Fünf-Punkte-Zusammenfassung: Übungen – Mathe Klasse 11

A1Die Rangliste bildenAFB I

An sieben Tagen wurde die Mittagstemperatur gemessen, \([\vartheta] = {}^{\circ}\mathrm{C}\): 12,4 · 9,8 · 15,7 · 12,04 · 9,75 · 16,2 · 15,1

Ordnen Sie die Messwerte zur Rangliste \(x_1 \le x_2 \le \dots \le x_7\). Achten Sie besonders auf die Stellen hinter dem Komma.

Ziehe die Zeilen mit der Maus oder verschiebe sie mit den Pfeil-Buttons, bis die Reihenfolge stimmt.

19,75

29,8

312,04

412,4

515,1

615,7

716,2

Vor jedem Kennwert steht das Sortieren. Die Stolperstellen sind 9,75 < 9,8 (Hundertstel gegen Zehntel) und 12,04 < 12,4. Ergänzt man gedanklich Nullen — 9,75 gegen 9,80 und 12,04 gegen 12,40 —, ist die Reihenfolge eindeutig. An dieser Rangliste wären Minimum \(9{,}75\,{}^{\circ}\mathrm{C}\), Median \(12{,}4\,{}^{\circ}\mathrm{C}\) und Maximum \(16{,}2\,{}^{\circ}\mathrm{C}\) abzulesen.

A2Rechenkette: die fünf Punkte bei ungeradem \(n\)AFB I

Elf Kundinnen und Kunden wurden nach ihrer Wartezeit an der Kasse gefragt, \([t] = \mathrm{min}\). Die Rangliste lautet 3; 5; 6; 6; 8; 9; 11; 12; 14; 15; 21.

Bestimmen Sie Schritt für Schritt Median, unteres und oberes Quartil.

Rechne die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft. Dezimalzahlen mit Komma oder Punkt.

Stichprobenumfang \(n=\;?\)
\(n\) ist ungerade. Der wievielte Wert der Rangliste ist der Median?
Wie groß ist der Median \(x_{\mathrm{Med}}\) in Minuten?
Der Median wird weggelassen. Wie viele Werte enthält dann die untere Hälfte?
Untere Hälfte: 3; 5; 6; 6; 8. Wie groß ist \(Q_1\)?
Obere Hälfte: 11; 12; 14; 15; 21. Wie groß ist \(Q_3\)?
Wie breit ist die Box, also \(Q_3-Q_1\)?

Bei ungeradem \(n\) ist der Median selbst ein Wert der Rangliste und gehört zu keiner der beiden Hälften. Beide Hälften enthalten hier fünf Werte, ihr Median ist jeweils der dritte. Die fünf Punkte lauten also 3 · 6 · 9 · 14 · 21 Minuten, die Spannweite beträgt \(21\,\mathrm{min}-3\,\mathrm{min}=18\,\mathrm{min}\).

A3Die Begriffe im ZusammenhangAFB I

Sechs Bausteine, sechs Lücken. Vervollständigen Sie die Beschreibung des Verfahrens.

Wort anklicken, dann Lücke anklicken (oder umgekehrt). Ein Klick auf eine gefüllte Lücke legt das Wort zurück.

Alle fünf Punkte werden an der abgelesen, also an der der Größe nach sortierten Datenreihe. In ihrer Mitte steht der ; er zerlegt sie in zwei gleich große Hälften. Das untere Quartil \(Q_1\) ist der Median der Hälfte, das obere Quartil \(Q_3\) der Median der . Zwischen je zwei benachbarten der fünf Punkte liegen etwa aller Werte. Die Differenz aus Maximum und Minimum heißt .

Wichtig ist die Reihenfolge: erst sortieren, dann halbieren, dann in jeder Hälfte noch einmal den Median bilden. Die Quartile sind also keine neuen Rechenvorschriften, sondern zweimal dieselbe Medianregel.

A4Fünf-Punkte-Zusammenfassung bei geradem \(n\)AFB II

In einem Test wurden folgende Punktzahlen erreicht (\(n=8\)): 12; 7; 15; 9; 20; 11; 7; 16

Bestimmen Sie die vollständige Fünf-Punkte-Zusammenfassung. Sortieren Sie dazu zunächst auf einem Blatt.

Fülle alle Felder aus und prüfe dann. Enter in einem Feld prüft ebenfalls. Negative Zahlen mit Minuszeichen, Dezimalzahlen mit Komma oder Punkt.

Kennwert	Wert in Punkten
Minimum
unteres Quartil \(Q_1\)
Median \(x_{\mathrm{Med}}\)
oberes Quartil \(Q_3\)
Maximum

Rangliste: 7; 7; 9; 11; 12; 15; 16; 20. Weil \(n=8\) gerade ist, liegt der Median zwischen dem 4. und dem 5. Wert: \(x_{\mathrm{Med}}=\frac{11+12}{2}=11{,}5\). Die untere Hälfte 7; 7; 9; 11 liefert \(Q_1=\frac{7+9}{2}=8\), die obere Hälfte 12; 15; 16; 20 liefert \(Q_3=\frac{15+16}{2}=15{,}5\). Dass der Wert 7 doppelt vorkommt, ändert nichts — jeder Messwert zählt einzeln.

A5Die fünf Punkte an der Rangliste anklickenAFB I

Rangliste der von elf Schülern gelösten Aufgaben (\(n=11\)).

Klicken Sie nacheinander die Werte an, nach denen gefragt wird.

Klicke die gestrichelt markierten Zonen an. Mit der Tastatur: Tab oder Pfeiltasten zum Wandern, Enter zum Auswählen.

Bei \(n=11\) ist der Median der 6. Wert (35). Weggelassen bleiben fünf Werte auf jeder Seite; deren Median ist jeweils der dritte, also der 3. Wert (26) und der 9. Wert (45). Die fünf Punkte lauten damit 21 · 26 · 35 · 45 · 52.

A6Boxbreite bei zwölf MesswertenAFB II

Zwölf Autos wurden auf ihren Verbrauch getestet, \([v] = \mathrm{l}\) je \(100\,\mathrm{km}\). Rangliste: 4,2; 4,5; 4,8; 5,0; 5,3; 5,5; 5,8; 6,1; 6,4; 6,6; 7,2; 8,0

Berechnen Sie die Boxbreite \(Q_3-Q_1\) und geben Sie sie in Litern an.

Trage das Ergebnis als Dezimalzahl ein — Enter prüft.

\(n=12\) ist gerade, also bilden die ersten sechs Werte die untere und die letzten sechs die obere Hälfte. Untere Hälfte 4,2; 4,5; 4,8; 5,0; 5,3; 5,5 → \(Q_1=\frac{4{,}8+5{,}0}{2}=4{,}9\). Obere Hälfte 5,8; 6,1; 6,4; 6,6; 7,2; 8,0 → \(Q_3=\frac{6{,}4+6{,}6}{2}=6{,}5\). Damit ist \(Q_3-Q_1=1{,}6\) Liter. Wer 6,4 und 5,0 als Quartile nimmt, hat in der Hälfte nicht noch einmal gemittelt.

A7Stimmt das?AFB II

Fünf Aussagen zu Quartilen und Rangliste. Entscheiden Sie jeweils, ob sie zutreffen.

5 Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann startest du die Serie mit „Neue Runde“ neu.

Aussage 1 von 5

Zwei Merksätze beugen den häufigsten Fehlern vor: Ein Quartil ist ein Median, kein Mittelwert aller Werte einer Hälfte. Und die Box steckt immer vollständig in der Spannweite.

A8Alle Kennwerte auf einmalAFB II

In einer Klausur wurden von 15 Schülern folgende Punktzahlen erreicht. Rangliste: 3; 5; 6; 8; 9; 10; 12; 13; 14; 15; 15; 17; 19; 21; 24

Bestimmen Sie die fünf Punkte sowie Spannweite und Boxbreite.

Sieben Felder, alle in Punkten. Erst rechnen, dann alle auf einmal prüfen.

Minimum \(=\)\(Q_1=\)\(x_{\mathrm{Med}}=\)\(Q_3=\)Maximum \(=\)\(Sw=\)\(Q_3-Q_1=\)

\(n=15\) ist ungerade, der Median ist der 8. Wert: 13. Ohne ihn bleiben zwei Hälften mit je sieben Werten; deren Median ist jeweils der vierte: \(Q_1=8\) und \(Q_3=17\). Daraus \(Sw=24-3=21\) und \(Q_3-Q_1=17-8=9\) Punkte. Die doppelte 15 zählt als zwei Werte.

A9In welches Viertel gehört der Wert?AFB II

Von einer Datenreihe sind die fünf Punkte bekannt: Minimum \(=18\), \(Q_1=27\), \(x_{\mathrm{Med}}=34\), \(Q_3=41\), Maximum \(=55\).

Ordnen Sie jeden der acht Messwerte dem Viertel zu, in dem er liegt.

Ziehe jede Karte in den passenden Korb — oder wähle sie mit Enter aus und drücke dann die Ziffer des Korbs (0 legt sie zurück).

1unterstes Viertel
(18 bis 27)

2zweites Viertel
(27 bis 34)

3drittes Viertel
(34 bis 41)

4oberstes Viertel
(41 bis 55)

Die vier Viertel werden durch die fünf Punkte begrenzt. Sie sind unterschiedlich breit — das unterste umfasst 9 Einheiten, das oberste 14 —, enthalten aber jeweils etwa gleich viele Werte. Breite bedeutet Streuung, nicht Anzahl.

A10Quartile aus einer HäufigkeitstabelleAFB III

24 Schülerinnen und Schüler wurden nach der Anzahl ihrer Geschwister gefragt.

Anzahl der Geschwister

Anzahl \(x_i\)	0	1	2	3	4
Häufigkeit \(H_i\)	2	5	7	6	4

Die Rangliste wird hier nicht ausgeschrieben, sondern über die kumulierten Häufigkeiten erschlossen. Bestimmen Sie die Kennwerte Schritt für Schritt.

Rechne die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft. Dezimalzahlen mit Komma oder Punkt.

Stichprobenumfang \(n=\;?\)
Bis einschließlich \(x_i=1\): Wie viele Werte sind das zusammen (kumulierte Häufigkeit)?
Bis einschließlich \(x_i=2\): kumulierte Häufigkeit \(=\;?\)
\(n\) ist gerade. Der Median ist das Mittel des 12. und des wievielten Wertes?
Welchen Wert haben der 12. und der 13. Wert der Rangliste — und damit der Median?
Untere Hälfte: Werte 1 bis 12. Ihr Median ist das Mittel des 6. und 7. Wertes. Wie groß ist \(Q_1\)?
Obere Hälfte: Werte 13 bis 24. Ihr Median ist das Mittel des 18. und 19. Wertes. Wie groß ist \(Q_3\)?

Die kumulierten Häufigkeiten 2 · 7 · 14 · 20 · 24 sagen, an welchen Positionen der Rangliste welcher Wert steht: Position 1–2 trägt die 0, Position 3–7 die 1, Position 8–14 die 2, Position 15–20 die 3 und Position 21–24 die 4. Damit sind der 12. und 13. Wert beide 2, der 6. und 7. Wert beide 1, der 18. und 19. Wert beide 3. Die fünf Punkte lauten 0 · 1 · 2 · 3 · 4 — ohne die Rangliste je auszuschreiben.

A11Kennwert und Zahl verbindenAFB II

In einem Wettbewerb wurden von 13 Teams Punkte erzielt. Rangliste: 8; 11; 12; 14; 15; 15; 18; 19; 21; 23; 24; 28; 33

Ordnen Sie jedem Kennwert die richtige Zahl zu.

Klicke links einen Eintrag an und dann rechts den Partner — es entsteht eine Verbindungslinie. Mit der Tastatur: Enter zum Auswählen, ↑/↓ zum Wandern.

\(n=13\) ist ungerade, der Median ist der 7. Wert (18). Beide Hälften enthalten sechs Werte, dort wird gemittelt: \(Q_1=\frac{12+14}{2}=13\) und \(Q_3=\frac{23+24}{2}=23{,}5\). Die Boxbreite beträgt \(23{,}5-13=10{,}5\). Zwei der fünf Punkte kommen in der Datenreihe also gar nicht vor.

A12Von der Viertel-Regel zur AnzahlAFB II

Eine Umfrage umfasst \(n=360\) Antworten. Von der Datenreihe sind die fünf Punkte bekannt.

Berechnen Sie, wie viele Werte etwa unterhalb des unteren Quartils \(Q_1\) liegen.

Trage die Anzahl als ganze Zahl ein.

Unterhalb von \(Q_1\) liegt genau das unterste Viertel, also etwa 25 % der Werte: \(0{,}25\cdot 360=90\). Entsprechend liegen etwa 180 Werte zwischen \(Q_1\) und \(Q_3\) und etwa 90 oberhalb von \(Q_3\). Die Anzahl hängt nur von \(n\) ab — nicht davon, wie weit die Kennwerte auseinanderliegen.

A13Fehlersuche in einer LösungAFB III

Rangliste: 5; 7; 8; 10; 11; 13; 14; 16; 19; 25 (\(n=10\)).

Eine Schülerlösung enthält drei Fehler. Markieren Sie genau die falschen Zeilen.

In dieser Liste stecken Fehler. Klicke genau die falschen Zeilen an — die richtigen musst du stehen lassen.

Alle drei Fehler sind Verwechslungen von Regeln: Weglassen des Medians gehört zum ungeraden Fall, ein Quartil ist ein Median und kein Mittelwert, und die Box steckt immer in der Spannweite. Richtig lauten die fünf Punkte 5 · 8 · 12 · 16 · 25.

A14Zwei Datenreihen in Zahlen vergleichenAFB II

Zwei Gruppen haben denselben Test geschrieben. Gruppe A: Minimum 12, \(Q_1=20\), \(x_{\mathrm{Med}}=26\), \(Q_3=30\), Maximum 48. Gruppe B: Minimum 15, \(Q_1=22\), \(x_{\mathrm{Med}}=27\), \(Q_3=36\), Maximum 41.

Berechnen Sie die vier Streuungsmaße für beide Gruppen.

Fülle alle Felder aus und prüfe dann. Enter in einem Feld prüft ebenfalls. Negative Zahlen mit Minuszeichen, Dezimalzahlen mit Komma oder Punkt.

Gruppe	Spannweite	Boxbreite \(Q_3-Q_1\)	linke Antenne \(Q_1-\)Min	rechte Antenne Max\(-Q_3\)
A
B

Gruppe A hat die größere Spannweite (36 gegenüber 26), Gruppe B aber die breitere Box (14 gegenüber 10). Bei A steckt die große Streuung im obersten Viertel: Die rechte Antenne ist mit 18 Punkten fast doppelt so lang wie die ganze Box. Ein einziges Streuungsmaß hätte das verdeckt.

A15Begriffe und BeschreibungenAFB I

Fünf Begriffspaare. Finden Sie die Karten, die zusammengehören.

Decke immer zwei Karten auf. Passen sie zusammen, bleiben sie offen liegen — sonst drehen sie sich wieder um.

Alle fünf Punkte werden an derselben Rangliste abgelesen und tragen dieselbe Einheit wie das Merkmal. Die Spannweite ergibt sich unmittelbar aus zwei von ihnen.

A16Rückwärts rechnen: der fehlende WertAFB III

Von acht Messwerten ist die Rangliste bis auf einen Wert bekannt: 4; 7; 9; \(x\); 15; 18; 20; 23 mit \(9 \le x \le 15\). Der Median beträgt 12,5.

Bestimmen Sie \(x\).

Trage den Wert von \(x\) ein.

\(n=8\) ist gerade, der Median ist das Mittel des 4. und 5. Wertes: \(\frac{x+15}{2}=12{,}5\), also \(x+15=25\) und \(x=10\). Die Bedingung \(9\le x\le 15\) sichert, dass \(x\) tatsächlich an der vierten Stelle steht — ohne sie wäre die Rangliste eine andere. Zur Probe: \(Q_1=\frac{7+9}{2}=8\) und \(Q_3=\frac{18+20}{2}=19\).

A17Was folgt aus den fünf Punkten?AFB II

Eine Datenreihe mit \(n=40\) Werten hat die fünf Punkte Minimum \(=30\), \(Q_1=42\), \(x_{\mathrm{Med}}=48\), \(Q_3=51\), Maximum \(=80\).

Markieren Sie alle Aussagen, die sich daraus wirklich ergeben.

Mehrere Antworten sind richtig. Markiere alle zutreffenden und klicke dann auf „Auswahl prüfen“.

Ablesbar sind Anteile und Abstände, nicht einzelne Werte. Zwischen \(x_{\mathrm{Med}}\) und \(Q_3\) liegen 3 Einheiten, zwischen \(Q_1\) und \(x_{\mathrm{Med}}\) dagegen 6 — bei jeweils etwa 10 Werten. Das oberste Viertel ist mit 29 Einheiten am breitesten, enthält aber genauso viele Werte wie jedes andere. Der Mittelwert lässt sich aus den fünf Punkten grundsätzlich nicht berechnen.

A18Positionen in der RanglisteAFB II

Für vier Stichprobenumfänge ist zu klären, an welcher Stelle der Rangliste die Kennwerte stehen. Wählen Sie in jedem Menü den passenden Eintrag.

Zwölf Menüs. Überlegen Sie zuerst, ob \(n\) gerade oder ungerade ist, und wie groß die beiden Hälften dann sind.

	\(n=9\)	\(n=12\)	\(n=15\)	\(n=26\)
Median
Werte je Hälfte
\(Q_1\) in der Hälfte

Bei ungeradem \(n\) ist der Median der \(\frac{n+1}{2}\)-te Wert und wird weggelassen; jede Hälfte enthält \(\frac{n-1}{2}\) Werte (also 4 bzw. 7). Bei geradem \(n\) liegt der Median zwischen den Werten \(\frac{n}{2}\) und \(\frac{n}{2}+1\); jede Hälfte enthält \(\frac{n}{2}\) Werte (also 6 bzw. 13). Innerhalb der Hälfte gilt dieselbe Regel noch einmal: 4 und 6 Werte führen zum Mittel zweier Nachbarn, 7 und 13 Werte zu einem echten Datenwert.

A19Rückwärts: die fünf Punkte rekonstruierenAFB III

Von einer Datenreihe ist bekannt: Minimum \(=12\), Spannweite \(=34\), die linke Antenne ist 9 Einheiten lang, die Box ist 15 Einheiten breit, und der Median liegt 6 Einheiten rechts von \(Q_1\).

Rekonstruieren Sie die fehlenden Kennwerte.

Fünf Felder. Gehe von links nach rechts vor: erst \(Q_1\), dann der Median, dann \(Q_3\).

\(Q_1=\)\(x_{\mathrm{Med}}=\)\(Q_3=\)Maximum \(=\)rechte Antenne \(=\)

Linke Antenne: \(Q_1=12+9=21\). Median: \(27=21+6\). Box: \(Q_3=21+15=36\). Spannweite: Maximum \(=12+34=46\). Rechte Antenne: \(46-36=10\). Der Medianstrich liegt mit 6 zu 9 Einheiten links in der Box — das Viertel direkt unter dem Median streut also schwächer als das darüber.

A20Trickaufgabe: eine Antenne der Länge nullAFB III

Rangliste einer Datenreihe mit \(n=12\): 5; 5; 5; 5; 5; 5; 5; 5; 6; 9; 14; 20

Berechnen Sie die Länge der linken Antenne, also \(Q_1-\text{Minimum}\).

Trage die Länge als Zahl ein — auch ein Ergebnis von 0 ist eine gültige Antwort.

Untere Hälfte 5; 5; 5; 5; 5; 5 → \(Q_1=\frac{5+5}{2}=5\); Minimum \(=5\). Die linke Antenne hat also die Länge \(5-5=0\) und wird gar nicht sichtbar. Auch der Median ist \(\frac{5+5}{2}=5\), fällt also mit der linken Boxkante zusammen. Trotzdem liegen im untersten Viertel drei Werte — sie sind nur alle gleich groß. Zum Vergleich: \(Q_3=\frac{6+9}{2}=7{,}5\) und die rechte Antenne ist \(20-7{,}5=12{,}5\) lang.

Übungen: Quartile und Fünf-Punkte-Zusammenfassung

Übungsaufgaben