Das Vorwissen: Zuordnungen und Dreisatz
Lineare Funktionen verallgemeinern proportionale Zuordnungen. Koordinatensystem, Dreisatz und das Lösen einfacher Gleichungen braucht man in jeder Aufgabe (4.0.1–4.0.3).
Koordinatensystem
Ein Punkt P(x | y): zuerst nach rechts (x), dann nach oben (y).
Proportionale Zuordnung
Doppelt so viel x, doppelt so viel y. Der Quotient y : x ist immer gleich.
Dreisatz
Über die Einheit zum gesuchten Wert — auch rückwärts.
Quotientengleich oder nicht?
Bei proportionalen Zuordnungen ist y : x in jeder Tabellenspalte gleich. Genau diese Zahl heißt später Steigung m.
Lineare Funktionen: Steigung und Achsenabschnitt
Eine Funktion ordnet jedem x genau ein y zu. Bei linearen Funktionen ist der Graph eine Gerade, festgelegt durch m und b (4.1.1–4.1.5).
Funktion
Jedem x wird genau ein y zugeordnet. Stolperstein: Ein Graph, der senkrecht zweimal geschnitten wird, gehört zu keiner Funktion.
Steigung m
Wie viel y wächst, wenn x um 1 wächst. Mit dem Steigungsdreieck abzulesen.
y-Achsenabschnitt b
Der Schnittpunkt mit der y-Achse (0 | b). Bei proportionalen Funktionen ist b = 0.
Nullstelle
Dort schneidet die Gerade die x-Achse: y = 0 setzen und nach x auflösen.
Warum der Graph eine Gerade ist
Bei jedem Schritt um 1 nach rechts kommt immer derselbe Wert m hinzu. Gleiche Schritte in x erzeugen gleiche Schritte in y — das ergibt eine Gerade.
Geraden bestimmen und anwenden
Aus zwei Punkten oder aus Messdaten lässt sich die Gleichung aufstellen. Nicht jeder Zusammenhang ist aber linear (4.2.1–4.2.4).
Gerade durch zwei Punkte
Erst m aus beiden Punkten, dann b durch Einsetzen eines Punktes.
Punktwolken
Messwerte liegen selten genau auf einer Geraden. Eine Ausgleichsgerade verläuft mitten durch die Punkte.
Antiproportional
Doppelt so viel x, halb so viel y. Das Produkt ist konstant, der Graph ist keine Gerade (Hyperbel).
Linear, proportional oder antiproportional?
Proportional: Quotient konstant, Gerade durch den Ursprung. Linear: gleiche Zuwächse, Gerade mit b ≠ 0 möglich. Antiproportional: Produkt konstant, gekrümmter Graph.
Die Regeln, an denen die Punkte hängen
Die meisten Punkte gehen bei Vorzeichen, vertauschten Koordinaten und falsch abgelesenen Steigungsdreiecken verloren.
Steigung mit Vorzeichen
Fällt die Gerade, ist m negativ. Beim Steigungsdreieck immer von links nach rechts gehen und Δy mit Vorzeichen ablesen.
Differenzen in derselben Reihenfolge
m = (y2 − y1) : (x2 − x1) — oben und unten muss derselbe Punkt zuerst stehen.
b nicht mit der Nullstelle verwechseln
b ist der Schnittpunkt mit der y-Achse, die Nullstelle der Schnittpunkt mit der x-Achse. Zur Probe beide in die Skizze eintragen.