine Gleichung ohne Variable ist entweder immer wahr oder immer falsch. Hier ist sie immer falsch.
Lösung: a) A: 5,00 € + 200 · 0,08 € = 5,00 € + 16,00 € = 21,00 €. B: 12,00 € + 16,00 € = 28,00 €. b) 5 = 12 ist eine falsche Aussage, es gibt 0 Lösungen.Beide Geraden haben dieselbe Steigung 0,08, aber verschiedene y-Achsenabschnitte — sie sind parallel und schneiden sich nie. Laden A ist bei jeder Kopienzahl genau 7,00 € günstiger.
