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Übung AFB I

Stammfunktion, Hauptsatz, Streifensumme: zehn Handgriffe, mit denen du in der Integral-Klausur sichere Punkte holst.

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Aufgabenblock — AFB I

Zehn Standardaufgaben quer durch das Kapitel — bunt gemischt statt nach Unterkapiteln sortiert: Graphen lesen, Rechteckflächen, Unter- und Obersumme, Stammfunktionen und Hauptsatz. Das sind die sicheren Punkte in jeder Klausur zur Integralrechnung.

A1
Extremstellen des Bestands am Ratengraphen
AFB I

Der Graph zeigt die Zuflussrate \(r\) eines Wasserbeckens. Entnehmen Sie dem Graphen, zu welchen Zeitpunkten im Intervall \(]0;7[\) die Wassermenge \(B\) ein lokales Minimum bzw. ein lokales Maximum hat.

h
h
Rate und Bestand: \(r=B'\). Wo \(r\) das Vorzeichen wechselt, hat \(B\) eine Extremstelle.
Bei \(t=1\) wechselt \(r\) von \(-\) nach \(+\), bei \(t=5\) von \(+\) nach \(-\). Welcher Wechsel gehört zu einem Maximum?
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Bis \(t=1\) fließt Wasser ab (\(r<0\)), danach zu: Minimum bei \(t=1\). Ab \(t=5\) ist \(r<0\), der Bestand fällt wieder: Maximum bei \(t=5\). → Min. bei t = 1 h, Max. bei t = 5 h
1234567−3−2−11trr
Zuflussrate \(r(t)\) in \(\mathrm{m^3/h}\), \(t\) in h
A2
Stammfunktion mit Potenzregel
AFB I

Gegeben ist \(f(x)=6x^2-4x+1\). Geben Sie die Stammfunktion \(F\) von \(f\) mit \(F(0)=0\) an und den Wert \(F(2)\).

Potenzregel: \(x^n\) hat die Stammfunktion \(\tfrac{1}{n+1}x^{n+1}\); eine Konstante \(k\) hat die Stammfunktion \(kx\).
\(F(x)=2x^3-2x^2+x+C\). Aus \(F(0)=0\) folgt \(C=0\). Setze \(x=2\) ein.
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\(F(x)=2x^3-2x^2+x\), \(F(2)=16-8+2\) = 10
A3
Untersumme und Obersumme mit vier Streifen
AFB I

Bestimmen Sie für \(f(x)=x^2\) auf \([0;2]\) die Untersumme \(U_4\) und die Obersumme \(O_4\).

Streifenbreite: \(\Delta x=\tfrac{b-a}{n}=0{,}5\). \(f\) steigt, also liefern die linken Stützstellen \(U_4\), die rechten \(O_4\).
\(U_4=0{,}5\cdot\big(f(0)+f(0{,}5)+f(1)+f(1{,}5)\big)\), \(O_4=0{,}5\cdot\big(f(0{,}5)+f(1)+f(1{,}5)+f(2)\big)\).
Lösung anzeigen
\(U_4=0{,}5\cdot(0+0{,}25+1+2{,}25)=1{,}75\); \(O_4=0{,}5\cdot(0{,}25+1+2{,}25+4)=3{,}75\) → 1,75 ≤ Fläche ≤ 3,75
0,511,521234xyf
\(f(x)=x^2\) auf \([0;2]\), vier Streifen
A4
Integral mit dem Hauptsatz
AFB I

Berechnen Sie \(\displaystyle\int_1^3 (2x+1)\,\mathrm{d}x\).

Hauptsatz: \(\displaystyle\int_a^b f(x)\,\mathrm dx=\big[F(x)\big]_a^b=F(b)-F(a)\).
Eine Stammfunktion ist \(F(x)=x^2+x\). Berechne \(F(3)-F(1)\).
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\(\big[x^2+x\big]_1^3=(9+3)-(1+1)\) = 10
A5
Obere Grenze beim ln
AFB I

Lösen Sie die Gleichung \(\displaystyle\int_1^{b}\tfrac3x\,\mathrm dx=6\) nach \(b>1\) (drei Nachkommastellen).

ln-Regel: \(\tfrac1x\) hat die Stammfunktion \(\ln|x|\); ein Faktor bleibt stehen.
\(\big[3\ln x\big]_1^{b}=3\ln b\), denn \(\ln1=0\).
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\(3\ln b=6\Rightarrow\ln b=2\Rightarrow b=e^2\) ≈ 7,389
A6
Lineare innere Funktion
AFB I

Es gilt: \(F(x)=a\cdot e^{2x}\) ist eine Stammfunktion von \(f(x)=4e^{2x}\), und \(G(x)=b\cdot\sin(2x)\) ist eine Stammfunktion von \(g(x)=\cos(2x)\). Nennen Sie \(a\) und \(b\).

Lineare innere Funktion: \(g(mx+n)\) hat die Stammfunktion \(\tfrac1m\,G(mx+n)\) — durch die innere Ableitung teilen.
\(e^{2x}\to\tfrac12e^{2x}\), \(\cos(2x)\to\tfrac12\sin(2x)\). Den Faktor 4 mitnehmen.
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\(4\cdot\tfrac12e^{2x}=2e^{2x}\), also \(a=2\); \(\cos(2x)\to\tfrac12\sin(2x)\), also \(b=0{,}5\). Probe: \((2e^{2x})'=4e^{2x}\) ✓ → a = 2, b = 0,5
A7
Kegel als Rotationskörper
AFB I

Der Graph von \(f(x)=0{,}5x\) rotiert über \([0;6]\) um die \(x\)-Achse. Stellen Sie das Volumen des entstehenden Kegels als Integral dar und geben Sie seinen Wert mit zwei Nachkommastellen an.

VE
Rotationsvolumen: \(V=\pi\int_a^b f(x)^2\,\mathrm dx\).
\(f(x)^2=0{,}25x^2\), Stammfunktion \(\tfrac1{12}x^3\).
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\(V=\pi\int_0^6 0{,}25x^2\,\mathrm dx=\pi\big[\tfrac1{12}x^3\big]_0^6=18\pi\) ≈ 56,55 VE. Probe: \(\tfrac13\pi r^2h=\tfrac13\pi\cdot9\cdot6=18\pi\).
A8
Uneigentliches Integral nach rechts
AFB I

Untersuchen Sie, ob \(\displaystyle\int_1^{\infty}\tfrac4{x^2}\,\mathrm dx\) existiert, und geben Sie ggf. den Wert an.

Uneigentliches Integral: \(\int_1^\infty f=\lim_{b\to\infty}\int_1^b f\).
\(\int_1^b 4x^{-2}\,\mathrm dx=\big[-\tfrac4x\big]_1^b=4-\tfrac4b\). Was passiert für \(b\to\infty\)?
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\(\lim_{b\to\infty}\big(4-\tfrac4b\big)\) = 4
A9
Fläche unter der x-Achse
AFB I

Ermitteln Sie den Inhalt der Fläche, die der Graph von \(f(x)=x^2-4\) mit der \(x\)-Achse einschließt. (Brüche wie 32/3 sind erlaubt.)

FE
Fläche: zwischen den Nullstellen integrieren; liegt die Fläche unter der Achse, ist das Integral negativ — \(A\) ist sein Betrag.
Nullstellen \(\pm2\). \(\displaystyle\int_{-2}^{2}(x^2-4)\,\mathrm dx=\Big[\tfrac13x^3-4x\Big]_{-2}^{2}\).
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\(\Big(\tfrac83-8\Big)-\Big(-\tfrac83+8\Big)=-\tfrac{32}{3}\), also \(A=\tfrac{32}{3}\approx10{,}67\) → A = 32/3 FE
−3−2−1123−4−224xyf
Die Fläche liegt unter der \(x\)-Achse
A10
Trickaufgabe — Fläche zwischen zwei Parabeln
AFB I

Gegeben sind \(f(x)=x^2+1\) und \(g(x)=x^2-2\). Fassen Sie zuerst \(f(x)-g(x)\) zusammen. Wie groß ist die Fläche zwischen beiden Graphen über \([0;4]\)?

FE
Fläche zwischen Graphen: \(A=\displaystyle\int_a^b\big(f(x)-g(x)\big)\,\mathrm dx\), wenn \(f\ge g\).
\(f(x)-g(x)=3\) — die Differenz ist konstant. Die Fläche ist also ein „krummes Rechteck“.
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\(f-g=3\), also \(A=\displaystyle\int_0^4 3\,\mathrm dx=3\cdot4\) = 12 FE. Der Trick: Die Parabeln sind nur verschoben, das \(x^2\) fällt heraus.
1234481216xyfg
Fläche zwischen \(f\) und \(g\) auf \([0;4]\)