Von der Änderung zum Bestand: Zusammenfassung – Mathe Klasse 13

Von der Änderung zum Bestand

Die Änderungsrate sagt, wie schnell sich ein Bestand ändert — die Fläche unter ihrem Graphen, wie stark er sich insgesamt ändert.

Rate und Bestand grafisch

\( r(t)=B'(t) \). \( r>0 \): \( B \) steigt; \( r<0 \): \( B \) fällt. VZW von \( r \) \( +\to- \): Maximum von \( B \); Extremstelle von \( r \): Wendestelle von \( B \).

Einheit von \( r \): Bestand pro Zeit

Bestand rekonstruieren

Bei konstanter Rate ist die Änderung eine Rechteckfläche, bei linearer ein Dreieck oder Trapez. Flächen unter der \( t \)-Achse zählen negativ.

\( B(t)=B(0)+\text{orientierte Flächen} \)

Produktsummen

Intervall in \( n \) Streifen der Breite \( \Delta x=\tfrac{b-a}{n} \) teilen. Steigt \( f \), liefern linke Stützstellen \( U_n \), rechte \( O_n \) — bei fallendem \( f \) umgekehrt.

\( U_n\le\displaystyle\int_a^b f(x)\,\mathrm dx\le O_n \)

Integralregeln

Integral = Summe orientierter Flächen. \( \int_a^a f=0 \), Intervalle aneinanderhängen, beim Vertauschen der Grenzen ändert sich das Vorzeichen.

\( \int_a^b f+\int_b^c f=\int_a^c f \)
\( \int_b^a f=-\int_a^b f \)

Bestimmtes Integral

\( \displaystyle\int_a^b f(x)\,\mathrm dx=\lim_{n\to\infty}U_n=\lim_{n\to\infty}O_n \)

Integrand \( f \), Grenzen \( a \) und \( b \), Integrationsvariable \( x \). Beispiel \( f(x)=x^2 \) auf \( [0;2] \): \( U_4=1{,}75 \), \( O_4=3{,}75 \), Grenzwert \( \tfrac83 \).

Höhe nicht ablesbar

Aus dem Ratengraphen allein kennt man nur Änderungen. Den Bestand selbst liefert erst der Anfangsbestand \( B(0) \).

Stammfunktionen

Eine Stammfunktion macht das Ableiten rückgängig — geprüft wird immer durch Ableiten.

Stammfunktion

\( F \) heißt Stammfunktion von \( f \), wenn \( F'=f \). Mit \( F \) ist auch \( F+C \) eine; die Graphen sind in \( y \)-Richtung verschoben.

\( F'(x)=f(x) \)

Potenzregel

Exponent um 1 erhöhen, durch den neuen Exponenten teilen. Gilt auch für negative und gebrochene Exponenten: \( \tfrac1{x^2}=x^{-2}\to-\tfrac1x \), \( \sqrt x=x^{1/2}\to\tfrac23x^{3/2} \). Lücke \( r=-1 \): \( \tfrac1x \) hat die Stammfunktion \( \ln|x| \).

\( x^r\to\dfrac{1}{r+1}x^{r+1},\;r\ne-1 \)
\( \tfrac1x\to\ln|x| \)

Summen- und Faktorregel

Summandenweise integrieren, Faktoren bleiben stehen, eine Konstante \( k \) wird zu \( kx \). Beispiel: \( 6x^2-4x+1\to2x^3-2x^2+x \).

\( a\,f+b\,g\to a\,F+b\,G \)

\( e^x \), \( \sin x \), \( \cos x \)

Die \( e \)-Funktion bleibt erhalten; beim Sinus-Kosinus-Kreislauf läuft man rückwärts: \( \sin\to-\cos \), \( \cos\to\sin \).

\( e^x\to e^x \)
\( \sin x\to-\cos x \)
\( \cos x\to\sin x \)

Lineare innere Funktion

\( f(x)=g(ax+b)\;\Rightarrow\;F(x)=\dfrac1a\,G(ax+b) \)

Durch die innere Ableitung \( a \) teilen: \( e^{2x}\to\tfrac12e^{2x} \), \( \cos(3x)\to\tfrac13\sin(3x) \). Probe mit der Kettenregel: \( \big(\tfrac12e^{2x}\big)'=e^{2x} \).

Immer die Probe

Ein Zwischenschritt „\( F'=f \)?“ kostet zehn Sekunden und findet fast jeden Fehler bei Exponent, Vorzeichen oder innerer Ableitung.

Hauptsatz, Flächen und Volumen

Mit einer Stammfunktion wird aus dem Grenzwert von Streifensummen eine einzige Differenz.

Integralfunktion

\( I_a(x)=\int_a^x f(t)\,\mathrm dt \). Ein schmaler Streifen hat etwa die Fläche \( f(x)\cdot h \), daher \( I_a'=f \): Jede Integralfunktion ist eine Stammfunktion.

\( I_a'(x)=f(x),\;I_a(a)=0 \)

Fläche mit der \( x \)-Achse

Nullstellen im Intervall bestimmen, Teilintegrale getrennt berechnen, Beträge addieren. Beispiel \( x^3-4x \) auf \( [0;3] \): Integral \( 2{,}25 \), Fläche \( 10{,}25 \).

\( A=\Big|\int_a^{x_1}f\Big|+\Big|\int_{x_1}^{b}f\Big| \)

Fläche zwischen zwei Graphen

Differenzfunktion \( d=f-g \) bilden, Schnittstellen als Grenzen; die Lage zur \( x \)-Achse spielt keine Rolle. Wechselt \( d \) das Vorzeichen, abschnittsweise mit Beträgen.

\( A=\displaystyle\int_a^b\big(f(x)-g(x)\big)\,\mathrm dx,\;f\ge g \)

Sachkontext

Das Integral der Rate ist die Gesamtänderung; Einheit = Einheit der Rate · Einheit der Zeit. Gesamtänderung \( 0 \) heißt nicht, dass nichts geflossen ist.

\( B(b)=B(a)+\displaystyle\int_a^b r(t)\,\mathrm dt \)

Rotationskörper

Die Fläche unter \( f \) dreht sich um die \( x \)-Achse; Querschnitte sind Kreise mit Fläche \( \pi f(x)^2 \). Beispiel \( \sqrt x \) auf \( [0;4] \): \( V=8\pi \). Hohlkörper: \( f^2-g^2 \).

\( V=\pi\displaystyle\int_a^b f(x)^2\,\mathrm dx \)

Uneigentliche Integrale

Erst bis \( b \) (bzw. ab \( a \)) integrieren, dann Grenzwert. \( \int_1^\infty\tfrac1{x^2}=1 \), \( \int_0^1\tfrac1{\sqrt x}=2 \); \( \tfrac1x \) divergiert in beide Richtungen.

\( \displaystyle\int_a^\infty f=\lim_{b\to\infty}\int_a^b f \)

Mit dem GTR (fx-CG50)

RUN-MAT: OPTN → F4 (CALC) → F4 (∫dx). GRAPH: SHIFT F5 (G-Solv) → F6 (▷) → F3 (∫dx) → F1 (∫dx); mit F2 (ROOT) zwischen Nullstellen auch den Flächeninhalt.

Winkelmodus: Rad

Mit dem CAS (TI-Nspire)

Integral über menu → 4: Analysis → 3: Integral; gesuchte Grenze mit solve, z. B. \( \int_0^s r(t)\,\mathrm dt=300 \) nach \( s \) lösen.

solve(∫(r(t),t,0,s)=300,s)

Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung

\( \displaystyle\int_a^b f(x)\,\mathrm dx=\big[F(x)\big]_a^b=F(b)-F(a) \)

\( F \) ist eine beliebige Stammfunktion von \( f \), \( f \) stetig auf \( [a;b] \). Beispiel: \( \int_1^3(2x+1)\,\mathrm dx=\big[x^2+x\big]_1^3=12-2=10 \).

Regel 1 — Integral oder Fläche?

Wird nach einem Flächeninhalt gefragt, immer zuerst nach Nullstellen bzw. Schnittstellen im Intervall suchen.

Regel 2 — Deuten mit Einheit

Im Sachkontext gehört zum Integral ein Satz mit Einheit: „In den ersten 6 Stunden fließen etwa \( 384\,\mathrm{m^3} \) Wasser zu.“

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