Boxplots vergleichen: Übungen – Mathe Klasse 11

A1Die Ablesestellen findenAFB I

Zwei Klassen haben dieselbe Arbeit geschrieben; beide Boxplots stehen an einer gemeinsamen Achse.

Klicken Sie nacheinander die Stellen an, nach denen gefragt wird.

Klicke die gestrichelt markierten Zonen an. Mit der Tastatur: Tab oder Pfeiltasten zum Wandern, Enter zum Auswählen.

Jeder Vergleich läuft über feste Ablesestellen: Lage am Medianstrich, Streuung der mittleren Hälfte an der Box, Streuung der äußeren Viertel an den Antennen, Gesamtstreuung an der Länge. Voraussetzung ist immer dieselbe Achse mit derselben Skala.

A2Lage und Streuung in ZahlenAFB II

Klasse 11 a: 14 · 23,5 · 31 · 39 · 48 Punkte. Klasse 11 b: 16 · 28 · 31,5 · 36 · 50 Punkte.

Punktzahlen der Klassen 11 a und 11 b

Berechnen Sie die Kennzahlen für den Vergleich.

Fünf Felder, alle in Punkten. Dezimalzahlen mit Komma oder Punkt.

Median 11 b \(-\) Median 11 a \(=\)Boxbreite 11 a \(=\)Boxbreite 11 b \(=\)Spannweite 11 a \(=\)Spannweite 11 b \(=\)

In der Lage unterscheiden sich die Klassen kaum (0,5 Punkte), in der Streuung der mittleren Hälfte dagegen sehr: 15,5 gegenüber 8 Punkten. Die Spannweite ist mit 34 Punkten in beiden Klassen gleich — genau deshalb darf ein Streuungsvergleich nie an einer einzigen Zahl hängen.

A3Die Vergleichsregeln vervollständigenAFB I

Sechs Bausteine, sechs Lücken.

Wort anklicken, dann Lücke anklicken (oder umgekehrt). Ein Klick auf eine gefüllte Lücke legt das Wort zurück.

Verglichen werden dürfen zwei Boxplots nur an einer mit derselben Skala. Die Lage wird am abgelesen: Wer weiter rechts liegt, hat die größere Mitte. Die Streuung der mittleren 50 % zeigt die \(Q_3-Q_1\), die Streuung im äußeren Viertel die und die Streuung insgesamt die . Über die der Werte sagt ein Boxplot dagegen gar nichts.

Vier Ablesestellen, ein Verbot: Lage, Boxbreite, Antennenlänge und Spannweite sind ablesbar — die Anzahl der Werte und einzelne Werte innerhalb eines Abschnitts nicht.

A4Folgt, widerspricht oder nicht entscheidbar?AFB II

Es gelten weiter die beiden Klassen: 11 a mit 14 · 23,5 · 31 · 39 · 48 und 11 b mit 16 · 28 · 31,5 · 36 · 50 Punkten.

Ordnen Sie jede Aussage in den passenden Korb.

Ziehe jede Karte in den passenden Korb — oder wähle sie mit Enter aus und drücke dann die Ziffer des Korbs (0 legt sie zurück).

1folgt aus den Boxplots

2widerspricht den Boxplots

3nicht entscheidbar

Widerspruch entsteht, wenn die Zeichnung das Gegenteil zeigt: beide Spannweiten sind 34, das Minimum der 11 b ist 16 (nicht 20), und der höchste Wert 50 gehört zur 11 b. Nicht entscheidbar sind alle Aussagen über Anzahlen, Einzelwerte innerhalb eines Abschnitts und über den Mittelwert — diese Angaben stecken nicht im Boxplot.

A5Um wie viel liegt der Median höher?AFB II

Benzinverbrauch desselben Automodells, \([v]=\mathrm{l}\) je \(100\,\mathrm{km}\). Frauen: 4,5 · 5,3 · 5,7 · 7,2 · 8,8. Männer: 4,4 · 6,0 · 7,25 · 8,9 · 9,8.

Berechnen Sie, um wie viel Liter der Median der Männer über dem der Frauen liegt.

Trage die Differenz als Dezimalzahl ein.

\(7{,}25-5{,}7=1{,}55\) Liter je 100 km. Bemerkenswert ist der Rest der Zeichnung: Der kleinste Einzelwert der ganzen Untersuchung gehört mit 4,4 Litern zu einem Mann — ein einzelner Randwert entscheidet den Vergleich also nicht, weil der Median die Mitte beschreibt.

A6Zwei Rennfahrer ausmessenAFB II

An derselben Stelle der Strecke wurde in mehreren Runden die Geschwindigkeit gemessen, \([v]=\mathrm{km/h}\).

Zwei Rennfahrer an einer gemeinsamen Achse

Feddel: 294 · 310 · 316,5 · 322 · 333. Allonzo: 270 · 307 · 314,5 · 325 · 338. Berechnen Sie die Breite der vier Abschnitte.

Fülle alle Felder aus und prüfe dann. Enter in einem Feld prüft ebenfalls. Negative Zahlen mit Minuszeichen, Dezimalzahlen mit Komma oder Punkt.

Fahrer	linke Antenne	linker Boxteil	rechter Boxteil	rechte Antenne
Feddel
Allonzo

Die Mediane liegen mit 316,5 und 314,5 km/h dicht beieinander — in der Lage ist der Unterschied also gering. Die linke Antenne von Allonzo ist mit 37 km/h aber mehr als doppelt so lang wie die von Feddel mit 16 km/h, und auch die Spannweite ist mit 68 gegen 39 km/h viel größer. Feddel fährt gleichmäßiger.

A7Stimmt das?AFB II

Fünf Aussagen zum Vergleich zweier Boxplots.

5 Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann startest du die Serie mit „Neue Runde“ neu.

Aussage 1 von 5

Die beiden falschen Aussagen sind die klassischen Kurzschlüsse: eine einzige Streuungszahl genügt nie, und aus der Breite folgt niemals eine Anzahl.

A8Reaktionszeiten Schritt für Schritt vergleichenAFB III

Ein Reaktionstest einer elften Klasse, \([t]=\mathrm{s}\). Jungen: 1,02 · 1,10 · 1,14 · 1,18 · 1,26. Mädchen: 1,04 · 1,11 · 1,15 · 1,21 · 1,24.

Rechnen Sie den Vergleich durch. Alle Ergebnisse in Sekunden.

Rechne die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft. Dezimalzahlen mit Komma oder Punkt.

Spannweite der Jungen \(=\;?\)
Spannweite der Mädchen \(=\;?\)
Boxbreite der Jungen \(=\;?\)
Boxbreite der Mädchen \(=\;?\)
Breite des obersten Viertels der Jungen (Maximum \(-\;Q_3\)) \(=\;?\)
Breite des obersten Viertels der Mädchen \(=\;?\)
Um wie viel liegt der Median der Mädchen über dem der Jungen?

Insgesamt streuen die Jungen stärker (0,24 s gegenüber 0,20 s), und ihr oberstes Viertel ist mit 0,08 s fast dreimal so weit gestreut wie das der Mädchen mit 0,03 s: Die längsten Reaktionszeiten liegen bei den Mädchen enger beieinander. In der mittleren Hälfte ist es umgekehrt (0,08 s gegen 0,10 s), und die Mediane unterscheiden sich mit 0,01 s praktisch nicht. Auch hier gilt: Erst alle Maße zusammen ergeben ein Bild.

A9Nach Boxbreite ordnenAFB II

Vier Datenreihen, von denen jeweils \(Q_1\) und \(Q_3\) bekannt sind.

Berechnen Sie zuerst die Boxbreiten und ordnen Sie die Reihen dann aufsteigend nach der Streuung ihrer mittleren 50 %.

Ziehe die Zeilen in die richtige Reihenfolge — ganz oben die schmalste Box. Erst rechnen, dann ordnen.

1Reihe B: \(Q_1=30\), \(Q_3=41\)

2Reihe D: \(Q_1=48\), \(Q_3=61\)

3Reihe A: \(Q_1=12\), \(Q_3=27\)

4Reihe C: \(Q_1=5{,}5\), \(Q_3=24\)

Boxbreiten: B \(=41-30=11\), D \(=61-48=13\), A \(=27-12=15\), C \(=24-5{,}5=18{,}5\). Entscheidend ist allein die Differenz, nicht die Lage: Reihe D liegt am weitesten rechts, streut in der mittleren Hälfte aber am zweitschwächsten.

A10Was folgt aus dem Klassenvergleich?AFB II

11 a: 14 · 23,5 · 31 · 39 · 48. 11 b: 16 · 28 · 31,5 · 36 · 50.

Markieren Sie alle Aussagen, die sich aus den Boxplots ergeben.

Mehrere Antworten sind richtig. Markiere alle zutreffenden und klicke dann auf „Auswahl prüfen“.

Ablesbar sind Abstände und Anteile, nicht Anzahlen, nicht einzelne Werte und nicht das arithmetische Mittel. Das Maximum und das Minimum sind dagegen echte Datenwerte — die 50 Punkte der 11 b hat wirklich jemand erreicht.

A11Fehlersuche in einer VergleichsargumentationAFB III

11 a: 14 · 23,5 · 31 · 39 · 48. 11 b: 16 · 28 · 31,5 · 36 · 50.

Drei der neun Zeilen sind falsch. Markieren Sie genau diese.

In dieser Liste stecken Fehler. Klicke genau die falschen Zeilen an — die richtigen musst du stehen lassen.

Zwei der drei Fehler verwechseln Breite mit Anzahl beziehungsweise eine einzelne Streuungszahl mit der ganzen Streuung. Der dritte macht aus einem Extremwert ein Urteil über die ganze Gruppe — genau davor schützt der Median.

A12Frage und Ablesestelle verbindenAFB II

Ordnen Sie jeder Frage die Stelle im Boxplot zu, an der sie beantwortet wird.

Klicke links einen Eintrag an und dann rechts den Partner — es entsteht eine Verbindungslinie. Mit der Tastatur: Enter zum Auswählen, ↑/↓ zum Wandern.

Fünf Fragen haben eine feste Ablesestelle, eine hat keine. Genau diese letzte Zeile ist die häufigste Fehlerquelle: Ein Boxplot zeigt fünf Zahlen — nicht, wie viele Werte dahinterstecken.

A13Drei Vergleiche auf einen BlickAFB II

Drei Paare: (1) Klasse 11 a gegen 11 b, (2) Frauen gegen Männer beim Benzinverbrauch, (3) Feddel gegen Allonzo. Die fünf Punkte stehen in den Aufgaben oben.

Entscheiden Sie in jedem Menü, auf welche der beiden Reihen die Beschreibung zutrifft.

Neun Menüs. „Die erste“ ist jeweils die zuerst genannte Reihe.

	11 a gegen 11 b	Frauen gegen Männer	Feddel gegen Allonzo
größerer Median
breitere Box
größere Spannweite

11 a / 11 b: Mediane 31 und 31,5 → die zweite; Boxbreiten 15,5 und 8 → die erste; Spannweiten 34 und 34 → gleich. Frauen / Männer: 5,7 gegen 7,25; 1,9 gegen 2,9; 4,3 gegen 5,4 → jeweils die Männer. Feddel / Allonzo: 316,5 gegen 314,5 → Feddel; Boxbreiten 12 gegen 18 und Spannweiten 39 gegen 68 → jeweils Allonzo. Kein Paar fällt in allen drei Zeilen gleich aus.

A14Anzahlen aus zwei BoxplotsAFB III

Zwei Datenreihen desselben Merkmals sind als Boxplots dargestellt. Zusätzlich ist bekannt: Gruppe A umfasst \(n_A = 200\) Werte, Gruppe B umfasst \(n_B = 40\) Werte.

Berechnen Sie, wie viele Werte insgesamt (A und B zusammen) zwischen dem jeweiligen \(Q_1\) und \(Q_3\) liegen.

Trage die Gesamtzahl als ganze Zahl ein.

In jeder Box liegen etwa 50 % der jeweiligen Werte: \(0{,}5\cdot 200=100\) und \(0{,}5\cdot 40=20\), zusammen also etwa 120. Die Boxbreiten spielen dafür keine Rolle — sie sagen etwas über die Streuung, nichts über die Anzahl. Ohne die zusätzlich gegebenen \(n\) wäre die Aufgabe überhaupt nicht lösbar.

A15Woran wird das abgelesen?AFB II

Ordnen Sie jede Frage dem Bereich zu, aus dem die Antwort kommt.

Ordne jede Karte einem der drei Bereiche zu. Mit der Tastatur: Enter zum Auswählen, dann 1–3 für den Bereich, 0 zurück.

1 am Medianstrich

2 an der Boxbreite

3 gar nicht ablesbar

Der Medianstrich beantwortet alle Fragen nach der Mitte und nach 50-%-Anteilen. Die Boxbreite \(Q_3-Q_1\) beantwortet alle Fragen nach der Streuung der mittleren Hälfte — das zweite und das dritte Viertel zusammen sind genau die Box. Anzahlen, Einzelwerte und der Mittelwert stecken nicht in der Zeichnung.

A16Schiefe berechnenAFB III

Benzinverbrauch, \([v]=\mathrm{l}\) je \(100\,\mathrm{km}\). Frauen: 4,5 · 5,3 · 5,7 · 7,2 · 8,8. Männer: 4,4 · 6,0 · 7,25 · 8,9 · 9,8.

Berechnen Sie für beide Stichproben die Breite des zweiten und des dritten Viertels.

Vier Felder in Litern. Achte auf die Kommastellen.

Frauen: \(x_{\mathrm{Med}}-Q_1=\)Frauen: \(Q_3-x_{\mathrm{Med}}=\)Männer: \(x_{\mathrm{Med}}-Q_1=\)Männer: \(Q_3-x_{\mathrm{Med}}=\)

Bei den Frauen sitzt der Medianstrich mit 0,4 zu 1,5 Litern weit links in der Box: Das Viertel direkt unter dem Median liegt sehr eng beieinander, das darüber ist fast viermal so weit gestreut — in beiden liegen trotzdem gleich viele Werte. Bei den Männern ist die Box mit 1,25 zu 1,65 Litern deutlich symmetrischer.

A17Begriffe des VergleichsAFB I

Fünf Paare. Finden Sie die Karten, die zusammengehören.

Decke immer zwei Karten auf. Passen sie zusammen, bleiben sie offen liegen — sonst drehen sie sich wieder um.

Diese fünf Begriffe bilden das ganze Vergleichsschema: erst Lage, dann Streuung auf drei Ebenen, dann die Schiefe — und immer der Vorbehalt, was ein Boxplot grundsätzlich nicht hergibt.

A18Gleiche Box, verschiedene SchiefeAFB III

Ein Intelligenztest wurde nach Altersgruppen getrennt ausgewertet, \([\mathrm{IQ}]=\mathrm{Punkte}\). Unter 40: 124 · 128 · 132 · 136 · 141. Über 40: 117 · 124 · 129 · 132 · 146.

Testergebnisse nach Altersgruppen

Berechnen Sie die vier Kennzahlen für beide Gruppen.

Fülle alle Felder aus und prüfe dann. Enter in einem Feld prüft ebenfalls. Negative Zahlen mit Minuszeichen, Dezimalzahlen mit Komma oder Punkt.

Gruppe	Spannweite	Boxbreite	\(x_{\mathrm{Med}}-Q_1\)	\(Q_3-x_{\mathrm{Med}}\)
unter 40
über 40

Beide Boxen sind exakt 8 Punkte breit — in der Streuung der mittleren Hälfte unterscheiden sich die Gruppen also gar nicht. Der Unterschied steckt woanders: Die Älteren streuen insgesamt viel stärker (29 gegenüber 17 Punkten), und ihre Box ist schief (5 zu 3 statt 4 zu 4). Der höchste Einzelwert des ganzen Tests gehört mit 146 Punkten zur älteren Gruppe, der Median liegt dort aber mit 129 unter dem der jüngeren mit 132.

A19Den Vergleich Schritt für Schritt führenAFB II

Noch einmal die beiden Klassen: 11 a mit 14 · 23,5 · 31 · 39 · 48 und 11 b mit 16 · 28 · 31,5 · 36 · 50 Punkten.

Wählen Sie in jedem Schritt die richtige Fortsetzung.

Wähle in jedem Schritt die richtige Fortsetzung. Falsche Wahl wird rot, dann probierst du es erneut.

Das Schema lautet immer: gemeinsame Achse prüfen – Lage am Median – Streuung an Boxbreite, Antennen und Spannweite – und zum Schluss die Frage, was die Zeichnung nicht hergibt.

A20Trickaufgabe: gleiche Spannweite, andere StreuungAFB III

Beide Klassen haben die Spannweite 34 Punkte. Trotzdem streuen sie sehr verschieden.

Berechnen Sie, um wie viele Punkte die Box der Klasse 11 a breiter ist als die der Klasse 11 b.

Trage die Differenz der beiden Boxbreiten als Dezimalzahl ein.

Boxbreiten: \(39-23{,}5=15{,}5\) und \(36-28=8\); die Differenz beträgt 7,5 Punkte. Die Box der 11 a ist damit fast doppelt so breit — bei identischer Spannweite und nahezu identischem Median. Wer nur die Spannweite vergleicht, hält die beiden Klassen für gleich; wer nur die Box vergleicht, übersieht, dass die 11 b nach außen genauso weit reicht. Erst Lage, Boxbreite, Antennenlängen und Spannweite zusammen ergeben ein Bild.

Übungen: Boxplots vergleichen

Übungsaufgaben