Grundgesamtheit und Stichprobe: Übungen – Mathe Klasse 11

A1Die vier Begriffe am Beispiel benennenAFB I

Vervollständige die Beschreibung einer Befragung mit den passenden Fachbegriffen.

Ziehe die Bausteine an die richtige Stelle. Zwei Bausteine bleiben übrig.

An einem Gymnasium mit 940 Schülerinnen und Schülern soll das Mittagessen bewertet werden. Alle 940 Personen bilden die . Befragt werden aber nur 80 zufällig ausgewählte Personen; sie bilden die . Ihre Anzahl \(n = 80\) heißt . Erfasst wird die Zufriedenheit mit dem Essen — das ist das untersuchte . Die Antwort „sehr zufrieden“ ist eine mögliche . Weil nicht alle 940 Personen befragt werden, handelt es sich um eine .

Merke dir die Reihenfolge: erst die Menge abgrenzen (Grundgesamtheit), dann die Teilmenge ziehen (Stichprobe), dann festlegen, was an jedem Element erfasst wird (Merkmal).

A2Klinikum: jedem Begriff seine BedeutungAFB I

In einem Klinikum arbeiten 840 Personen. 120 zufällig ausgewählte Beschäftigte werden nach ihrer wöchentlichen Arbeitszeit gefragt; eine von ihnen gibt 38,5 Stunden an.

Wähle in jeder Zeile den passenden Eintrag. Achte besonders auf den Unterschied zwischen Merkmal (die Frage) und Merkmalsausprägung (eine mögliche Antwort).

Das ist in dieser Erhebung …
Grundgesamtheit
Stichprobe
Merkmal
Merkmalsausprägung
Erhebungsart
Wert von \(N\)
Wert von \(n\)

Das Merkmal ist immer die Frage — hier „wie lange arbeitest du in der Woche?“. Die Ausprägung ist eine mögliche Antwort, der konkret notierte Wert 38,5 h ist der Merkmalswert dieser einen Person. \(N\) gehört immer zur Grundgesamtheit, \(n\) zur Stichprobe — und es gilt stets \(n\le N\).

A3Stimmt das so?AFB I

Fünf Aussagen zu Grundgesamtheit, Stichprobe und Merkmal. Entscheide jeweils, ob sie zutreffen.

Richtig oder falsch? Entscheide bei jeder Aussage.

Aussage 1 von 5

Zwei der fünf Aussagen sind falsch. Beide drehen sich um dieselbe Verwechslung: Umfang der Grundgesamtheit gegen Umfang der Stichprobe und Merkmal gegen Merkmalsausprägung.

A4Stichprobenumfang bestimmenAFB I

Auf einer Obstplantage stehen 4 800 Apfelbäume. Für eine Qualitätskontrolle wird jeder 40. Baum begutachtet. Wie groß ist der Stichprobenumfang \(n\)?

Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.

Gezählt wird, wie oft die 40 in die 4 800 passt: \(n = \dfrac{4\,800}{40} = 120\). Die Grundgesamtheit hat den Umfang \(N = 4\,800\), die Stichprobe den Umfang \(n = 120\) — das sind 2,5 % aller Bäume.

A5Anteil als vollständig gekürzter BruchAFB II

Von den \(n=180\) befragten Fahrgästen kreuzen 45 die Ausprägung „sehr zufrieden“ an.

Trage den Anteil \(h=\dfrac{H}{n}\) als vollständig gekürzten Bruch ein — Zähler links, Nenner rechts.

\(h=\dfrac{45}{180}=\dfrac{1}{4}=0{,}25=25\,\%\). Zum Kürzen sucht man den größten gemeinsamen Teiler: \(45=9\cdot 5\), \(180=36\cdot 5\), also erst durch 5, dann durch 9 — oder gleich durch 45. Der Anteil ist eine reine Verhältniszahl, es gilt \([h]=1\).

A6Qualitativ, diskret oder stetig?AFB II

Sortiere die neun Merkmale in die drei Körbe. Denke bei den quantitativen Merkmalen daran, ob man die Werte zählt oder misst.

Ziehe jede Karte in den passenden Korb — oder wähle sie mit Enter aus und drücke dann die Ziffer des Korbs (0 legt sie zurück).

1qualitativ

2quantitativ und diskret

3quantitativ und stetig

Zwei Prüffragen genügen: Lässt sich mit den Ausprägungen rechnen? Wenn nein, ist das Merkmal qualitativ. Wenn ja: Sind nur einzelne, abzählbare Werte möglich (diskret) oder jeder Zwischenwert eines Bereichs (stetig)? Fehltage kann man zählen, eine Körpergröße dagegen beliebig fein messen.

A7Vier Erhebungen: Umfänge und AuswahlsatzAFB II

Der Auswahlsatz einer Teilerhebung ist der Anteil der untersuchten Elemente an der Grundgesamtheit, also \(\dfrac{n}{N}\).

(a) Eine Schule mit 1 250 Schülerinnen und Schülern befragt 175 von ihnen. (b) Ein Werk prüft 80 von 3 200 gefertigten Bauteilen. (c) Eine Gemeinde mit 24 000 Haushalten verschickt 1 800 Fragebögen. (d) Ein Verein mit 640 Mitgliedern befragt jedes Mitglied.

Trage in jede Zeile \(N\), \(n\) und den Auswahlsatz in Prozent ein. Prozentwerte mit Komma, zum Beispiel 2,5.

\(N\)	\(n\)	Auswahlsatz \(\frac{n}{N}\) in %
(a) Schule
(b) Werk
(c) Gemeinde
(d) Verein

\(\frac{175}{1250}=0{,}14\), \(\frac{80}{3200}=0{,}025\), \(\frac{1800}{24000}=0{,}075\). Zeile (d) ist der Sonderfall: \(n=N\), der Auswahlsatz beträgt 100 % — das ist keine Teilerhebung mehr, sondern eine Vollerhebung. Der größte Auswahlsatz gehört übrigens nicht zur größten Stichprobe: 1 800 befragte Haushalte sind weit mehr als 175 Schüler, aber ein kleinerer Anteil.

A8Merkmal und Ausprägung zusammenbringenAFB II

Acht Karten, vier Paare: Zu jedem Merkmal gehört genau eine passende Merkmalsausprägung.

Finde die Paare: Zu jedem Merkmal gehört genau eine der aufgeführten Ausprägungen. Zwei Karten anklicken — passen sie, bleiben sie offen.

Das Merkmal nennt die Frage („Welche Blutgruppe?“), die Ausprägung die Antwort („AB negativ“). Zu einem Merkmal gehören immer mehrere mögliche Ausprägungen.

A9Häufigkeit und Umfang zum Anteil verbindenAFB II

Links steht jeweils eine absolute Häufigkeit \(H\) und der zugehörige Stichprobenumfang \(n\), rechts der Anteil in Prozent. Die fünf Prozentwerte liegen dicht beieinander — rechne jeden einzeln aus.

Klicke links einen Eintrag an und dann rechts den passenden Anteil.

Immer \(h=\frac{H}{n}\), danach mit 100 multiplizieren: \(\frac{60}{250}=0{,}24\), \(\frac{45}{180}=0{,}25\), \(\frac{91}{350}=0{,}26\), \(\frac{84}{300}=0{,}28\), \(\frac{66}{300}=0{,}22\). Wer nur die Zähler vergleicht, liegt falsch: 91 ist die größte Häufigkeit, gehört aber nicht zum größten Anteil.

A10Reifenwerk: Wer ist was?AFB II

Ein Reifenhersteller produziert an einem Tag 24 000 Winterreifen. 150 davon werden im Labor auf ihre Bremswirkung geprüft. Ordne jede Zeile einem der drei Begriffe zu.

Klicke in jeder Zeile die Zelle an, die zutrifft. Ein zweiter Klick nimmt die Markierung zurück.

Das ist …	Grundgesamtheit	Stichprobe	Merkmal
alle 24 000 an diesem Tag produzierten Reifen
die 150 im Labor geprüften Reifen
die Bremswirkung eines einzelnen Reifens
die Menge, aus der gezogen wird
die Teilmenge, deren Umfang mit \(n\) bezeichnet wird
die Eigenschaft, die an jedem untersuchten Stück erfasst wird

Grundgesamtheit und Stichprobe sind Mengen von Objekten, das Merkmal ist eine Eigenschaft dieser Objekte. Wer sich fragt „Kann ich das abzählen?“, trennt die beiden Sorten sicher.

A11Eine Erhebung in der richtigen Reihenfolge planenAFB II

Sechs Arbeitsschritte einer statistischen Erhebung sind durcheinandergeraten. Bringe sie in die Reihenfolge, in der sie tatsächlich ablaufen.

Ziehe die Zeilen oder verschiebe sie mit den Pfeil-Buttons in die richtige Reihenfolge.

1Die Fragestellung festlegen: Worüber genau soll am Ende eine Aussage gemacht werden?

2Die Grundgesamtheit benennen und ihren Umfang \(N\) bestimmen.

3Das Merkmal festlegen und seine Ausprägungen vollständig und überschneidungsfrei formulieren.

4Über Voll- oder Teilerhebung entscheiden und den Stichprobenumfang \(n\) festlegen.

5Die Stichprobe zufällig ziehen und für jedes Element den Merkmalswert notieren.

6Die absoluten Häufigkeiten auszählen und daraus die Anteile \(h=\frac{H}{n}\) berechnen.

Entscheidend sind die ersten beiden Schritte: Die Grundgesamtheit ergibt sich aus der Fragestellung, nicht aus dem, was man zufällig untersuchen kann. Wer zuerst die Stichprobe zieht und danach überlegt, worüber er reden will, dreht die Logik um — und überträgt das Ergebnis am Ende auf eine Menge, für die es nie erhoben wurde. Auch die Ausprägungen müssen vor der Erhebung feststehen, sonst passen die Antworten hinterher nicht in die Kategorien.

A12Streamingdienst: mehrere Aussagen prüfenAFB II

Ein Streamingdienst hat 3,2 Millionen Kundenkonten. Für die Programmplanung werden 2 000 zufällig ausgewählte Konten ausgewertet; erfasst wird die Anzahl der pro Woche gestarteten Serienfolgen. Welche Aussagen treffen zu?

Mehrere Antworten sind richtig. Markiere alle zutreffenden und klicke dann auf „Prüfen“.

Zur letzten Aussage: \(\dfrac{2\,000}{3\,200\,000} = 0{,}000625\), also 0,0625 % oder rund 0,6 ‰ — tatsächlich weniger als ein Promille. Eine Vollerhebung wäre es nur, wenn alle 3,2 Millionen Konten ausgewertet würden; die Zufallsauswahl ändert daran nichts.

A13Verlagsumfrage: fünf Zahlen bestimmenAFB II

Ein Verlag mit 5 400 Abonnentinnen und Abonnenten will wissen, wie lange täglich gelesen wird. Dazu werden 216 zufällig ausgewählte Personen befragt; jede nennt genau eine Lesedauer.

Trage alle fünf Zahlen ein. Enter prüft alle Felder auf einmal.

Umfang der Grundgesamtheit \(N=\)Stichprobenumfang \(n=\)Auswahlsatz \(\frac{n}{N}\) in % =Anzahl der nicht befragten Abonnenten =Anzahl der erhobenen Merkmalswerte =

\(\frac{216}{5400}=0{,}04=4\,\%\); nicht befragt werden \(5\,400-216=5\,184\) Personen. Die letzte Zahl ist die Falle: Erhoben wird ein Merkmalswert pro untersuchtem Element, also 216 — nicht 5 400. Über die Lesedauer der übrigen 5 184 Personen weiß der Verlag nichts; er kann sie nur schätzen.

A14Kletterseile: der Weg zur ErhebungsartAFB II

Ein Hersteller prüft die Reißfestigkeit seiner Kletterseile. Bei der Prüfung wird jedes getestete Seil bis zum Reißen belastet und ist danach unbrauchbar. Arbeite dich Schritt für Schritt durch.

Wähle in jedem Schritt die richtige Fortsetzung. Eine falsche Wahl wird rot, dann probierst du es erneut.

Die zerstörende Prüfung ist das Standardargument für eine Teilerhebung: Bei einer Vollerhebung wäre am Ende die gesamte Produktion vernichtet. Der letzte Schritt zeigt zugleich die Grenze der Stichprobe: 2 % sind eine Schätzung für die Produktion, also rund 240 der 12 000 Seile — kein exakt gezählter Wert.

A15Stadtbibliothek: Umfang, Anteil, RücklaufAFB III

Eine Stadtbibliothek hat 12 500 gültige Leseausweise. Für eine Umfrage wird jeder 50. Ausweis angeschrieben; 180 der Angeschriebenen antworten. Rechne die drei Schritte nacheinander.

Rechne die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft.

Wie groß ist der Stichprobenumfang \(n\) der angeschriebenen Personen?Ausweise
Wie viel Prozent der Grundgesamtheit sind das?%
Wie viel Prozent der Angeschriebenen haben geantwortet?%

\(n = \dfrac{12\,500}{50} = 250\); Anteil an der Grundgesamtheit \(\dfrac{250}{12\,500} = 0{,}02 = 2\,\%\); Rücklauf \(\dfrac{180}{250} = 0{,}72 = 72\,\%\). Achtung: Die 180 Antwortenden bilden die tatsächlich ausgewertete Stichprobe — der ursprünglich geplante Umfang \(n = 250\) wird also gar nicht erreicht.

A16Von der Stichprobe auf die Produktion hochrechnenAFB III

In einer Stichprobe von \(n=250\) Bauteilen sind 14 fehlerhaft. Die gesamte Tagesproduktion umfasst \(N=4\,500\) Bauteile.

Wie viele fehlerhafte Bauteile sind in der Tagesproduktion zu erwarten? Rechne zuerst, schiebe erst dann den Regler.

Schiebe den Regler auf die berechnete Anzahl — Pfeiltasten bewegen ihn in Einerschritten. Der Wert muss exakt stimmen.

0500

Anteil in der Stichprobe: \(\frac{14}{250}=0{,}056=5{,}6\,\%\). Hochgerechnet: \(0{,}056\cdot 4\,500=252\). Zwei Denkfehler sind häufig: Wer \(14\cdot\frac{4\,500}{250}\) rechnet, kommt übrigens auf dasselbe — das ist derselbe Dreisatz. Wer dagegen einfach 14 übernimmt, verwechselt die absolute Häufigkeit mit dem Anteil. Und: 252 ist ein Erwartungswert, kein gezählter Wert.

A17Fehler in einer Beschreibung findenAFB III

Eine Molkerei füllt an einem Tag 60 000 Joghurtbecher ab. 300 Becher werden entnommen und ihr Fettgehalt gemessen. Eine Schülerin beschreibt die Erhebung so:

In dieser Beschreibung stecken Fehler. Klicke genau die falschen Zeilen an — die richtigen musst du stehen lassen.

Drei Zeilen sind falsch. Alle drei Fehler beruhen auf derselben Verwechslung: Umfang der Grundgesamtheit gegen Umfang der Stichprobe, Prozentangabe gegen Merkmalstyp, Vollerhebung gegen Teilerhebung.

A18Sechs Anteilsrechnungen prüfen und korrigierenAFB III

Drei der sechs Zeilen enthalten einen Rechenfehler. Markiere genau diese Zeilen — dann klappt jeweils ein Feld auf, in das der richtige Anteil in Prozent gehört.

Klicke eine Zeile an, wenn du sie für falsch hältst. Geprüft wird beides: die markierten Zeilen und deine Korrekturen. Prozentwerte ohne das %-Zeichen eintragen.

Zeile 2: \(\frac{45}{250}=0{,}18=18\,\%\) — hier wurde \(\frac{45}{225}\) gerechnet oder grob gerundet. Zeile 4: \(\frac{27}{180}=0{,}15=15\,\%\); die 6,7 % entstehen, wenn man \(\frac{180}{27}\) bildet und den Kehrwert nimmt — ein klassischer Dreher. Zeile 6: \(\frac{96}{320}=0{,}30=30\,\%\). Kontrolle im Kopf: Ist \(H\) knapp ein Drittel von \(n\), muss der Anteil bei 33 % liegen — 96 ist aber deutlich weniger als \(\frac{320}{3}\approx 107\).

A19Stichprobe aus Abteilungen zusammenstellenAFB III

Ein Betrieb besteht aus acht Abteilungen mit 120, 85, 60, 145, 40, 95, 75 und 30 Beschäftigten; zusammen sind das \(N=650\) Personen.

Für eine Befragung sollen ganze Abteilungen ausgewählt werden, bis der Stichprobenumfang genau \(n=450\) erreicht ist. Finde eine passende Kombination.

Klicke Abteilungen an oder ab — die Summe rechnet live mit. Tastatur: ←/→ wandern, Enter schaltet um.

0

Ziel: 450 Personen

Es gibt mehrere Lösungen, zum Beispiel \(120+145+95+60+30=450\) oder \(120+85+145+60+40=450\). Der Auswahlsatz beträgt dann \(\frac{450}{650}\approx 69{,}2\,\%\). Rechnerisch ist die Aufgabe gelöst — statistisch bleibt ein Problem: Ganze Abteilungen auszuwählen ist keine Zufallsauswahl. Wer eine Abteilung ganz weglässt, lässt auch alle ihre Besonderheiten weg; das ist genau die Verzerrung, um die es im nächsten Unterkapitel geht.

A20Den Beschreibungssatz bauenAFB III

Eine Fahrradwerkstatt hat im vergangenen Jahr 2 400 Räder repariert. Für eine Auswertung werden 120 Aufträge zufällig herausgegriffen und jeweils die Reparaturdauer in Minuten notiert.

Baue den passenden Beschreibungssatz. Drei Bausteine bleiben übrig.

Die drei übrigen Bausteine sind die drei häufigsten Fehler: \(n\) auf die Grundgesamtheit bezogen, Stichproben- und Grundgesamtheitsumfang vertauscht, eine gemessene Dauer für qualitativ gehalten.

Übungen: Grundgesamtheit, Stichprobe und Merkmal

Übungsaufgaben