Zuordnungen beschreiben
Eine Zuordnung ordnet jedem \( x \) genau ein \( y \) zu — als Tabelle, Graph oder Vorschrift.
Verhältnis und Maßstab
Ein Verhältnis \( a:b \) vergleicht zwei Größen; kürzen wie Brüche. Maßstab \( 1:n \): 1 cm im Bild ist \( n \) cm in Wirklichkeit.
\( 1:25\,000 \Rightarrow 1\,\text{cm}\,\widehat{=}\,250\,\text{m} \)
Wertepaar und Graph
Jede Tabellenspalte wird ein Punkt \( (x\,|\,y) \): \( x \) nach rechts, \( y \) nach oben. Verbinden nur, wenn Zwischenwerte Sinn ergeben.
Punkt \( (8\,|\,11) \)
Zuordnungsvorschrift
Die Vorschrift sagt, wie man aus \( x \) den Wert \( y \) berechnet. Aus einer Tabelle: Zuwachs pro Schritt, dann Wert bei \( x=0 \).
Tabelle prüfen
Eine Spalte beweist nichts — die Vorschrift muss für alle Wertepaare stimmen.
Erst mit \( n \) malnehmen, dann die Einheit umrechnen: \( 8\,\text{cm}\cdot25\,000=200\,000\,\text{cm}=2\,\text{km} \).
Erst x, dann y
Das Wertepaar \( (8\,|\,11) \) ist ein anderer Punkt als \( (11\,|\,8) \). Die Ausgangsgröße steht vorne und auf der Rechtsachse.
Proportional und antiproportional
Zwei besondere Zuordnungen: gleiche Quotienten oder gleiche Produkte.
Proportional
Doppeltes \( x \) → doppeltes \( y \). Alle Quotienten \( y:x \) sind gleich \( k \).
Ursprungsgerade
Der Graph einer proportionalen Zuordnung ist eine Gerade durch \( (0\,|\,0) \). Bei \( x=1 \) liest man \( k \) ab.
Antiproportional
Doppeltes \( x \) → halbes \( y \). Alle Produkte \( x\cdot y \) sind gleich \( k \).
Hyperbel
Der Graph einer antiproportionalen Zuordnung ist eine Hyperbel; sie berührt die Achsen nie.
\( 7{,}50\,€:3\,\text{kg}=2{,}50\,€ \) pro kg. \( 4 \) Personen \( \cdot\,6 \) Tage \( =24 \) Personentage.
Je mehr, desto mehr reicht nicht
Taxi mit Grundpreis, Körpergröße, Kerze: gleich- oder gegensinnig, aber weder proportional noch antiproportional — immer rechnen.
Dreisatz und Sachaufgaben
Mit dem Dreisatz rechnet man vom bekannten Wertepaar über die Einheit zum gesuchten Wert.
Dreisatz proportional
Links und rechts dieselbe Rechenart: erst teilen, dann malnehmen.
1 Heft ≙ 1,50 €
7 Hefte ≙ 10,50 €
Dreisatz antiproportional
Rechts die Gegen-Rechenart: links \( :3 \), rechts \( \cdot 3 \).
1 Pumpe ≙ 24 h
4 Pumpen ≙ 6 h
Modellieren
Verstehen → Modell wählen und begründen → rechnen → prüfen und antworten.
Grenzen des Modells
Sinnvoll runden (2,1 Busse → 3 Busse) und prüfen, ob das Modell in der Wirklichkeit noch gilt.
Vorher klären, ob die Zuordnung proportional oder antiproportional ist. Bei Grundgebühren hilft kein Dreisatz, sondern die Vorschrift \( y=k\cdot x+b \).
Regel 1 — Zuordnungsart begründen
Ein Satz genügt: „Doppelt so viele Pumpen brauchen halb so lange, also antiproportional.“
Regel 2 — Einheiten in jede Zeile
„1 Pumpe ≙ 24 h“ — mit Einheit fällt auf, wenn ein Ergebnis nicht passen kann.