Lineare Funktionen: Übungen AFB II – Mathe Klasse 8

Dein Fortschritt:

0 / 0 Aufgaben

Aufgabenblock — AFB II

10 Anwendungsaufgaben zu den Kapiteln 4.1 und 4.2. Jede Aufgabe braucht mehrere Schritte und einen Übersetzungsschritt: aus dem Sachtext oder dem Graphen musst du erst m und b herausholen, bevor du rechnen kannst. Bei Schwierigkeiten helfen dir die gestuften Tipps.

Zwei Messpunkte — die Gerade rekonstruieren

AFB II

Bei einem Physikversuch werden nur zwei Messwerte notiert: P(2 | 1) und Q(6 | 9). Der Zusammenhang ist erfahrungsgemäß linear, also gilt y = m·x + b.

a) Bestimme die Steigung m. b) Bestimme den y-Achsenabschnitt b. c) Welchen y-Wert hätte die Messung bei x = 10?

a) m = —

b) b = —

c) y(10) = —

Ansatz: Steigung aus zwei Punkten: m = (y₂ − y₁) : (x₂ − x₁). Danach einen der beiden Punkte in y = m·x + b einsetzen und nach b auflösen.

Rechenweg: m = (9 − 1) : (6 − 2) = 8 : 4 = 2. Einsetzen von P: 1 = 2·2 + b → 1 = 4 + b → b = −3. Damit y = 2x − 3 und y(10) = 2·10 − 3 = 17.

Lösung: m = 2, b = −3, also y = 2x − 3; y(10) = 17.

Vollständige Lösung

Zuerst die Steigung: m = Δy : Δx = (9 − 1) : (6 − 2) = 8 : 4 = 2. Dann den y-Achsenabschnitt: Man darf jeden der beiden Punkte einsetzen — mit P(2|1) folgt 1 = 2·2 + b, also b = −3. Probe mit Q: 2·6 − 3 = 9 ✓. Die Gerade lautet y = 2x − 3, damit ist y(10) = 20 − 3 = 17. Merke: Die Probe mit dem zweiten Punkt kostet 10 Sekunden und fängt fast jeden Vorzeichenfehler ab.

Gerade durch zwei Punkte

Nullstellen mit unbequemen Zahlen

AFB II

Zwei Geraden sind gegeben: g: y = 2,5x + 4 und h: y = −0,4x + 3. Beide schneiden die x-Achse — aber nicht bei glatten ganzen Zahlen.

Berechne beide Nullstellen. Gib sie als Dezimalzahl an (Komma erlaubt).

a) Nullstelle von g: x = —

b) Nullstelle von h: x = —

Ansatz: Nullstelle heißt: y = 0 setzen. Aus 0 = m·x + b folgt x = −b : m. Rechne mit Brüchen oder mit dem Taschenrechner — runde erst am Schluss.

Rechenweg: g: 0 = 2,5x + 4 → 2,5x = −4 → x = −4 : 2,5 = −1,6. h: 0 = −0,4x + 3 → 0,4x = 3 → x = 3 : 0,4 = 7,5.

Lösung: g hat die Nullstelle x = −1,6, h die Nullstelle x = 7,5.

Vollständige Lösung

Bei jeder Nullstelle setzt man y = 0 und löst die lineare Gleichung. g: 0 = 2,5x + 4 | −4 → −4 = 2,5x | :2,5 → x = −1,6. h: 0 = −0,4x + 3 | −3 → −3 = −0,4x | :(−0,4) → x = 7,5. Vorzeichencheck: g steigt und hat einen positiven y-Achsenabschnitt → die Nullstelle muss links von der y-Achse liegen, also negativ sein. h fällt und startet oberhalb → die Nullstelle liegt rechts, also positiv. Beides passt zu unseren Zahlen.

Zwei Nullstellen

Handytarif — Grundgebühr und Minutenpreis

AFB II

Ein Mobilfunktarif kostet 8,50 € Grundgebühr pro Monat. Jede Gesprächsminute wird zusätzlich mit 0,12 € berechnet. Die monatlichen Kosten K hängen von der Zahl x der Minuten ab.

a) Welchen Wert hat b in K(x) = m·x + b? b) Welchen Wert hat m? c) Wie viel zahlt Lina, wenn sie im Monat 150 Minuten telefoniert?

a) b = €

b) m = €/Min

c) K(150) = €

Ansatz: Was auch ohne jede Minute anfällt, ist der Startwert b. Was pro Minute dazukommt, ist die Steigung m. Erst die Gleichung aufstellen, dann x = 150 einsetzen.

Rechenweg: b = 8,50 € (Grundgebühr), m = 0,12 € je Minute → K(x) = 0,12·x + 8,50. K(150) = 0,12·150 + 8,50 = 18,00 + 8,50 = 26,50 €.

Lösung: b = 8,5; m = 0,12; K(150) = 26,50 €.

Vollständige Lösung

Der Sachtext liefert beide Parameter direkt: Die Grundgebühr fällt unabhängig von der Nutzung an, sie ist der y-Achsenabschnitt b = 8,5. Der Minutenpreis ist der Betrag, um den die Kosten pro zusätzlicher Minute wachsen, also die Steigung m = 0,12 (Einheit: € pro Minute). Die Funktionsgleichung lautet K(x) = 0,12x + 8,50. Für 150 Minuten: K(150) = 0,12·150 + 8,50 = 18 + 8,50 = 26,50 €. Typischer Fehler: 8,50 mit 150 zu multiplizieren — die Grundgebühr wird nur einmal addiert.

Tarifgerade K(x)

Taxifahrt — hin und zurück rechnen

AFB II

Ein Taxiunternehmen berechnet einen Grundpreis von 4,00 € und zusätzlich 1,80 € je gefahrenem Kilometer. Der Fahrpreis P hängt linear von der Strecke x ab.

a) Wie viel kostet eine Fahrt über 12 km? b) Ein Fahrgast hat genau 40,00 € dabei. Wie viele Kilometer kann er höchstens fahren?

a) P(12) = €

b) x = km

Ansatz: Modell aufstellen: P(x) = 1,8·x + 4. Teil a) ist ein Einsetzen, Teil b) ist die Umkehrung: Der Funktionswert ist bekannt, gesucht ist x — also Gleichung nach x auflösen.

Rechenweg: a) P(12) = 1,8·12 + 4 = 21,60 + 4 = 25,60 €. b) 40 = 1,8x + 4 | −4 → 36 = 1,8x | :1,8 → x = 20 km.

Lösung: a) 25,60 €. b) 20 km.

Vollständige Lösung

Das Modell lautet P(x) = 1,8x + 4 (Grundpreis = b, Kilometerpreis = m). a) Einsetzen: P(12) = 1,8·12 + 4 = 21,6 + 4 = 25,60 €. b) Hier ist die Richtung umgekehrt: Gegeben ist der Wert 40, gesucht das Argument x. 40 = 1,8x + 4 → 36 = 1,8x → x = 20 km. Sinnvoll prüfen: 20 km sind mehr als 12 km, und 40 € sind mehr als 25,60 € — größerer Preis gehört zu größerer Strecke, das Ergebnis ist plausibel.

Fahrpreis P(x)

Heißluftballon — Änderungsrate mit Einheit

AFB II

Ein Heißluftballon befindet sich zum Zeitpunkt t = 0 in 12 m Höhe und steigt danach gleichmäßig. Nach 8 weiteren Sekunden ist er 20 m höher.

a) Wie groß ist die Steigung m (in Metern pro Sekunde)? b) Welche Höhe hat der Ballon nach 20 s? c) Nach wie vielen Sekunden ist er 87 m hoch?

a) m = m/s

b) h(20) = m

c) t = s

Ansatz: Die Änderungsrate ist m = Δh : Δt und trägt die Einheit „Meter pro Sekunde“. Der Startwert 12 m ist b. Teil c) ist wieder eine Gleichung, keine Einsetzung.

Rechenweg: m = 20 m : 8 s = 2,5 m/s → h(t) = 2,5·t + 12. b) h(20) = 2,5·20 + 12 = 50 + 12 = 62 m. c) 87 = 2,5t + 12 → 75 = 2,5t → t = 30 s.

Lösung: a) m = 2,5 m/s. b) 62 m. c) nach 30 s.

Vollständige Lösung

Die Steigung ist hier eine Geschwindigkeit: m = Δh : Δt = 20 m : 8 s = 2,5 m/s. Der Startwert b = 12 m ist die Höhe zu Beginn, die Funktionsgleichung lautet h(t) = 2,5·t + 12. b) h(20) = 2,5·20 + 12 = 62 m. c) 87 = 2,5t + 12 → 75 = 2,5t → t = 30 s. Wichtig: Ohne Einheit ist „m = 2,5“ nur eine halbe Antwort. Erst „2,5 Meter pro Sekunde“ sagt, was die Zahl im Sachkontext bedeutet: pro zusätzlicher Sekunde steigt der Ballon um 2,5 m.

Höhe h(t) des Ballons

Erst zeichnen, dann ablesen

AFB II

Gegeben ist die Gerade g: y = −0,5x + 4. Zeichne sie in dein Heft: Starte im Punkt (0 | b) und nutze das Steigungsdreieck „4 nach rechts, 2 nach unten“.

a) Welchen Wert hat b? b) Lies den y-Wert bei x = 6 ab (und prüfe durch Rechnung). c) Bei welchem x hat die Gerade den Wert y = −1?

a) b = —

b) y(6) = —

c) x = —

Ansatz: Der y-Achsenabschnitt ist der Startpunkt auf der y-Achse. Negative Steigung heißt: nach rechts geht es abwärts. m = −0,5 = −1 : 2 → 4 nach rechts, 2 nach unten.

Rechenweg: a) b = 4. b) y(6) = −0,5·6 + 4 = −3 + 4 = 1. c) −1 = −0,5x + 4 → −5 = −0,5x → x = 10.

Lösung: a) b = 4. b) y(6) = 1. c) x = 10.

Vollständige Lösung

a) Der y-Achsenabschnitt steht direkt in der Gleichung: b = 4, der Graph startet bei (0|4). b) Vom Startpunkt aus 4 nach rechts und 2 nach unten führt zu (4|2), noch einmal zu (8|0). Zwischen diesen Punkten liegt (6|1) — die Rechnung bestätigt es: −0,5·6 + 4 = 1. c) Ablesen ist hier ungenau, deshalb rechnen: −1 = −0,5x + 4 → −5 = −0,5x → x = 10. Regel: Zeichnung zum Verstehen, Rechnung zum Belegen.

g: y = −0,5x + 4

Aus der Wertetabelle zur Gleichung

AFB II

Eine lineare Funktion ist nur durch ihre Wertetabelle bekannt (siehe rechts). Beachte: die x-Werte springen um 2, nicht um 1 — die Differenz der y-Werte ist also noch nicht die Steigung.

a) Bestimme m. b) Bestimme b. c) Berechne den Funktionswert für x = 11.

a) m = —

b) b = —

c) y(11) = —

Ansatz: m = Δy : Δx. Hier ist Δy = 5 und Δx = 2 — also unbedingt teilen, nicht einfach 5 nehmen. Für b ein Wertepaar aus der Tabelle einsetzen.

Rechenweg: m = 5 : 2 = 2,5. Einsetzen von (1|4,5): 4,5 = 2,5·1 + b → b = 2. Also y = 2,5x + 2 und y(11) = 2,5·11 + 2 = 27,5 + 2 = 29,5.

Lösung: m = 2,5; b = 2; y(11) = 29,5.

Vollständige Lösung

In der Tabelle wächst y jeweils um 5, während x um 2 wächst. Die Steigung ist deshalb m = Δy : Δx = 5 : 2 = 2,5. Setzt man das Paar (1|4,5) in y = 2,5x + b ein, folgt 4,5 = 2,5 + b, also b = 2. Kontrolle mit (7|19,5): 2,5·7 + 2 = 17,5 + 2 = 19,5 ✓. Damit ist y(11) = 2,5·11 + 2 = 29,5. Häufige Falle: b ist nur dann der erste Tabellenwert, wenn die Tabelle bei x = 0 beginnt — hier beginnt sie bei x = 1, also muss b berechnet werden.

Wertepaare und Differenzen

Schnittpunkte mit beiden Achsen

AFB II

Die Gerade y = 0,8x − 3,6 schneidet die x-Achse und die y-Achse. Zusammen mit den Achsen schließt sie ein rechtwinkliges Dreieck ein (grün markiert).

a) Bestimme die Nullstelle (Schnittpunkt mit der x-Achse). b) Gib den y-Wert des Schnittpunkts mit der y-Achse an. c) Berechne den Flächeninhalt des markierten Dreiecks.

a) x-Achse bei x = —

b) y-Achse bei y = —

c) A = FE

Ansatz: Schnittpunkt mit der y-Achse: x = 0 einsetzen. Schnittpunkt mit der x-Achse: y = 0 setzen. Die Katheten des Dreiecks sind die Beträge der beiden Achsenabschnitte.

Rechenweg: a) 0 = 0,8x − 3,6 → 0,8x = 3,6 → x = 4,5. b) x = 0 einsetzen: y = −3,6. c) Katheten 4,5 und 3,6 → A = ½·4,5·3,6 = 8,1 FE.

Lösung: a) x = 4,5. b) y = −3,6. c) A = 8,1 Flächeneinheiten.

Vollständige Lösung

a) Nullstelle: 0 = 0,8x − 3,6 | +3,6 → 3,6 = 0,8x | :0,8 → x = 4,5. b) Der Schnittpunkt mit der y-Achse ist immer (0|b), hier also y = −3,6. c) Das Dreieck hat die Ecken (0|0), (4,5|0) und (0|−3,6). Die Katheten liegen auf den Achsen und sind 4,5 bzw. 3,6 lang — die Länge ist der Betrag, auch wenn der Achsenabschnitt negativ ist. A = ½·4,5·3,6 = 8,1 FE. Verknüpfung: Hier trifft das Kapitel „Lineare Funktionen“ auf die Flächenformeln — typisch für Aufgaben, die mehrere Themen kombinieren.

Achsenschnittpunkte

Zwei Tarife vergleichen — wo liegt die Grenze?

AFB II

Zwei Anbieter stehen zur Auswahl. Tarif A: 15,00 € Grundgebühr + 0,05 € je Minute. Tarif B: 5,00 € Grundgebühr + 0,15 € je Minute.

a) Bei wie vielen Minuten kosten beide Tarife gleich viel? b) Wie hoch sind die Kosten in diesem Fall? c) Was zahlt man bei 60 Minuten im günstigeren Tarif?

a) gleich bei x = Min

b) Kosten dort = €

c) bei 60 Min = €

Ansatz: Beide Modelle aufstellen: A(x) = 0,05x + 15 und B(x) = 0,15x + 5. „Gleich teuer“ heißt: A(x) = B(x) — eine Gleichung mit x auf beiden Seiten.

Rechenweg: 0,05x + 15 = 0,15x + 5 | −0,05x → 15 = 0,1x + 5 | −5 → 10 = 0,1x → x = 100. Kosten: A(100) = 0,05·100 + 15 = 20 €. Bei 60 Min: A = 18 €, B = 0,15·60 + 5 = 14 € → B ist günstiger.

Lösung: a) 100 Minuten. b) 20 €. c) 14 € (Tarif B).

Vollständige Lösung

Die beiden Modelle sind A(x) = 0,05x + 15 und B(x) = 0,15x + 5. a) Gleichsetzen: 0,05x + 15 = 0,15x + 5 → 10 = 0,1x → x = 100 Minuten. b) Einsetzen in einen der beiden Tarife (Probe im anderen!): A(100) = 20 € und B(100) = 15 + 5 = 20 € ✓. c) Bei 60 Minuten: A(60) = 18 €, B(60) = 9 + 5 = 14 € — unterhalb der Grenze ist der Tarif mit der kleineren Grundgebühr günstiger. Verallgemeinerung: Links vom Schnittpunkt gewinnt B, rechts davon A. Wer viel telefoniert, fährt mit hoher Grundgebühr und niedrigem Minutenpreis besser.

Schnittpunkt der Tarife

A10

Parallele Gerade durch einen Punkt

AFB II

Gegeben ist g: y = −1,5x + 2 (grau gestrichelt). Gesucht ist die Gerade p, die parallel zu g verläuft und durch den Punkt P(4 | −1) geht.

a) Welche Steigung hat p? b) Welchen y-Achsenabschnitt hat p? c) Wie groß ist der Abstand der beiden y-Achsenabschnitte?

a) m = —

b) b = —

c) Differenz = —

Ansatz: Parallel bedeutet: gleiche Steigung, aber anderer y-Achsenabschnitt. Die Steigung kannst du also direkt abschreiben; b bekommst du durch Einsetzen von P.

Rechenweg: m = −1,5 (wie bei g). Einsetzen von P(4|−1): −1 = −1,5·4 + b → −1 = −6 + b → b = 5. Differenz der Achsenabschnitte: 5 − 2 = 3.

Lösung: p: y = −1,5x + 5; die Achsenabschnitte unterscheiden sich um 3.

Vollständige Lösung

Zwei Geraden sind genau dann parallel, wenn ihre Steigungen übereinstimmen. Also ist m = −1,5. Der Punkt P(4|−1) muss die Gleichung erfüllen: −1 = −1,5·4 + b → −1 = −6 + b → b = 5. Die gesuchte Gerade lautet p: y = −1,5x + 5. Die y-Achsenabschnitte liegen bei 5 und 2, ihr Abstand beträgt 3 Einheiten. Kontrolle: P einsetzen — −1,5·4 + 5 = −6 + 5 = −1 ✓. Und umgekehrt: Wären die Steigungen verschieden, müssten sich die Geraden irgendwo schneiden — parallele Geraden tun das nie.

g und die Parallele p

Reflexion — bevor du weitergehst

Drei Fragen zum Nachdenken — antworte für dich selbst.

1. m und b finden:Bei welcher Aufgabe hat es am längsten gedauert, bis du wusstest, welche Zahl die Steigung und welche der y-Achsenabschnitt ist? Woran hast du es am Ende erkannt?
2. Hin und zurück:Mehrere Aufgaben fragten einmal nach dem Funktionswert (x gegeben) und einmal nach dem x-Wert (y gegeben). Merkst du sicher, wann du einsetzen und wann du eine Gleichung lösen musst?
3. Einheiten:Die Steigung hieß mal „€ pro Minute“, mal „Meter pro Sekunde“. Kannst du zu jeder deiner Lösungen einen Satz sagen, der die Einheit von m erklärt?

Übung — AFB II

Aufgabenblock — AFB II

Reflexion — bevor du weitergehst