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Einen Boxplot zeichnen

Die fünf Punkte einer Datenreihe lassen sich als Zeichnung darstellen: Die Box reicht von \(Q_1\) bis \(Q_3\), der Median wird als Strich eingetragen, die Antennen führen bis zum Minimum und zum Maximum.

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Vom Fünf-Punkte-Bericht zur Zeichnung

Ein Boxplot zeichnet die fünf Kennwerte einer Datenreihe über einer Achse. Neue Rechnungen brauchst du dafür nicht.

  • Beispiel:Körpergrößen von elf Schülern: 164; 167; 169; 170; 171; 172; 172; 175; 177; 178; 181 (in cm).
  • Achse:trägt die Skala des Merkmals mit Einheit.
  • Box:Rechteck von \(Q_1\) bis \(Q_3\).
  • Medianstrich:senkrechter Strich in der Box bei \(x_{\mathrm{Med}}\).
  • Antennen:auch Whisker genannt, von der Box bis zum Minimum und bis zum Maximum.
Die fünf Punkte der elf Körpergrößen
KennwertMinimum\(Q_1\)\(x_{\mathrm{Med}}\)\(Q_3\)Maximum
Wert in cm164169172177181
Der fertige Boxplot zu den elf Körpergrößen
160165170175180185Größe (in cm)Minimumunteres Quartil Q1Medianoberes Quartil Q3Maximum164 cm169 cm172 cm177 cm181 cmdie mittleren 50 % der Werte
Jeder der fünf Punkte hat seinen festen Platz in der Zeichnung: Minimum und Maximum als Antennenenden, \(Q_1\) und \(Q_3\) als Boxkanten, der Median als Strich in der Box.
Merke

Boxplot: Box von \(Q_1\) bis \(Q_3\), Medianstrich bei \(x_{\mathrm{Med}}\), Antennen bis Minimum und Maximum

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Schritt für Schritt zeichnen

Gezeichnet wird immer in derselben Reihenfolge.

  • 1. Achse:Skala über den ganzen Wertebereich, hier 160 cm bis 185 cm, beschriftet mit Merkmal und Einheit.
Schritt 1: die Achse
160165170175180185Größe (in cm)Schritt 1: Achse mit SkalaDer Bereich muss Minimum und Maximum enthalten.Minimum 164Maximum 181
Die Skala muss den gesamten Wertebereich von 164 cm bis 181 cm abdecken. Beschriftet wird sie mit dem Merkmal und seiner Einheit.
  • 2. Box:Rechteck von \(Q_1 = 169\,\mathrm{cm}\) bis \(Q_3 = 177\,\mathrm{cm}\); die Höhe ist frei wählbar.
Schritt 2: die Box
160165170175180185Größe (in cm)Q1 = 169Q3 = 177Schritt 2: Box von Q1 bis Q3Breite der Box: 8 cm
Die Box reicht von \(Q_1 = 169\,\mathrm{cm}\) bis \(Q_3 = 177\,\mathrm{cm}\) und ist damit \(177\,\mathrm{cm} - 169\,\mathrm{cm} = 8\,\mathrm{cm}\) breit.
  • 3. Median:senkrechter Strich bei \(172\,\mathrm{cm}\); die beiden Boxteile sind meist nicht gleich breit.
Schritt 3: der Medianstrich
160165170175180185Größe (in cm)Median = 172Schritt 3: Medianstrich in die Box3 cm5 cmDer Medianstrich liegt nicht in der Mitte der Box.
Der Medianstrich steht bei 172 cm. Er liegt hier näher an der linken als an der rechten Boxkante.
  • 4. Antennen:bis \(164\,\mathrm{cm}\) und \(181\,\mathrm{cm}\), jeweils mit kurzem Endstrich.
Schritt 4: die Antennen
160165170175180185Größe (in cm)Minimum = 164Maximum = 181Schritt 4: Antennen bis Minimum und Maximumlinke Antennerechte Antenne
Der Boxplot reicht insgesamt von 164 cm bis 181 cm. Diese Gesamtlänge ist die Spannweite \(Sw = 181\,\mathrm{cm} - 164\,\mathrm{cm} = 17\,\mathrm{cm}\).
Merke

Reihenfolge: Achse → Box → Medianstrich → Antennen

Setze die fünf Marken zur vorgegebenen Fünf-Punkte-Zusammenfassung. Box, Medianstrich und Antennen bauen sich dabei mit auf.

Boxplot-Konstrukteur

Fünf Zahlen sind vorgegeben, fünf Marken sind zu setzen: Minimum, unteres Quartil, Median, oberes Quartil und Maximum.

AufgabeDas Applet wird geladen.

Minimum und Maximumunteres und oberes QuartilMedianBox mit den mittleren 50 %

aktive Marke
–
Minimum
–
unteres Quartil
–
Median
–
oberes Quartil
–
Maximum
–

Das Applet wird geladen.

Bedienung mit der Maus: eine Marke anklicken und bei gedrückter Taste an die richtige Stelle ziehen. Bedienung mit der Tastatur: mit Tab in die Zeichnung springen, mit ↑ und ↓ die Marke auswählen, mit ← und → die aktive Marke verschieben und mit Enter prüfen. Die Marken können einander nicht überholen: Die Reihenfolge Minimum, \(Q_1\), Median, \(Q_3\), Maximum bleibt immer erhalten.

Halte fest: Zu fünf Kennwerten gibt es genau einen Boxplot. Jede Marke begrenzt ein Viertel der Zeichnung.

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Den Boxplot lesen

Die fünf Punkte teilen die Rangliste in vier Viertel.

  • Box:enthält die mittleren 50 % der Daten.
  • Viertel:in jeder Antenne und jedem Boxteil liegen etwa 25 % der Daten.
  • Breite:ein breiter Abschnitt bedeutet stärkere Streuung, nicht mehr Werte.
  • Spannweite:Gesamtlänge des Boxplots, hier \(Sw = 181\,\mathrm{cm} - 164\,\mathrm{cm} = 17\,\mathrm{cm}\).
  • Zwei Klassen:fast gleiche Mediane (31 und 31,5 Punkte), aber Boxbreiten von 15,5 und 8 Punkten.
Zwei Boxplots über einer gemeinsamen Achse
0510152025303540455055PunktzahlKlasse 11 a1423,5313948Klasse 11 b162831,53650
Die Mediane der beiden Klassen liegen mit 31 und 31,5 Punkten fast an derselben Stelle. Die Box der Klasse 11 a ist mit \(39 - 23{,}5 = 15{,}5\) Punkten jedoch deutlich breiter als die der Klasse 11 b mit \(36 - 28 = 8\) Punkten.
Merke

Viertel-Regel: zwischen zwei benachbarten der fünf Punkte liegen jeweils etwa 25 % der Daten

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Allgemeine Hinweise

Gleichmäßige Skala

Gleiche Abstände auf der Achse müssen gleiche Werte bedeuten. Sonst stimmen Boxbreite und Antennenlänge nicht.

Höhe ohne Bedeutung

Nur die waagerechte Ausdehnung zählt. Die Höhe der Box wählst du frei.

Erst die fünf Punkte

Bestimme zuerst Minimum, \(Q_1\), Median, \(Q_3\) und Maximum. Dann überträgst du nur noch auf die Achse.

Zum Weiterschauen

Videos

Zwei kurze Erklärvideos zu diesem Unterkapitel — eines für die Idee, eines für das Rechnen. Sie starten erst, wenn du sie anklickst.

Erst mit dem Klick auf Abspielen wird das Video von YouTube geladen — vorher geht keine Anfrage dorthin.