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Fünf-Punkte-Zusammenfassung

Minimum, unteres Quartil, Median, oberes Quartil und Maximum fassen eine Datenreihe in fünf Zahlen zusammen. Sie zerlegen die Rangliste in vier Viertel, in denen jeweils etwa ein Viertel aller Werte liegt.

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Fünf Zahlen für eine Reihe

Die Fünf-Punkte-Zusammenfassung beschreibt eine Datenreihe mit fünf Kennwerten. Du liest sie an der Rangliste ab.

Die gemessenen Körpergrößen von elf Schülern
NameGröße in cmNameGröße in cmNameGröße in cm
Max172Robin175Patrick181
Kai172Felix178Niklas170
Maik177Lukas164Florian171
Tim167Gökhan169
Rangliste (in cm)164 · 167 · 169 · 170 · 171 · 172 · 172 · 175 · 177 · 178 · 181
  • Rangliste:die sortierte Datenreihe \(x_1 \le x_2 \le \dots \le x_n\).
  • Minimum, Maximum:der kleinste Wert \(x_1\) und der größte Wert \(x_n\).
  • Median:die Mitte der Rangliste.
  • Quartile:die Mitten der unteren und der oberen Hälfte.
Die Fünf-Punkte-Zusammenfassung der elf Körpergrößen
KennwertWert in cm
Minimum164
unteres Quartil \(Q_1\)169
Median \(x_{\mathrm{Med}}\)172
oberes Quartil \(Q_3\)177
Maximum181
Merke

Fünf-Punkte-Zusammenfassung: Minimum, \(Q_1\), \(x_{\mathrm{Med}}\), \(Q_3\), Maximum

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Die Quartile bestimmen

Das untere Quartil ist der Median der unteren Hälfte, das obere Quartil der Median der oberen Hälfte. Wie du halbierst, hängt davon ab, ob \(n\) gerade ist.

  • \(n\) gerade:je \(\frac{n}{2}\) Werte bilden die untere und die obere Hälfte.
  • \(n\) ungerade:den Median weglassen; je \(\frac{n-1}{2}\) Werte links und rechts davon.
  • Beispiel \(n = 26\):\(x_{\mathrm{Med}} = \frac{31+32}{2} = 31{,}5\); \(Q_1 = 28\), \(Q_3 = 36\); Minimum 16, Maximum 50.
  • Beispiel \(n = 11\):\(x_{\mathrm{Med}} = 172\) cm; Hälften 164 … 171 und 172 … 181, also \(Q_1 = 169\) cm, \(Q_3 = 177\) cm.
  • Spannweite:\(Sw = \text{Maximum} - \text{Minimum}\), z. B. \(181 - 164 = 17\) cm.
Die fünf Punkte an der Rangliste mit \(n = 26\)
Rangliste der Punktzahlen, n = 261618202226272829293031313132323434353636374043444650Median = 31,5Minimum = 16Maximum = 50unteres Quartil Q1 = 28oberes Quartil Q3 = 36Median der unteren HälfteMedian der oberen Hälfteuntere Hälfte: 13 Werteobere Hälfte: 13 Werte
Der Median trennt die Rangliste in zwei Hälften zu je 13 Werten. In jeder Hälfte wird erneut der Median gebildet: Das ergibt \(Q_1 = 28\) und \(Q_3 = 36\).
Merke

Quartile: \(Q_1\) = Median der unteren Hälfte, \(Q_3\) = Median der oberen Hälfte

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Vier Viertel

Die fünf Punkte teilen die Rangliste in vier Abschnitte. In jedem liegt etwa ein Viertel der Werte.

  • Zwischen \(Q_1\) und \(Q_3\):etwa 50 % der Werte.
  • Unter \(Q_1\), über \(Q_3\):jeweils etwa 25 %.
  • Breite eines Viertels:zeigt die Streuung, nicht die Anzahl.
  • Beispiel:bei \(n = 26\) ist das letzte Viertel von 36 bis 50 breit, das dritte von 31,5 bis 36 schmal.
Die vier Viertel der Rangliste mit \(n = 26\)
25 %der Werte25 %der Werte25 %der Werte25 %der Werte16202428323640444852Minimum = 16Q1 = 28Median = 31,5Q3 = 36Maximum = 50die mittleren 50 % der WertePunktzahl
Zwischen je zwei benachbarten der fünf Punkte liegen etwa 25 % der Werte. Zwischen \(Q_1\) und \(Q_3\) liegen damit etwa 50 % der Werte, also die mittlere Hälfte der Datenreihe.
Merke

Viertel-Regel: zwischen zwei benachbarten der fünf Punkte liegen jeweils etwa \(25\,\%\) der Werte

Das folgende Applet führt das Verfahren Schritt für Schritt vor. Die Datenreihe ist bereits sortiert; mit jedem Schritt wird sie weiter halbiert, bis alle fünf Punkte gefunden sind. Über die Umschaltfläche lässt sich zwischen einer Datenreihe mit ungerader und einer mit gerader Anzahl von Werten wechseln. Bei ungerader Anzahl wird der Gesamtmedian sichtbar durchgestrichen, denn er gehört zu keiner der beiden Hälften.

Fünf-Punkte-Finder

Halbieren, noch einmal halbieren, ablesen: In fünf Schritten entsteht aus der Rangliste die vollständige Fünf-Punkte-Zusammenfassung.

  1. 1 Rangliste
  2. 2 Median
  3. 3 Hälften
  4. 4 unteres Quartil
  5. 5 oberes Quartil
  6. 6 Minimum und Maximum

Medianunteres und oberes QuartilMinimum und Maximumuntere und obere Hälfte

Stichprobenumfang n
–
Minimum
–
unteres Quartil
–
Median
–
oberes Quartil
–
Maximum
–

Das Applet wird geladen.

Bedienung mit der Maus: auf die Schaltflächen unter der Zeichnung klicken; ein Klick in die Zeichnung führt ebenfalls einen Schritt weiter. Bedienung mit der Tastatur: mit Tab in die Zeichnung springen, mit → oder Enter einen Schritt weiter, mit ← einen Schritt zurück, mit ↑ oder ↓ die Datenreihe wechseln.

Beim Wechsel zwischen den beiden Datenreihen zeigt sich der einzige Unterschied der beiden Fälle: Bei gerader Anzahl geht die Reihe glatt in zwei Hälften auf, und der Median liegt zwischen zwei Werten. Bei ungerader Anzahl ist der Median selbst ein Wert der Rangliste und wird beim Halbieren weggelassen, sodass beide Hälften wieder gleich viele Werte enthalten. Die Quartile werden in beiden Fällen genau gleich gebildet, nämlich als Median der jeweiligen Hälfte.

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Allgemeine Hinweise

Median weglassen

Bei ungeradem \(n\) gehört der Median zu keiner Hälfte. Sonst wären die Hälften ungleich groß.

Breit heißt nicht viel

Ein breites Viertel enthält nicht mehr Werte. Die Werte liegen dort nur weiter auseinander.

Immer zuerst sortieren

Alle fünf Punkte liest du an der Rangliste ab. Sortiere deshalb vor jedem Ablesen.

Zum Weiterschauen

Videos

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