Dreißig Aufgaben zum Additionsverfahren — vom Erkennen der Gegenzahlen über das Bestimmen der Faktoren bis zu den Sonderfällen. Die Aufgaben A1 bis A20 kannst du direkt auf dieser Seite anklicken, ziehen oder eintippen; sie geben dir sofort eine Rückmeldung. Ab A21 rechnest du wie in der Klassenarbeit auf Papier und trägst nur noch dein Ergebnis ein. Jede dieser Aufgaben hat drei gestufte Hilfen: Der erste Tipp zeigt dir die Richtung, der zweite den entscheidenden Rechenschritt, der dritte die vollständige Lösung mit Probe. Öffne den dritten Tipp bitte erst, wenn du wirklich festhängst — der Lerneffekt steckt im eigenen Versuch.
Die Chips an jeder Aufgabe zeigen dir das Anforderungsniveau: AFB I heißt wiedergeben und direkt anwenden, AFB II heißt selbst entscheiden und umformen, AFB III heißt begründen, rückwärts denken oder einen Sonderfall durchschauen. Aufgaben mit dem Chip Mix mischen bewusst Wissen aus mehreren Unterkapiteln — genau so kommt es später auch in der Klassenarbeit vor. Der Balken oben zeigt dir jederzeit, wie viele Aufgaben du schon gelöst hast.
A1
Was stimmt über das Verfahren?
AFB I
Kreuze alle Aussagen an, die auf das Additionsverfahren zutreffen.
Mehrere Antworten sind richtig. Markiere alle zutreffenden und klicke dann auf „Prüfen“.
Das Verfahren braucht kein Auflösen — genau darin liegt sein Vorteil. Der Faktor 0 würde eine Gleichung auslöschen, und nach dem Addieren hast du erst eine Koordinate: Die zweite folgt in der Rücksubstitution.
A2
Stimmt das?
AFB I
Entscheide bei jeder Aussage, ob sie stimmt.
Fünf Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann startest du die Serie mit „Neue Runde“ neu.
Aussage 1 von 5
Zwei Merksätze stecken darin: Der Faktor gilt für die ganze Gleichung, und der Faktor 0 ist verboten.
A3
Der Rechenweg als Lückentext
AFB I
Setze die Fachbegriffe an die richtigen Stellen. Zwei Wörter bleiben übrig.
Wort anklicken, dann Lücke anklicken (oder umgekehrt) — mit Tab und Enter geht es genauso. Ein Klick auf eine gefüllte Lücke legt das Wort zurück.
Beim Additionsverfahren suchst du zuerst die Variable, die verschwinden soll. Damit sie sich auslöscht, müssen vor ihr stehen. Die passenden Faktoren liest du am der beiden Koeffizienten ab. Multipliziert wird dabei immer die Gleichung. Danach darfst du beide Gleichungen spaltenweise . Ist die erste Koordinate berechnet, folgt die . Zum Schluss notierst du die .
Zwei Wörter bleiben übrig: Steigung und Scheitelpunkt gehören nicht zum Rechenweg. Die sechs eingesetzten Begriffe beschreiben genau die Reihenfolge des Verfahrens.
A4
Die fünf Schritte ordnen
AFB I
Bringe die Arbeitsschritte des Additionsverfahrens in die richtige Reihenfolge.
Ziehe die Karten in die richtige Reihenfolge — mit der Tastatur: ↑/↓ verschiebt, Shift+↑/↓ wechselt nur den Fokus.
1Beide Gleichungen in die Form ax + by = c ordnen.
2Die Zielvariable wählen und über das kgV ihrer Koeffizienten die Faktoren bestimmen.
3Jede Gleichung vollständig mit ihrem Faktor multiplizieren.
4Die Gleichungen spaltenweise addieren und die übrig gebliebene Gleichung lösen.
5Rücksubstitution, Probe in beiden Gleichungen, Lösungsmenge notieren.
Der häufigste Fehler ist, Schritt 1 zu überspringen. Stehen die Gleichungen nicht sauber sortiert untereinander, addierst du beim vierten Schritt leicht ein x zu einem y.
A5
Wie viel Vorarbeit ist nötig?
AFB I
Sortiere jedes System danach, wie viele Gleichungen du vor dem Addieren multiplizieren musst.
Ziehe jede Karte in den passenden Korb — oder wähle sie mit Enter aus und drücke dann die Ziffer des Korbs (0 legt sie zurück).
1sofort addieren
2eine Gleichung multiplizieren
3beide Gleichungen multiplizieren
Der Blick geht immer auf ein Koeffizientenpaar: Sind es schon Gegenzahlen, addierst du sofort. Ist eine Zahl ein Vielfaches der anderen, genügt ein Faktor. Sind sie teilerfremd — wie 2 und 3 oder 3 und 5 —, brauchst du das kgV und damit zwei Faktoren.
A6
Welcher Faktor genügt?
AFB I
Gegeben ist I: 2x + 3y = 7 und II: 5x − 9y = 4. Mit welcher Zahl musst du Gleichung I multiplizieren, damit beim Addieren das y wegfällt?
Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.
Vor dem y stehen die Zahlen 3 und −9. Weil 9 ein Vielfaches von 3 ist, brauchst du nur einen Faktor: I · 3 ergibt 6x + 9y = 21, und 9y + (−9y) = 0. Addiert man beide Zeilen, bleibt 11x = 25 übrig.
A7
Memory: Begriff und Bedeutung
AFB I
Finde die acht Paare aus Fachbegriff und Erklärung.
Decke zwei Karten auf, die zusammengehören. Mit der Tastatur: Tab zur Karte, Enter aufdecken, Pfeiltasten zum Wandern.
Versuche: 0 von 16
Die beiden letzten Paare sind die wichtigsten: Fallen beide Variablen weg, entscheidet allein die Zahl, die stehen bleibt.
A8
Rechenkette: I: 3x + 4y = 25, II: 5x − 2y = 7
AFB II
Löse das System Schritt für Schritt. Jeder Schritt schaltet den nächsten frei.
Rechne die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft.
Mit welcher Zahl multiplizierst du Gleichung II, damit vor dem y Gegenzahlen stehen?
Wie lautet danach die rechte Seite von II · 2?
Addiere I und II · 2 und löse nach x auf. Wie groß ist x?
Rücksubstitution in I: Wie groß ist y?
Der Rechenweg: II · 2 lautet 10x − 4y = 14. Addiert man I dazu, ergibt sich 13x = 39, also x = 3. Rücksubstitution in I: 9 + 4y = 25 → 4y = 16 → y = 4. Probe in II: 15 − 8 = 7 ✓, also L = {(3 | 4)}.
A9
Welches x gehört zu welchem System?
AFB II
Addiere die beiden Gleichungen und bestimme so das x. Setze dann das Kreuz.
Setze in jeder Zeile das passende Kreuz — hier ist es genau eins pro Zeile. Enter setzt und löscht.
System
x = 1
x = 2
x = 3
x = 4
I: 2x + 3y = 14, II: 4x − 3y = −8
I: 3x + 2y = 12, II: 5x − 2y = 4
I: x + 4y = 7, II: 2x − 4y = 2
I: 5x + 3y = 26, II: 2x − 3y = 2
I: 4x + y = 13, II: 3x − y = 1
In allen fünf Zeilen stehen vor dem y bereits Gegenzahlen — du darfst also sofort addieren. Der Reihe nach entsteht 6x = 6, 8x = 16, 3x = 9, 7x = 28 und 7x = 14, also x = 1, 2, 3, 4 und 2.
A10
System und Lösung verbinden
AFB II
Verbinde jedes Gleichungssystem mit seinem Lösungspaar.
Klicke links ein System an und dann rechts seine Lösung — es entsteht eine Verbindungslinie. Mit der Tastatur: Enter zum Auswählen, ↑/↓ zum Wandern.
Der Wert 4 kommt zweimal als x vor, der Wert 2 dreimal als y — mit halben Rechnungen kommst du hier also nicht durch. In jedem System stehen vor dem y schon Gegenzahlen: einfach addieren.
A11
Einsetzen oder Addieren?
AFB II
Welche Aussage gehört zu welchem Verfahren — oder zu beiden?
Ordne jede Aussage einem der drei Bereiche zu. Mit der Tastatur: Enter zum Auswählen, dann 1–3 für den Bereich, 0 zurück.
1 nur Einsetzen
2 beide Verfahren
3 nur Addieren
Beide Verfahren führen zum selben Lösungspaar. Der Unterschied liegt nur in der Vorarbeit: einmal auflösen und ersetzen — oder passend multiplizieren und addieren.
A12
Fehlersuche: I: 2x + 3y = 16, II: 5x − 2y = 21
AFB II
Ein Mitschüler hat so gerechnet. Markiere alle Zeilen, die einen Fehler enthalten.
In dieser Lösung stecken Fehler. Klicke genau die falschen Zeilen an — die richtigen musst du stehen lassen.
Drei Fehler, und alle hängen zusammen: Zweimal wurde die rechte Seite vergessen, und dieser Fehler pflanzt sich bis zum Ergebnis fort. Richtig ist x = 5 und y = 2.
A13
Jans Rechenweg
AFB II
Begleite Jan durch die Aufgabe und wähle in jedem Schritt die richtige Fortsetzung.
Spiele den Ablauf Schritt für Schritt durch: Was passiert als Nächstes? Nur die richtige Karte bringt dich weiter.
Der komplette Ablauf: Zielvariable wählen → passenden Faktor bestimmen → die ganze Gleichung multiplizieren → addieren und lösen → rücksubstituieren und Probe machen. Der zweite Schritt ist die häufigste Fehlerquelle, weil die rechte Seite gern vergessen wird.
A14
Lösungsweg zusammenbauen
AFB II
Baue den vollständigen Lösungsweg für I: 5x + 2y = 16 und II: 3x − 4y = 20. Zwei Bausteine sind falsch und bleiben übrig.
Setze den Lösungsweg von oben nach unten zusammen. Ein Klick legt den Baustein auf den nächsten freien Platz, ein Klick im Bauplan legt ihn zurück. Enter funktioniert genauso.
Die beiden Fallen sind Klassiker: die vergessene rechte Seite (2 · 16 = 32, nicht 16) und die vertauschten Koordinaten. In der Lösungsmenge steht immer erst x, dann y.
A15
Welcher Schritt ist gemeint?
AFB II
Fünf Fragen zum Ablauf des Verfahrens. Klicke jeweils den passenden Schritt im Schema an.
Klicke den gesuchten Schritt im Schema an. Mit der Tastatur: Tab oder Pfeiltasten zum Wandern, Enter zum Auswählen.
Schritt 4 ist der entscheidende: Bleibt dort eine Variable stehen, gibt es genau eine Lösung. Fallen beide weg, entscheidet die verbleibende Zahl über keine oder unendlich viele Lösungen.
A16
Erst passend machen, dann das x bestimmen
AFB III
In keinem der Systeme steht die Lösung schon da. Bestimme jeweils nur die x-Koordinate.
Wähle für jede Zeile die x-Koordinate der Lösung: 1 = x ist 1, 2 = x ist 2, 3 = x ist 3, 4 = x ist 4, 5 = x ist 5. Mit der Tastatur: Tab zur Zeile, ←/→ zwischen den Stufen, Enter setzt.
1 = x ist 15 = x ist 5
I: 3x + 4y = 16 und II: 5x − 4y = 16
I: 2x + 5y = 20 und II: 3x − 5y = 5
I: 4x + 3y = 24 und II: 2x − y = 2
I: 5x + 2y = 11 und II: 3x − 4y = −9
I: 3x + 2y = 16 und II: 4x − 3y = −7
Nur in den ersten beiden Zeilen darfst du sofort addieren. Zeile 3 verlangt II · 3, Zeile 4 verlangt I · 2, und in Zeile 5 brauchst du beide Faktoren: I · 3 und II · 2. Die x-Werte lauten der Reihe nach 4, 5, 3, 1 und 2.
A17
Multiplizieren heißt mehrfach addieren
AFB II
Gegeben ist I: 4x + 3y = 11 und II: 2x − 15y = −11. Gleichung I muss so multipliziert werden, dass beim Addieren das y wegfällt. Welche Zahl steht danach rechts von Gleichung I? Jeder Baustein steht für eine 11.
Klicke so viele Bausteine an, wie du brauchst. Tastatur: ←/→ wandern, Enter schaltet um. Die Summe rechnet sich live mit.
0
Ziel: 55
Vor dem y stehen 3 und −15. Weil 15 = 5 · 3 ist, brauchst du den Faktor 5 für Gleichung I — und Multiplizieren mit 5 heißt nichts anderes, als die rechte Seite fünfmal zu addieren: 5 · 11 = 55. Damit lautet I · 5: 20x + 15y = 55. Addiert man II dazu, ergibt sich 22x = 44, also x = 2 und y = 1.
A18
Kinokarten
AFB II
Zwei Erwachsenen- und drei Kinderkarten kosten zusammen 39,00 €. Vier Erwachsenen- und eine Kinderkarte kosten zusammen 43,00 €. Schätze zuerst: Was kostet eine Erwachsenenkarte?
Schiebe den Regler auf deine Schätzung — Pfeiltasten bewegen ihn feiner. Nach dem Prüfen siehst du den Trefferbereich.
0 €20 €
Das System lautet I: 2e + 3k = 39 und II: 4e + k = 43. Multipliziere I mit −2: −4e − 6k = −78. Addiert man II dazu, fällt das e weg: −5k = −35, also k = 7. Rücksubstitution in II: 4e = 43 − 7 = 36, also e = 9. Eine Erwachsenenkarte kostet 9,00 €, eine Kinderkarte 7,00 €.
A19
Entscheidungsbaum: Wie gehst du vor?
AFB II
Vor dir liegt I: 3x + 4y = 18 und II: 5x + 6y = 28. Arbeite dich durch den Baum, bis du beim passenden Vorgehen landest.
Beantworte die Fragen des Entscheidungsbaums mit Ja oder Nein und schau, wo du herauskommst.
Vor dem y stehen 4 und 6 — gleiches Vorzeichen, keine Zahl ist ein Vielfaches der anderen. Das kgV ist 12, also I · 3 und II · (−2). Das ergibt 9x + 12y = 54 und −10x − 12y = −56, addiert −x = −2 und damit x = 2 und y = 3.
A20
Der elegante Weg
AFB III
Gegeben ist I: 7x + 5y = 26 und II: 5x + 7y = 22. Die Koeffizienten sind vertauscht — das lässt sich ausnutzen, ohne ein einziges kgV zu bilden.
Rechne die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft.
Addiere I und II und teile das Ergebnis durch 12. Welchen Wert hat x + y?
Subtrahiere II von I und teile durch 2. Welchen Wert hat x − y?
Berechne daraus x.
Und wie groß ist y?
Der Trick: I + II ergibt 12x + 12y = 48, also x + y = 4. I − II ergibt 2x − 2y = 4, also x − y = 2. Addiert man diese beiden neuen Gleichungen, erhält man 2x = 6 und damit x = 3, aus der Differenz folgt y = 1. Der Umweg über kgV und Faktoren wäre hier viel länger gewesen. Probe: 7 · 3 + 5 · 1 = 26 ✓ und 5 · 3 + 7 · 1 = 22 ✓.
A21
Sofort addieren
AFB I
In beiden Systemen stehen vor einer Variablen bereits Gegenzahlen. Addiere die Gleichungen und gib das Lösungspaar an. a) I: 3x + 2y = 16 II: 5x − 2y = 16 b) I: 2x − 5y = −4 II: −2x + 9y = 12
Wonach suchst du?: Schau dir bei a) die Zahlen vor dem y an: +2 und −2. Bei b) sind es die Zahlen vor dem x: +2 und −2. Das sind jeweils Gegenzahlen.Gegenzahlen ergeben addiert 0 — die Variable fällt ohne jede Vorarbeit weg.
Spaltenweise addieren: a) 3x + 5x = 8x, 2y + (−2y) = 0 und 16 + 16 = 32. Es bleibt 8x = 32. b) 2x + (−2x) = 0, −5y + 9y = 4y und −4 + 12 = 8. Es bleibt 4y = 8.Schreibe die Gleichungen sauber untereinander, dann kannst du die drei Spalten einzeln addieren.
Lösung: a) 8x = 32, also x = 4; Rücksubstitution in I: 12 + 2y = 16 → y = 2. L = {(4 | 2)}. b) 4y = 8, also y = 2; Rücksubstitution in I: 2x − 10 = −4 → 2x = 6 → x = 3. L = {(3 | 2)}.Probe a): 5 · 4 − 2 · 2 = 16 ✓. Probe b): −2 · 3 + 9 · 2 = 12 ✓.
A22
Ein Faktor genügt
AFB I
Gegeben ist I: x + 3y = 11 II: 2x − y = 8. Multipliziere Gleichung I so, dass beim Addieren das x wegfällt, und berechne das Lösungspaar.
Welcher Faktor?: Vor dem x stehen 1 und 2. Damit Gegenzahlen entstehen, multiplizierst du Gleichung I mit −2.Ein Vielfaches liegt schon vor — deshalb reicht ein einziger Faktor.
I · (−2): Jeder Summand und die rechte Seite werden mit −2 multipliziert: −2x − 6y = −22.Addiert mit II: −2x + 2x = 0, −6y + (−y) = −7y und −22 + 8 = −14. Es bleibt −7y = −14.
Lösung: −7y = −14, also y = 2. Rücksubstitution in I: x + 6 = 11 → x = 5. L = {(5 | 2)}.Probe: I: 5 + 3 · 2 = 11 ✓ II: 2 · 5 − 2 = 8 ✓.
A23
Beide Gleichungen multiplizieren
AFB II
Im System I: 3x + 4y = 26 II: 5x − 3y = −5 passt zunächst nichts zusammen. Bestimme die Faktoren über das kgV und berechne das Lösungspaar.
Zielvariable wählen: Vor dem y stehen 4 und −3, ihr kgV ist 12. Vor dem x stehen 3 und 5, ihr kgV ist 15. Über das y kommst du also mit kleineren Zahlen ans Ziel.Die Vorzeichen sind hier schon verschieden — du brauchst kein zusätzliches Minus.
Faktoren bestimmen: 12 : 4 = 3 und 12 : 3 = 4, also I · 3 und II · 4. I · 3: 9x + 12y = 78 II · 4: 20x − 12y = −20.Vergiss die rechten Seiten nicht: 26 · 3 = 78 und −5 · 4 = −20.
Drei Brötchen und zwei Brezeln kosten zusammen 4,30 €. Fünf Brötchen und vier Brezeln kosten zusammen 8,10 €. Stelle ein Gleichungssystem auf (x = Preis eines Brötchens, y = Preis einer Brezel) und berechne beide Preise.
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System aufstellen: I: 3x + 2y = 4,3 II: 5x + 4y = 8,1. Vor dem y stehen 2 und 4 — hier reicht ein Faktor.Frage dich beim Aufstellen immer: Was kostet ein Stück?
Faktor mit Minus: Weil beide Zahlen vor dem y positiv sind, brauchst du ein Minus: I · (−2) ergibt −6x − 4y = −8,6.Addiert mit II: −6x + 5x = −x, −4y + 4y = 0 und −8,6 + 8,1 = −0,5. Es bleibt −x = −0,5.
Lösung: −x = −0,5, also x = 0,50. Rücksubstitution in I: 1,50 + 2y = 4,30 → 2y = 2,80 → y = 1,40. Ein Brötchen kostet 0,50 €, eine Brezel 1,40 €.Probe: 3 · 0,50 + 2 · 1,40 = 4,30 ✓ 5 · 0,50 + 4 · 1,40 = 8,10 ✓.
A25
Zeichnung und Rechnung im Wechsel
AFB IMix
a) Lies aus der Zeichnung den Schnittpunkt der beiden Geraden ab. b) Berechne anschließend mit dem Additionsverfahren die Lösung eines anderen Systems: I: 2x + y = 9 II: 3x − y = 11
Ablesen: Suche in a) den Punkt, in dem sich beide Geraden treffen, und lies zuerst den Wert auf der waagerechten Achse ab.Die Zeichnung liefert dieselbe Lösung wie die Rechnung — nur schneller und ungenauer.
Addieren: In b) stehen vor dem y bereits +1 und −1. Du darfst also sofort addieren: 5x = 20.Die y-Spalte ergibt y + (−y) = 0, die Zahlenspalte 9 + 11 = 20.
Lösung: a) S(2 | 3). b) 5x = 20, also x = 4; Rücksubstitution in I: 8 + y = 9 → y = 1. L = {(4 | 1)}.Die beiden Teilaufgaben gehören zu verschiedenen Systemen — vergleiche nicht die Zahlen, sondern das Vorgehen.
Zu a): Die beiden Geraden I und II mit ihrem Schnittpunkt.
A26
Erst ordnen, dann addieren
AFB II
Gegeben ist I: 5x = 3y + 14 II: 2y = 4x − 12. Bringe beide Gleichungen zuerst in die Form ax + by = c und berechne dann das Lösungspaar.
Ordnen: Bringe in I das 3y nach links: I: 5x − 3y = 14. Bringe in II das 4x nach links: −4x + 2y = −12, kürzer 2x − y = 6 nach Division durch −2.Ohne diesen Schritt stehen x-Glieder und y-Glieder nicht untereinander — das Addieren geht dann schief.
Faktor bestimmen: Vor dem y stehen nun −3 und −1. Weil 3 ein Vielfaches von 1 ist, genügt II · (−3): −6x + 3y = −18.Addiert mit I: 5x + (−6x) = −x, −3y + 3y = 0 und 14 + (−18) = −4. Es bleibt −x = −4.
Lösung: −x = −4, also x = 4. Rücksubstitution in 2x − y = 6: 8 − y = 6 → y = 2. L = {(4 | 2)}.Probe in den Ausgangsgleichungen: 5 · 4 = 20 und 3 · 2 + 14 = 20 ✓ 2 · 2 = 4 und 4 · 4 − 12 = 4 ✓.
A27
Der fehlende Koeffizient
AFB III
Gegeben ist I: 4x + ky = 10 II: 2x + 3y = 5. Für welchen Wert von k hat das System unendlich viele Lösungen? Und wie viele Lösungen hat es, wenn bei diesem k die rechte Seite von I auf 12 geändert wird?
Was heißt „unendlich viele“?: Unendlich viele Lösungen gibt es genau dann, wenn beide Gleichungen dieselbe Gerade beschreiben — wenn also eine Gleichung ein Vielfaches der anderen ist.Vergleiche zuerst die x-Glieder: 4 ist das Doppelte von 2.
Den Faktor übertragen: Wenn I das Doppelte von II sein soll, muss jedes Glied verdoppelt sein: 2 · 2x = 4x ✓, 2 · 3y = 6y und 2 · 5 = 10 ✓.Aus dem mittleren Vergleich liest du k ab.
Lösung: k = 6: Dann ist I genau das Doppelte von II, also L unendlich groß. Rechnerisch: II · (−2) + I ergibt 0x + 0y = 0, also 0 = 0. Mit der rechten Seite 12 ergibt dieselbe Rechnung 0 = 2 — eine falsche Aussage, also 0 Lösungen und L = { }.Links das Doppelte, rechts nicht: Die Geraden sind dann parallel und schneiden sich nie.
A28
Die Faktoren selbst bestimmen
AFB III
Gegeben ist I: 6x + 5y = 17 II: 9x − 4y = 14. Bestimme zwei ganze Zahlen p und q, mit denen I · p und II · q addiert das x eliminieren — und berechne damit das Lösungspaar. Wähle p positiv und so klein wie möglich.
kgV bilden: Vor dem x stehen 6 und 9. Ihr kleinstes gemeinsames Vielfaches ist 18.18 : 6 = 3 und 18 : 9 = 2 — das sind die Beträge der beiden Faktoren.
Vorzeichen setzen: Beide Koeffizienten sind positiv. Damit Gegenzahlen entstehen, muss genau einer der Faktoren negativ sein. Mit p = 3 (positiv und klein) folgt q = −2.I · 3: 18x + 15y = 51 II · (−2): −18x + 8y = −28.
Lösung: Addieren: 23y = 23, also y = 1. Rücksubstitution in I: 6x + 5 = 17 → 6x = 12 → x = 2. L = {(2 | 1)}.Probe: I: 12 + 5 = 17 ✓ II: 18 − 4 = 14 ✓. Auch p = −3 und q = 2 wäre richtig — dann drehen sich nur alle Vorzeichen um.
A29
Welches Verfahren ist hier das schnellste?
AFB IIAFB IIIMix
Drei Systeme, drei verschiedene Verfahren. Entscheide jedes Mal selbst, welcher Weg am wenigsten Arbeit macht, und berechne das Lösungspaar. a) I: y = 3x − 4 II: 2x + y = 11 b) I: y = 2x + 1 II: y = −x + 7 c) I: 4x + 3y = 19 II: 5x − 3y = 17
Woran erkennst du das Verfahren?: Ist eine Gleichung nach einer Variablen aufgelöst, lohnt sich das Einsetzungsverfahren. Sind beide nach derselben Variablen aufgelöst, ist Gleichsetzen am kürzesten. Stehen beide in der Form ax + by = c, nimm das Additionsverfahren.Ein Blick auf die Form der Gleichungen spart dir jedes Mal mehrere Zeilen Rechnung.
Die drei Ansätze: a) Einsetzen: 2x + (3x − 4) = 11. b) Gleichsetzen: 2x + 1 = −x + 7. c) Addieren: Vor dem y stehen +3 und −3, also sofort 9x = 36.In c) wäre der Umweg über das Einsetzungsverfahren deutlich länger, weil du erst durch 3 teilen müsstest.
Lösung: a) 5x − 4 = 11 → 5x = 15 → x = 3, y = 3 · 3 − 4 = 5. L = {(3 | 5)}. b) 3x = 6 → x = 2, y = 2 · 2 + 1 = 5. L = {(2 | 5)}. c) 9x = 36 → x = 4, aus I: 16 + 3y = 19 → y = 1. L = {(4 | 1)}.Alle drei Verfahren liefern immer dasselbe Ergebnis — sie unterscheiden sich nur im Aufwand.
A30
Rechnen, prüfen, weiterdenken
AFB III
Gegeben ist I: x + 2y = 8 II: 3x − 2y = 8. a) Berechne das Lösungspaar mit dem Additionsverfahren und vergleiche es mit der Zeichnung. b) Wie viele Lösungen hätte das System, wenn Gleichung II durch 2x + 4y = 20 ersetzt würde?
Teil a): Vor dem y stehen +2 und −2 — Gegenzahlen. Du darfst also sofort addieren, ohne zu multiplizieren.Die Zahlenspalte ergibt 8 + 8 = 16.
Teil b) vergleichen: Multipliziere Gleichung I mit 2: 2x + 4y = 16. Vergleiche die linke und die rechte Seite mit 2x + 4y = 20.Links stehen dieselben Terme, rechts zwei verschiedene Zahlen — das kann nicht gleichzeitig gelten.
Lösung: a) 4x = 16, also x = 4; Rücksubstitution in I: 4 + 2y = 8 → y = 2. L = {(4 | 2)} — genau der Schnittpunkt in der Zeichnung. b) I · (−2) + neue Gleichung II ergibt 0x + 0y = 4, also 0 = 4. Diese Aussage ist falsch, es gibt 0 Lösungen und L = { }.In b) sind beide Geraden parallel: Sie haben dieselbe Steigung −0,5, aber verschiedene y-Achsenabschnitte.
Zu a): Die Geraden zu I und II schneiden sich in (4 | 2).
