Einen Boxplot zeichnen: Übungen – Mathe Klasse 11

A1Die Arbeitsschritte ordnenAFB I

Von der ungeordneten Datenreihe bis zum fertigen Boxplot sind sechs Schritte nötig. Bringen Sie sie in die richtige Reihenfolge.

Ziehe die Zeilen mit der Maus oder verschiebe sie mit den Pfeil-Buttons, bis die Reihenfolge stimmt.

1Die Datenreihe der Größe nach zur Rangliste ordnen.

2Die fünf Punkte Minimum, \(Q_1\), Median, \(Q_3\) und Maximum bestimmen.

3Die Achse mit Skala und Beschriftung anlegen.

4Die Box von \(Q_1\) bis \(Q_3\) zeichnen.

5Den Median als senkrechten Strich in die Box eintragen.

6Die Antennen bis Minimum und Maximum ziehen und mit Endstrich abschließen.

Gerechnet wird ausschließlich in den ersten beiden Schritten. Ab der Achse wird nur noch gezeichnet — zu einer Fünf-Punkte-Zusammenfassung gehört genau ein Boxplot.

A2Boxplot bauen: die fünf Marken setzenAFB I

Elf Körpergrößen, \([x]=\mathrm{cm}\): Minimum \(=164\), \(Q_1=169\), \(x_{\mathrm{Med}}=172\), \(Q_3=177\), Maximum \(=181\).

Setzen Sie die fünf Marken auf die Achse. Box, Medianstrich und Antennen bauen sich mit auf.

Setze die fünf Marken auf die richtigen Stellen der Achse. Mit der Maus: Marke anklicken und ziehen. Mit der Tastatur: mit Tab in die Zeichnung, mit ↑/↓ die Marke wählen, mit ←/→ verschieben, mit Enter prüfen.

Zu setzen sind: Minimum 164 cm · \(Q_1=169\) cm · Median 172 cm · \(Q_3=177\) cm · Maximum 181 cm.

Die Box reicht von 169 cm bis 177 cm und ist damit 8 cm breit; der Medianstrich sitzt bei 172 cm, also 3 cm rechts von der linken und 5 cm links von der rechten Boxkante. Die Antennen sind 5 cm und 4 cm lang, die Gesamtlänge entspricht der Spannweite \(181-164=17\) cm.

A3Die Bestandteile benennenAFB I

Sechs Bausteine, sechs Lücken. Vervollständigen Sie die Beschreibung der Zeichnung.

Wort anklicken, dann Lücke anklicken (oder umgekehrt). Ein Klick auf eine gefüllte Lücke legt das Wort zurück.

Die trägt die Skala des Merkmals samt Einheit. Über ihr liegt die ; ihre linke Kante steht bei , ihre rechte bei \(Q_3\). Innerhalb der Box markiert der die Lage des Medians. Von den beiden Boxkanten führen die bis zum Minimum und bis zum Maximum; jede endet mit einem kurzen senkrechten .

Die Höhe der Box ist frei wählbar und hat keine Bedeutung — nur die waagerechte Ausdehnung trägt Information. Alles andere ist durch die fünf Punkte festgelegt.

A4Rechenkette: von der Rangliste zur ZeichnungAFB II

Zehn Jugendliche haben ihre Schlafdauer notiert, \([t]=\mathrm{h}\). Rangliste: 5,5; 6,0; 6,5; 6,5; 7,0; 7,5; 7,5; 8,0; 8,5; 9,5

Bestimmen Sie die Größen, die für die Zeichnung gebraucht werden.

Rechne die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft. Dezimalzahlen mit Komma oder Punkt.

Stichprobenumfang \(n=\;?\)
\(n\) ist gerade: Median als Mittel des 5. und 6. Wertes. \(x_{\mathrm{Med}}=\;?\)
Untere Hälfte 5,5; 6,0; 6,5; 6,5; 7,0 → \(Q_1=\;?\)
Obere Hälfte 7,5; 7,5; 8,0; 8,5; 9,5 → \(Q_3=\;?\)
Wie breit wird die Box, also \(Q_3-Q_1\)?
Wie lang wird die linke Antenne, also \(Q_1-\text{Minimum}\)?
Wie lang wird der gesamte Boxplot, also die Spannweite?

Fünf Punkte: 5,5 · 6,5 · 7,25 · 8,0 · 9,5 Stunden. Der Medianstrich liegt mit 0,75 h zu 0,75 h genau in der Mitte der Box, die rechte Antenne ist mit 1,5 h aber deutlich länger als die linke mit 1,0 h. Eine sinnvolle Achse reicht von 5 h bis 10 h mit Marken alle 0,5 h.

A5Bestandteile im Boxplot anklickenAFB I

Boxplot einer Datenreihe mit den fünf Punkten 24 · 31 · 38 · 45 · 62.

Klicken Sie nacheinander die Bestandteile an, nach denen gefragt wird.

Klicke die gestrichelt markierten Zonen an. Mit der Tastatur: Tab oder Pfeiltasten zum Wandern, Enter zum Auswählen.

Jeder Bestandteil hat eine feste Bedeutung: Box \(=Q_1\) bis \(Q_3\) mit den mittleren 50 %, Medianstrich \(=\) Lage des Medians, linke Antenne \(=\) unterstes Viertel, rechte Antenne \(=\) oberstes Viertel. Auffallend ist hier die lange rechte Antenne: Das oberste Viertel ist mit \(62-45=17\) Einheiten breiter als die ganze Box mit \(45-31=14\).

A6Aus der Zeichnung ablesenAFB II

Der Boxplot zeigt die Fahrzeiten zur Schule, \([t]=\mathrm{min}\). Die feinen Zwischenstriche stehen im Abstand von 1 Minute.

Fahrzeiten zur Schule

Lesen Sie die fünf Punkte ab und berechnen Sie Boxbreite und Spannweite.

Sieben Felder, alle in Minuten. Die beschrifteten Marken stehen alle 5 Minuten.

Minimum \(=\)\(Q_1=\)\(x_{\mathrm{Med}}=\)\(Q_3=\)Maximum \(=\)\(Q_3-Q_1=\)\(Sw=\)

Abgelesen: 24 · 31 · 38 · 45 · 62 Minuten. Daraus \(Q_3-Q_1=14\,\mathrm{min}\) und \(Sw=62-24=38\,\mathrm{min}\). Beim Ablesen hilft das Abzählen der feinen Striche ab der nächsten beschrifteten Marke — schätzen führt hier schnell zu 30 statt 31.

A7Maßstab auf dem PapierAFB II

Auf einer Achse entspricht 1 cm genau 5 Punkten; die Skala beginnt bei 10 Punkten. Das untere Quartil beträgt \(Q_1=23\) Punkte.

Berechnen Sie, wie weit die linke Boxkante vom Achsenanfang entfernt gezeichnet wird (in cm).

Trage die Entfernung in Zentimetern als Dezimalzahl ein.

Vom Achsenanfang bis \(Q_1\) sind es \(23-10=13\) Punkte. Bei 5 Punkten je Zentimeter entspricht das \(13:5=2{,}6\) cm. Wer stattdessen \(23:5=4{,}6\) cm rechnet, hat den Achsenanfang vergessen — die Skala beginnt nicht bei null.

A8Welcher Bestandteil ist gemeint?AFB II

Neun Beschreibungen. Ordnen Sie jede dem Bestandteil des Boxplots zu, den sie betrifft.

Ziehe jede Karte in den passenden Korb — oder wähle sie mit Enter aus und drücke dann die Ziffer des Korbs (0 legt sie zurück).

1Box

2Antenne

3Achse

Die Höhe der Box trägt keine Information — nur waagerechte Strecken bedeuten etwas. Und weil die Achse gleichmäßig eingeteilt sein muss, darf man sie nicht „passend“ stauchen oder dehnen, damit die fünf Punkte auf Marken fallen.

A9Erst rechnen, dann bauenAFB II

Neun Wartezeiten an der Bushaltestelle, \([t]=\mathrm{min}\). Rangliste: 2; 3; 5; 6; 8; 9; 11; 14; 18

Bestimmen Sie die fünf Punkte und setzen Sie anschließend die Marken. Die Achse ist in halben Minuten einstellbar.

Setze die fünf Marken auf die richtigen Stellen der Achse. Mit der Maus: Marke anklicken und ziehen. Mit der Tastatur: mit Tab in die Zeichnung, mit ↑/↓ die Marke wählen, mit ←/→ verschieben, mit Enter prüfen.

Zuerst rechnen: \(n=9\) ist ungerade. Der Median ist der 5. Wert. Ohne ihn bleiben je vier Werte pro Hälfte — dort wird gemittelt.

Median \(=8\) (5. Wert). Untere Hälfte 2; 3; 5; 6 → \(Q_1=\frac{3+5}{2}=4\). Obere Hälfte 9; 11; 14; 18 → \(Q_3=\frac{11+14}{2}=12{,}5\). Minimum 2, Maximum 18. Zwei der fünf Marken liegen also auf Werten, die in der Datenreihe gar nicht vorkommen — das ist normal.

A10Stimmt das?AFB II

Fünf Aussagen über das Zeichnen und Lesen eines Boxplots.

5 Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann startest du die Serie mit „Neue Runde“ neu.

Aussage 1 von 5

Die drei häufigsten Fehldeutungen betreffen alle die Breite: Breite heißt Streuung, nicht Anzahl; ein nicht mittiger Medianstrich ist der Normalfall; und die Anzahl der Werte ist überhaupt nicht ablesbar.

A11Die vier Abschnitte ausmessenAFB II

Drei Boxplots über derselben Achse.

Drei Datenreihen im Vergleich

Berechnen Sie für jede Reihe die Breite der vier Abschnitte.

Fülle alle Felder aus und prüfe dann. Enter in einem Feld prüft ebenfalls. Negative Zahlen mit Minuszeichen, Dezimalzahlen mit Komma oder Punkt.

Reihe	linke Antenne	linker Boxteil	rechter Boxteil	rechte Antenne
P
Q
R

In jedem der zwölf Abschnitte liegt etwa ein Viertel der jeweiligen Datenreihe. Bei P steckt die größte Streuung im obersten Viertel (16), bei Q im dritten (12), bei R im untersten (14). Die Summe der vier Zahlen einer Zeile ist jeweils die Spannweite: 36, 26 und 30.

A12Entscheidungen beim ZeichnenAFB II

Zu zeichnen ist der Boxplot zu den fünf Punkten 164 · 169 · 172 · 177 · 181 (Körpergrößen in cm).

Wählen Sie in jedem Schritt die richtige Fortsetzung.

Wähle in jedem Schritt die richtige Fortsetzung. Falsche Wahl wird rot, dann probierst du es erneut.

Die Reihenfolge Achse – Box – Medianstrich – Antennen ist kein Ritual: Jeder Schritt braucht den vorigen. Und die Skala muss gleichmäßig sein, sonst bedeuten gleiche Strecken nicht mehr gleiche Wertunterschiede.

A13Fehlersuche in einer ZeichenanleitungAFB III

Fünf Punkte einer Datenreihe: Minimum \(=12\), \(Q_1=18\), \(x_{\mathrm{Med}}=21\), \(Q_3=30\), Maximum \(=44\).

Drei der acht Zeilen sind falsch. Markieren Sie genau diese.

In dieser Liste stecken Fehler. Klicke genau die falschen Zeilen an — die richtigen musst du stehen lassen.

Zwei der drei Fehler sind Verwechslungen von Breite und Anzahl, der dritte betrifft die bedeutungslose Höhe. Der Medianstrich sitzt hier deutlich links in der Box — das Viertel unter dem Median liegt sehr eng beieinander, das darüber ist dreimal so weit gestreut.

A14Rückwärts vom Papier zur DatenreiheAFB III

Ein Boxplot wurde im Maßstab 1 cm \(\;\widehat{=}\;\) 4 Einheiten gezeichnet. Vom linken bis zum rechten Antennenende misst die Zeichnung 12,5 cm. Das Minimum beträgt 18.

Berechnen Sie das Maximum der Datenreihe.

Trage das Maximum als Zahl ein.

Die Gesamtlänge der Zeichnung ist die Spannweite: \(12{,}5\,\mathrm{cm}\cdot 4=50\) Einheiten. Aus \(Sw=\text{Max}-\text{Min}\) folgt \(\text{Max}=18+50=68\). Der Maßstab wird hier rückwärts gelesen: von Zentimetern auf dem Papier zurück zu den Werten des Merkmals.

A15Welche Achseneinteilung ist geeignet?AFB II

Zu zeichnen ist der Boxplot zu 12 · 18 · 21 · 30 · 44.

Markieren Sie alle Einteilungen, mit denen sich der Boxplot korrekt und gut lesbar zeichnen lässt.

Mehrere Antworten sind richtig. Markiere alle zutreffenden und klicke dann auf „Auswahl prüfen“.

Zwei Bedingungen müssen zusammen erfüllt sein. Erstens muss der Bereich von 12 bis 44 vollständig darauf Platz finden — eine Achse von 18 bis 30 schneidet beide Antennen ab. Zweitens muss die Einteilung gleichmäßig sein, sonst bedeuten gleiche Strecken nicht mehr gleiche Unterschiede. Eine Achse bis 1000 ist zwar korrekt, drückt den ganzen Boxplot aber auf wenige Millimeter zusammen.

A16Bestandteil und Zahlenwert verbindenAFB II

Ein Boxplot hat die fünf Punkte 5 · 11 · 15 · 24 · 30.

Ordnen Sie jedem Bestandteil den zugehörigen Zahlenwert zu. Zwei davon müssen berechnet werden.

Klicke links einen Eintrag an und dann rechts den Partner — es entsteht eine Verbindungslinie. Mit der Tastatur: Enter zum Auswählen, ↑/↓ zum Wandern.

Drei Werte stehen direkt in der Fünf-Punkte-Zusammenfassung (11, 15, 30), drei müssen gerechnet werden: Boxbreite \(24-11=13\), linke Antenne \(11-5=6\), Gesamtlänge \(30-5=25\). Die rechte Antenne wäre \(30-24=6\) — genauso lang wie die linke.

A17Wo liegt der Wert im Boxplot?AFB II

Ein Boxplot hat die fünf Punkte Minimum \(=20\), \(Q_1=28\), \(x_{\mathrm{Med}}=34\), \(Q_3=41\), Maximum \(=55\).

Ordnen Sie jeden Wert dem Bereich der Zeichnung zu, in den er fällt.

Ordne jede Karte einem der drei Bereiche zu. Mit der Tastatur: Enter zum Auswählen, dann 1–3 für den Bereich, 0 zurück.

1 innerhalb der Box

2 auf einer Antenne

3 außerhalb der Zeichnung

Die Box reicht von 28 bis 41, die linke Antenne von 20 bis 28, die rechte von 41 bis 55. Werte unter 20 oder über 55 kommen in dieser Datenreihe nicht vor — sie lägen außerhalb des gezeichneten Bereichs. Der Medianstrich bei 34 trennt die Box, gehört aber selbst zu ihr.

A18Von der Zeichnung zu den AnzahlenAFB III

Der Boxplot 20 · 28 · 34 · 41 · 55 fasst \(n=80\) Messwerte zusammen.

Berechnen Sie die gefragten Anzahlen und Breiten.

Fünf Felder. Anzahlen als ganze Zahlen, Breiten in Einheiten des Merkmals.

Werte in der Box (etwa)Werte unterhalb von \(Q_1\) (etwa)Werte im obersten Viertel (etwa)Breite der BoxBreite des obersten Viertels

Die Anzahlen hängen nur an \(n\): 50 % von 80 sind 40 in der Box, 25 % sind je 20 in den beiden äußeren Vierteln. Die Breiten kommen dagegen aus den fünf Punkten: \(41-28=13\) und \(55-41=14\). Das oberste Viertel ist also etwas breiter als die ganze Box — mit 20 statt 40 Werten darin.

A19Wie breit wird die Box auf dem Papier?AFB III

Ein Boxplot soll im Maßstab 1 Einheit \(\;\widehat{=}\;3\,\mathrm{mm}\) gezeichnet werden. Es gilt \(Q_1=17\) und \(Q_3=29\).

Berechnen Sie, wie breit die Box auf dem Papier wird (in Millimetern).

Trage die Breite in Millimetern ein.

Die Box umfasst \(29-17=12\) Einheiten, auf dem Papier also \(12\cdot 3\,\mathrm{mm}=36\,\mathrm{mm}\) oder 3,6 cm. Nicht in die Rechnung gehören die Werte 17 und 29 selbst — gezeichnet wird die Differenz, nicht der Abstand vom Achsennullpunkt.

A20Den Boxplot vermessen und zurückrechnenAFB III

Ein Boxplot ist im Maßstab 1 cm \(\;\widehat{=}\;10\) Einheiten gezeichnet; die Achse beginnt bei 0. Mit dem Lineal wurden vom Achsenanfang aus gemessen: linkes Antennenende 1,5 cm · linke Boxkante 3,2 cm · Medianstrich 4,0 cm · rechte Boxkante 5,5 cm · rechtes Antennenende 8,0 cm.

Rekonstruieren Sie die fünf Punkte sowie Boxbreite und Spannweite.

Fülle alle Felder aus und prüfe dann. Enter in einem Feld prüft ebenfalls. Negative Zahlen mit Minuszeichen, Dezimalzahlen mit Komma oder Punkt.

Kennwert	Wert
Minimum
\(Q_1\)
\(x_{\mathrm{Med}}\)
\(Q_3\)
Maximum
\(Q_3-Q_1\)
\(Sw\)

Jede gemessene Strecke wird mit 10 multipliziert: 1,5 cm → 15, 3,2 cm → 32, 4,0 cm → 40, 5,5 cm → 55, 8,0 cm → 80. Weil die Achse bei 0 beginnt, ist kein weiterer Summand nötig; begänne sie etwa bei 20, müsste zu jedem Wert noch 20 addiert werden. Boxbreite \(55-32=23\), Spannweite \(80-15=65\).

Übungen: Einen Boxplot zeichnen

Übungsaufgaben