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Übung — AFB I (Reproduzieren)

Zehn Grundaufgaben von der Symmetrie bis zur Funktionenschar — wer sie sicher löst, hat die ersten Punkte der Klausur schon.

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Aufgabenblock — AFB I

Zehn Standardaufgaben zum Reproduzieren: Regel kennen, einsetzen, ausrechnen — von der Symmetrie über Bedingungen und Nahtstellen bis zur Schar.

A1
Symmetrie am Funktionswert
AFB I

Gegeben ist f(x) = x³ − 2x. Berechne f(−2).

Einsetzen: −2 in Klammern einsetzen: (−2)³ = −8.
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f(−2) = (−2)³ − 2 · (−2) = −8 + 4 = −4. Zum Vergleich f(2) = 4 — passt zur Punktsymmetrie, ist aber noch kein Nachweis.
A2
Bedingungen am Sattelpunkt
AFB I

Gib an, wie viele Bedingungen der Sattelpunkt S(1 | 2) liefert.

Bedingungen
Sattelpunkt: Punkt auf dem Graphen, waagerechte Tangente und Wendestelle.
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f(1) = 2, f′(1) = 0 und f″(1) = 0, also = 3 Bedingungen.
A3
Parabel durch drei Punkte
AFB I

Die Parabel f(x) = ax² + bx + c geht durch (0 | 1), (1 | 0) und (2 | 3). Ermittle a.

Ansatz: Jeder Punkt liefert eine Gleichung f(x₀) = y₀.
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c = 1; a + b + 1 = 0; 4a + 2b + 1 = 3. Aus der zweiten b = −1 − a, eingesetzt: 4a − 2 − 2a = 2 → a = 2 (b = −3).
A4
Rückwärts einsetzen
AFB I

Das LGS hat schon Stufenform: I: 2a + b − c = 3 · II: b + 2c = 7 · III: 3c = 9. Bestimme a.

Stufenform: Unten beginnen: erst c, dann b, zuletzt a.
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c = 3; b = 7 − 6 = 1; 2a + 1 − 3 = 3 → 2a = 5, also a = 2,5
A5
Stetig machen
AFB I

f(x) = x² + a für x < 1 und f(x) = 2x + 3 für x ≥ 1. Bestimme a so, dass f stetig ist.

Stetig: Beide Terme liefern an der Nahtstelle denselben Wert.
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Links: 1 + a, rechts: f(1) = 5. 1 + a = 5, also a = 4
A6
Glatter Anschluss
AFB I

g(x) = x³ für x < 2 soll differenzierbar in die Gerade h(x) = mx + b übergehen. Gib m an.

Differenzierbar: gleiche Steigung an der Nahtstelle: h′(2) = g′(2).
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g′(x) = 3x², g′(2) = 12, also m = 12 (dazu b = 8 − 24 = −16).
A7
Steigung rechts der Naht
AFB I

f(x) = −x + 5 für x < 2 und f(x) = x² − 1 für x ≥ 2. Gib die Steigung des rechten Stücks an der Nahtstelle an.

Rechtsseitig: Den rechten Term ableiten und x₀ = 2 einsetzen.
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(x² − 1)′ = 2x, an der Stelle 2 also m = 4. Links ist die Steigung −1: f ist stetig (3 = 3), hat aber einen Knick.
A8
Scheitel einer Schar
AFB I

Für fk(x) = x² − 2kx liegt der Scheitel bei x = k. Berechne die y-Koordinate des Scheitels für k = 3.

Einsetzen: f₃(3) = 3² − 2 · 3 · 3.
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f₃(3) = 9 − 18 = −9; allgemein Sk(k | −k²).
A9
Hochpunkt einer e-Schar
AFB I

fk(x) = x · e−kx hat den Hochpunkt Hk(1/k | 1/(k·e)). Gib die x-Koordinate für k = 0,25 an.

Formel: xH = 1/k.
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x = 1 : 0,25 = 4
A10
Gemeinsamer Punkt
AFB I

Alle Graphen von fk(x) = kx² + x − k gehen durch zwei gemeinsame Punkte. Gib die y-Koordinate des gemeinsamen Punkts mit x > 0 an.

Nach k ordnen: fk(x) = x + k · (x² − 1); gemeinsam, wo x² − 1 = 0.
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x² − 1 = 0 → x = ±1; für x = 1: fk(1) = 1 + 0 = 1, also (1 | 1).