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Übung — AFB I

Sicher das Fundament — AFB I. Ablesen, einsetzen, ausrechnen: die zehn Standardaufgaben zu linearen Funktionen.

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Aufgabenblock — AFB I

Diese Übung deckt alle Kapitel des Themas „Lineare Funktionen“ ab. Du löst 10 Standardaufgaben der Anforderungsstufe AFB I (Reproduzieren) — also: Grundform kennen, Werte ablesen, einsetzen, ausrechnen. Diese Aufgaben sind die sicheren Punkte in jeder Klassenarbeit. Wer hier flott durchkommt, hat die Grundlage. Zu jeder Aufgabe gibt es bei Bedarf drei Stufen an Hilfe: Ansatz, Rechenweg und Lösung.

A1
Gleichung lesen — m und b bestimmen
AFB I

Gegeben ist y = 4x − 3. Lies die Steigung m und den y-Achsenabschnitt b direkt aus der Gleichung ab.

Ansatz: Jede lineare Funktion hat die Grundform y = m · x + b. Die Zahl direkt vor dem x ist die Steigung, die Zahl ohne x ist der y-Achsenabschnitt.
Rechenweg: Vor dem x steht 4, also m = 4. Dahinter steht −3 — das Minuszeichen gehört zur Zahl, also b = −3.
Lösung: m = 4 und b = −3. Die Gerade steigt und schneidet die y-Achse bei −3.
y =x4−3m = Steigungb = y-AchsenabschnittGrundform: y = m · x + b
m und b in der Gleichung
A2
Funktionswert berechnen
AFB I

Berechne zur Funktion y = 3x + 2 den Funktionswert an der Stelle x = 5.

Ansatz: Setze die Zahl für x in die Gleichung ein: überall dort, wo ein x steht, schreibst du 5.
Rechenweg: y = 3 · 5 + 2. Erst multiplizieren (Punkt vor Strich): 3 · 5 = 15, dann 15 + 2.
Lösung: y = 17. Der Punkt P(5 | 17) liegt also auf der Geraden.
y = 3x + 2y = 3 · 5 + 2x = 5 einsetzenPunkt vor Strich!
Einsetzen und ausrechnen
A3
Wertetabelle vervollständigen
AFB I

Vervollständige die Wertetabelle zu y = 2x − 1 für x = 0, 1 und 4.

Ansatz: Rechne jeden x-Wert einzeln aus: setze der Reihe nach 0, 1 und 4 für x ein.
Rechenweg: 2 · 0 − 1,  2 · 1 − 1,  2 · 4 − 1 — also 0 − 1, 2 − 1 und 8 − 1.
Lösung: −1, 1 und 7. Pro Schritt nach rechts wächst y um m = 2.
x014y???Wertetabelle zu y = 2x − 1Jeden x-Wert einzeln einsetzen
Wertetabelle zu y = 2x − 1
A4
Steigung am Steigungsdreieck ablesen
AFB I

An der Geraden ist ein Steigungsdreieck eingezeichnet: 2 Einheiten nach rechts, 4 Einheiten nach oben. Bestimme die Steigung m.

Ansatz: Die Steigung ist Höhenunterschied geteilt durch Schritt nach rechts: m = Δy : Δx.
Rechenweg: Hier ist Δx = 2 (nach rechts) und Δy = 4 (nach oben). Also m = 4 : 2.
Lösung: m = 2. Pro Schritt nach rechts geht die Gerade 2 Einheiten nach oben.
123456712345xyΔx = 2Δy = 4
Steigungsdreieck an der Geraden
A5
y-Achsenabschnitt aus dem Graphen
AFB I

Lies am Graphen den y-Achsenabschnitt b ab, also den y-Wert des Schnittpunkts mit der y-Achse.

Ansatz: b ist der Funktionswert an der Stelle x = 0 — suche den Punkt, in dem die Gerade die senkrechte Achse trifft.
Rechenweg: Lies an der Skala ab, wie hoch dieser Punkt liegt: 3 Einheiten über dem Ursprung.
Lösung: b = 3. Die Gerade schneidet die y-Achse im Punkt (0 | 3).
1234561234xyb = ?Schnittpunkt mit der y-Achse
Schnittpunkt mit der y-Achse
A6
Steigend oder fallend?
AFB I

Gegeben ist y = −0,5x + 4.

a) Gib die Steigung m an.  b) Entscheide, ob der Graph steigt oder fällt. Antwortcode: 1 = die Gerade steigt, 0 = die Gerade fällt.

Ansatz: Nur das Vorzeichen von m entscheidet: positiv → steigt, negativ → fällt. Der y-Achsenabschnitt spielt keine Rolle.
Rechenweg: Vor dem x steht −0,5, also m = −0,5 — und das ist kleiner als 0.
Lösung: m = −0,5 ist negativ, die Gerade fällt → Code 0.
m > 0m < 0steigtfälltDas Vorzeichen von m entscheidet
Vorzeichen von m
A7
Punktprobe — liegt der Punkt auf der Geraden?
AFB I

Liegt P(3 | 7) auf der Geraden y = 2x + 1?

a) Berechne den Funktionswert an der Stelle x = 3.  b) Antwortcode: 1 = P liegt darauf, 0 = P liegt nicht darauf.

Ansatz: Setze die x-Koordinate des Punktes ein und vergleiche das Ergebnis mit seiner y-Koordinate.
Rechenweg: y = 2 · 3 + 1 = 7. Die y-Koordinate von P ist ebenfalls 7.
Lösung: 7 = 7, die Probe geht auf → P liegt auf der Geraden, Code 1.
y = 2x + 12 · 3 + 1 = ?P (3 | 7)7x = 3 einsetzeny-Wert von P↔Gleich? → P liegt auf der Geraden
Punktprobe Schritt für Schritt
A8
Nullstelle berechnen
AFB I

Berechne die Nullstelle von y = 2x − 6, also die Stelle, an der der Graph die x-Achse schneidet.

Ansatz: An der Nullstelle ist y = 0. Löse also 0 = 2x − 6 nach x auf.
Rechenweg: 0 = 2x − 6  | + 6 → 6 = 2x  | : 2 → 3 = x.
Lösung: x = 3 — der Graph schneidet die x-Achse in (3 | 0).
0 = 2x − 66 = 2x3 = x| + 6| : 2Nullstelle: y = 0 setzenDie Nullstelle ist ein x-Wert
Nullstelle in drei Schritten
A9
Proportional oder nicht?
AFB I

Die Tabelle zeigt die Paare x = 2, 5, 8 mit y = 6, 15, 24.

a) Berechne den Quotienten y : x (bei allen Paaren gleich).  b) Antwortcode: 1 = proportional, 0 = nicht proportional.

Ansatz: Proportional ist eine Zuordnung genau dann, wenn der Quotient y : x bei allen Paaren gleich ist. Er ist dann der Faktor m.
Rechenweg: 6 : 2 = 3,  15 : 5 = 3,  24 : 8 = 3. Alle drei Quotienten stimmen überein.
Lösung: y : x = 3 bei jedem Paar → proportional, Code 1; die Gleichung lautet y = 3x.
x258y61524y : xy : xy : ximmer derselbe Wert? → proportional
Quotiententest an der Tabelle
A10
Geradengleichung aufschreiben
AFB I

Eine Gerade hat die Steigung m = 5 und schneidet die y-Achse bei −2.

a) Setze beide Zahlen in die Grundform y = m · x + b ein.  b) Berechne damit den Funktionswert an der Stelle x = 2.

Ansatz: Die Steigung kommt vor das x, der y-Achsenabschnitt dahinter: y = m · x + b.
Rechenweg: So entsteht y = 5x − 2. Einsetzen von x = 2: 5 · 2 − 2 = 10 − 2.
Lösung: y = 5x − 2 — an der Stelle x = 2 ist y = 8.
m = 5b = −2y =· x +Steigung vor das x, Achsenabschnitt dahinter
Bausteine der Grundform

Wie war es?

Wie sicher fühlst du dich nach diesen 10 AFB-I-Aufgaben?