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Zusammenfassung

Alles Wichtige des Kapitels auf einen Blick — vom Steckbrief über die Nahtstelle bis zur Ortskurve.

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Eigenschaften und Steckbriefe

Globale Eigenschaften verkleinern den Ansatz, lokale liefern Gleichungen — das LGS löst du von Hand oder mit dem Rechner.

Symmetrie

Nur gerade Exponenten → achsensymmetrisch zur y-Achse; nur ungerade → punktsymmetrisch zum Ursprung. Nachweis allgemein mit −x.

f(−x) = f(x) · f(−x) = −f(x)

Globalverhalten

Für |x| → ∞ entscheidet der Summand mit dem höchsten Exponenten. Periodisch: f(x + p) = f(x); sin(bx) hat p = 2π/b.

f(x) ≈ aₙxⁿ für |x| → ∞

Bedingungen

Punkt → f, Steigung → f′, Wendestelle → f″. Extrem- und Wendepunkte mit Koordinaten liefern zwei Gleichungen, ein Sattelpunkt drei.

H(1 | 4): f(1) = 4, f′(1) = 0

Gauß und Regression

Stufenform, dann rückwärts einsetzen; 0 = 0 → unendlich viele, 0 = c → keine Lösung. Regression: Summe der Abweichungsquadrate minimal.

GTR: F2 CALC › F3 REG
Ansatz und Anzahl
Grad n → n + 1 Koeffizienten → n + 1 Bedingungen
Achsensymmetrisch Grad 4: ax⁴ + bx² + c · punktsymmetrisch Grad 3: ax³ + cx. f′ und f″ vor dem Einsetzen notieren.

Symmetrie ist keine Gleichung

Sie streicht Summanden aus dem Ansatz. Wer sie zusätzlich als Bedingung zählt, bekommt ein LGS mit zu vielen Gleichungen.

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Abschnittsweise definierte Funktionen

An der Nahtstelle x₀ wird geprüft: erst Sprung, dann Knick, bei Trassen auch die Krümmung.

Stetigkeit

Links- und rechtsseitiger Grenzwert stimmen mit f(x₀) überein. Bei ganzrationalen Stücken genügt Einsetzen.

g(x₀) = h(x₀)

Differenzierbarkeit

Stetig und gleiche Steigung von links und rechts. Stücke einzeln ableiten, dann x₀ einsetzen.

g′(x₀) = h′(x₀)

Knick

Stetig, aber verschiedene Steigungen — keine eindeutige Tangente. Beispiel: |x| bei 0.

differenzierbar ⇒ stetig, nicht umgekehrt

Trassierung

Sprungfrei = stetig, knickfrei = differenzierbar, krümmungsruckfrei = auch f″ gleich. Je Nahtstelle zwei bzw. drei Bedingungen.

knickfrei: Grad 3 · krümmungsruckfrei: Grad 5
Übergang bei x₀
g(x₀) = h(x₀) · g′(x₀) = h′(x₀) · g″(x₀) = h″(x₀)
Die erste Gleichung verhindert einen Sprung, die zweite einen Knick, die dritte einen Krümmungsruck.

Nur zwischen den Nahtstellen gültig

Ein Übergangsbogen beschreibt die Trasse nur auf seinem Intervall. Außerhalb gelten die angrenzenden Stücke.

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Funktionenscharen

Mit dem Parameter rechnest du wie mit einer Zahl — die Ergebnisse sind Terme in k, oft mit Fallunterscheidung.

Schar untersuchen

Nach x ableiten, fk′(x) = 0 lösen, Fälle für k unterscheiden. Beispiel x³ − 3kx: zwei Extrempunkte nur für k > 0.

Tk(√k | −2k√k)

e-Scharen

Produkt- und Kettenregel; den e-Faktor ausklammern, er wird nie 0. Bedingungen an die Schar werden zu Ungleichungen in k.

x · e−kx: Hk(1/k | 1/(k·e))

Gemeinsame Punkte

fa(x) = fb(x) mit a ≠ b lösen — oder fk = u + k · v schreiben und v(x) = 0 lösen.

x³ + k(x² − x): (0 | 0), (1 | 1)

Ortskurven

xE(k) nach k auflösen, in yE(k) einsetzen, Definitionsbereich angeben.

x = √k, y = −2k√k → y = −2x³
Mit dem Parameter rechnen
Ableiten nach x · k wie eine feste Zahl behandeln
Das Ergebnis enthält k; Nenner und Wurzeln verlangen Bedingungen an k (k ≠ 0, k > 0).

Parameter anpassen

Soll eine Scharkurve eine Bedingung erfüllen, wird die Koordinate gleich dem Zielwert gesetzt und nach k aufgelöst — und geprüft, ob das k im erlaubten Bereich liegt.

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Die Regeln, an denen die Punkte hängen

Die meisten Punkte gehen nicht beim Rechnen verloren, sondern beim Aufstellen, Begründen und Deuten.

Nachweise allgemein führen

Symmetrie, Stetigkeit und gemeinsame Punkte werden mit Termen gezeigt, nicht mit Zahlenbeispielen. Ein Beispiel kann eine Aussage nur widerlegen.

Nahtstelle in beiden Termen

Schreibe links und rechts getrennt: Wert, Steigung und — bei Trassen — Krümmung. So fällt auf, welche Bedingung fehlt.

Bedingungen an k notieren

Sobald √k, 1/k oder ln k auftaucht, gehört „k > 0“ oder „k ≠ 0“ dazu. Bei Ortskurven auch den x-Bereich angeben.

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