Wahlalter bei Bundestagswahlen
AFB I„In einer Umfrage aus dem Spätsommer 2015 wurden 716 Menschen gefragt, ob Sie es befürworten würden, wenn das Wahlalter bei Bundestagswahlen auf 16 abgesenkt werden würde:“ Die Antworten sind nach Altersgruppen aufgeschlüsselt (Material M1).
| Altersgruppen in Jahren | 16–17 | 18–29 | 30–44 | 45–59 | 60 und älter |
|---|---|---|---|---|---|
| Ich fände 16 Jahre besser. | 11 | 25 | 20 | 26 | 19 |
| Es soll bei 18 Jahren bleiben. | 7 | 72 | 110 | 159 | 211 |
| Unentschieden, keine Angabe | 3 | 13 | 12 | 15 | 13 |
- Benennen Sie die Grundgesamtheit und die Stichprobe dieser Erhebung.
- Welche beiden Merkmale wurden bei jeder befragten Person erfasst? Geben Sie zu jedem Merkmal den Typ und die Ausprägungen an.
- Bestätigen Sie den Stichprobenumfang \(n\) mithilfe der Tabelle und entscheiden Sie, ob eine Voll- oder eine Teilerhebung vorliegt.
Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Die Grundgesamtheit ist die Menge, über die eine Aussage getroffen werden soll: alle Menschen in Deutschland, deren Meinung zum Wahlalter interessiert. Die Stichprobe sind die 716 tatsächlich befragten Personen.
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Erstes Merkmal: die Meinung zur Absenkung des Wahlalters. Es ist qualitativ; die Ausprägungen sind „Ich fände 16 Jahre besser.“, „Es soll bei 18 Jahren bleiben.“ und „Unentschieden, keine Angabe“. Zweites Merkmal: das Alter. Es ist quantitativ; hier wird es nicht in einzelnen Jahren, sondern in den fünf Altersgruppen 16–17, 18–29, 30–44, 45–59 und „60 und älter“ erfasst.
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Zeilenweise addiert: \(11+25+20+26+19 = 101\), \(7+72+110+159+211 = 559\) und \(3+13+12+15+13 = 56\). Zusammen \(101+559+56 = 716\) — das ist der Stichprobenumfang \(n = 716\). Da bei weitem nicht alle Menschen in Deutschland befragt wurden, ist es eine Teilerhebung.
Deutsche, Franzosen und Schweden
AFB II„Die Grundgesamtheit besteht aus 40 Deutschen, 20 Franzosen und 60 Schweden. Eine mögliche repräsentative Stichprobe setzt sich dann aus 4 Deutschen, 2 Franzosen und 6 Schweden zusammen. Eine Stichprobe aus 15 Deutschen, 10 Franzosen und 35 Schweden ist nicht repräsentativ.“
- Bestimmen Sie den Umfang \(N\) der Grundgesamtheit sowie den Umfang \(n\) der beiden beschriebenen Stichproben.
- Nennen Sie das untersuchte Merkmal, seine Ausprägungen und seinen Typ.
- Handelt es sich bei beiden Stichproben um Teilerhebungen? Begründen Sie.
- Die erste Stichprobe wird im Text als repräsentativ bezeichnet, die zweite nicht. Überprüfen Sie beide Angaben rechnerisch, indem Sie die Anteile der drei Nationalitäten in der Grundgesamtheit und in den beiden Stichproben vergleichen.
Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
\(N = 40 + 20 + 60 = 120\). Erste Stichprobe: \(n = 4 + 2 + 6 = 12\). Zweite Stichprobe: \(n = 15 + 10 + 35 = 60\).
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Untersucht wird das Merkmal Nationalität. Seine Ausprägungen sind hier „deutsch“, „französisch“ und „schwedisch“. Das Merkmal ist qualitativ: Die Ausprägungen sind Bezeichnungen, mit denen man nicht rechnen kann.
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Ja. In beiden Fällen ist \(n\) kleiner als \(N = 120\), es wird also nur ein Teil der Grundgesamtheit untersucht. Warum die erste Zusammensetzung „repräsentativ“ genannt wird und die zweite nicht, ist Gegenstand des nächsten Unterkapitels.
Hinweis zu Aufgabe d)
Erwartungshorizont zu Aufgabe d)
Anteile in der Grundgesamtheit: \(\dfrac{40}{120}=\dfrac{1}{3}\approx 33{,}3\,\%\) deutsch, \(\dfrac{20}{120}=\dfrac{1}{6}\approx 16{,}7\,\%\) französisch, \(\dfrac{60}{120}=\dfrac{1}{2}=50\,\%\) schwedisch.
Erste Stichprobe: \(\dfrac{4}{12}\approx 33{,}3\,\%\), \(\dfrac{2}{12}\approx 16{,}7\,\%\), \(\dfrac{6}{12}=50\,\%\) — alle drei Anteile stimmen mit der Grundgesamtheit überein. Kurz: \(40:20:60 = 2:1:3 = 4:2:6\); jede Anzahl ist genau ein Zehntel der entsprechenden Anzahl in der Grundgesamtheit. Die Stichprobe ist bezüglich des Merkmals Nationalität repräsentativ.
Zweite Stichprobe: \(\dfrac{15}{60}=25\,\%\), \(\dfrac{10}{60}\approx 16{,}7\,\%\), \(\dfrac{35}{60}\approx 58{,}3\,\%\) — also \(15:10:35 = 3:2:7 \neq 2:1:3\). Die Deutschen sind mit 25 % statt 33,3 % unterrepräsentiert, die Schweden mit 58,3 % statt 50 % überrepräsentiert. Beide Angaben des Textes bestätigen sich damit.
Zu beachten ist: Geprüft wurde nur das Merkmal Nationalität. Über andere Merkmale — etwa Alter oder Geschlecht — sagt diese Rechnung nichts; Repräsentativität gilt immer nur bezüglich der Merkmale, die man betrachtet hat.
Juniorwahl 2017
AFB II„Um Jugendliche für Politik zu interessieren, wird vor der Bundestagswahl die Juniorwahl für Jugendliche zwischen 15 und 17 Jahren durchgeführt. Ca. 1 Million Stimmen wurden abgegeben. Dabei kam es 2017 zu nebenstehendem Ergebnis.“ Das Ergebnis der Auszählung steht in Material M1.
| Partei | Anteil |
|---|---|
| Union | 27 % |
| SPD | 19,3 % |
| Linke | 7,3 % |
| Grüne | 17,9 % |
| FDP | 8,8 % |
| AfD | 6 % |
| Andere | 13,7 % |
- Beschreiben Sie die Grundgesamtheit dieser Erhebung und benennen Sie das untersuchte Merkmal samt Typ.
- Begründen Sie, warum die Auszählung der Juniorwahl eine Vollerhebung ist.
- Nennen Sie die Merkmalsausprägungen. Erklären Sie, wodurch sich die Ausprägung „Andere“ von den übrigen unterscheidet.
Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Die Grundgesamtheit sind alle bei der Juniorwahl 2017 abgegebenen Stimmen, also rund 1 000 000 Stimmen. Das Merkmal ist die gewählte Partei; es ist qualitativ.
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Bei der Auszählung wird jede einzelne abgegebene Stimme berücksichtigt, also jedes Element der Grundgesamtheit. Es wird nichts gezogen und nichts hochgerechnet: \(n = N\). Genau das ist eine Vollerhebung.
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Die Ausprägungen sind Union, SPD, Linke, Grüne, FDP, AfD und Andere. „Andere“ ist keine einzelne Partei, sondern eine Sammelkategorie: Sie fasst alle übrigen Parteien zusammen. Erst dadurch ist die Liste der Ausprägungen vollständig, und die Anteile ergänzen sich zu \(27 + 19{,}3 + 7{,}3 + 17{,}9 + 8{,}8 + 6 + 13{,}7 = 100\) Prozent.
Die Sonntagsfrage
AFB II„Bei der Sonntagsfrage stellen Meinungsforschungsinstitute regelmäßig mindestens 1 000 Bundesbürgern die Frage: ‚Welche Partei würden Sie wählen, wenn am kommenden Sonntag Bundestagswahl wäre?‘ Zusätzlich werden weitere Personendaten anonym erfragt.“
Unter dem abgedruckten Kreisdiagramm steht die Quellenangabe: „Angaben in Prozent. 2505 Befragte vom 25. bis 29.9.2017. Fehlertoleranz: +/− 2,5 Prozentpunkte. Auftraggeber: stern und RTL. Quelle: Forsa“.
- „Weshalb werden zusätzlich zur Sonntagsfrage weitere Personendaten erhoben?“ Erklären Sie den Zweck dieser Zusatzdaten.
- Geben Sie Grundgesamtheit, Stichprobe und Stichprobenumfang der abgedruckten Forsa-Erhebung an.
- Nennen Sie drei Merkmale, die als „weitere Personendaten“ erhoben werden könnten, und ordnen Sie jedem den Merkmalstyp zu.
Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Die Antwort auf die Sonntagsfrage allein verrät nicht, wen man eigentlich befragt hat. Erst weitere Merkmale — Alter, Geschlecht, Wohnort, Bildungsabschluss und Ähnliches — machen sichtbar, wie die Stichprobe zusammengesetzt ist. Nur so lässt sich beurteilen, ob sie zur Grundgesamtheit passt, und gegebenenfalls nachsteuern.
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Grundgesamtheit: alle wahlberechtigten Bundesbürgerinnen und Bundesbürger. Stichprobe: die 2505 Personen, die vom 25. bis 29.9.2017 befragt wurden. Stichprobenumfang \(n = 2\,505\).
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Zum Beispiel: das Alter in Jahren — quantitativ und diskret; das monatliche Nettoeinkommen in Euro — quantitativ und stetig; das Bundesland — qualitativ. Auch der höchste Schulabschluss ist qualitativ, seine Ausprägungen lassen sich aber zusätzlich der Reihe nach ordnen.
Einschaltquoten einer Samstagabendshow
AFB III„Nach den ersten Folgen einer neuen Samstagabendshow soll durch ein Umfrageinstitut ermittelt werden, ob die Show den Zuschauern gefällt. Da in den Pausen Werbezeiten verkauft werden, sind auch die Altersverteilung und das Geschlecht der Zuschauer interessant. Folgende Einschaltzahlen wurden erfasst:“ (Material M1)
| Alter der Zuschauer | männlich | weiblich |
|---|---|---|
| 14–20 | 123 252 | 104 344 |
| 21–35 | 1 748 215 | 1 245 109 |
| 36–49 | 1 305 418 | 898 541 |
| 49–65 | 749 556 | 801 438 |
| über 65 | 508 174 | 403 964 |
- Nennen Sie die drei Merkmale, die in dieser Erhebung vorkommen, und ordnen Sie jedem den Typ zu.
- Bestimmen Sie, wie viele Zuschauerinnen und Zuschauer insgesamt erfasst wurden.
- Die Altersgruppen der Tabelle enthalten einen Konstruktionsfehler. Beschreiben Sie ihn und formulieren Sie die Bedingung, die Merkmalsausprägungen erfüllen müssen.
Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Erstes Merkmal: das Gefallen der Show — qualitativ, mit Ausprägungen wie „gefällt mir“ oder „gefällt mir nicht“, die sich zusätzlich ordnen lassen. Zweites Merkmal: das Alter — quantitativ und diskret, hier in Gruppen zusammengefasst. Drittes Merkmal: das Geschlecht — qualitativ.
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Spalte „männlich“: \(123\,252 + 1\,748\,215 + 1\,305\,418 + 749\,556 + 508\,174 = 4\,434\,615\). Spalte „weiblich“: \(104\,344 + 1\,245\,109 + 898\,541 + 801\,438 + 403\,964 = 3\,453\,396\). Zusammen \(4\,434\,615 + 3\,453\,396 = 7\,888\,011\) Zuschauerinnen und Zuschauer.
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Die Gruppen „36–49“ und „49–65“ überschneiden sich: Eine 49-jährige Person passt in beide. Merkmalsausprägungen müssen sich aber gegenseitig ausschließen und zugleich alle Fälle abdecken — jedes Element der Grundgesamtheit muss genau einer Ausprägung zugeordnet werden können. Sauber wäre etwa „36–49“ und „50–65“.
Projekt: eine eigene Umfrage planen
AFB III„Planen Sie in Gruppen eine eigene Umfrage zu einem selbstgewählten Thema (z. B. zur Berufs- und Studienwahl, zu Medienkonsum, zu politischen oder gesellschaftlichen Themen). Überlegen Sie sich geeignete Kriterien, um eine möglichst repräsentative Umfrage durchführen zu können und führen Sie diese durch. Bereiten Sie Ihre Ergebnisse grafisch und sprachlich so auf, dass Sie auf der Schulhomepage oder in der Schülerzeitung veröffentlicht werden können.“
- Legen Sie für Ihr Thema die Grundgesamtheit fest. Beschreiben Sie sie so genau, dass für jede Person eindeutig feststeht, ob sie dazugehört.
- Formulieren Sie mindestens zwei Merkmale mit vollständigen Ausprägungen und geben Sie jeweils den Typ an.
- Begründen Sie, warum Sie eine Teilerhebung durchführen, und legen Sie einen Stichprobenumfang \(n\) fest.
Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Beispielhaft für das Thema Medienkonsum an der eigenen Schule: Grundgesamtheit sind alle Schülerinnen und Schüler, die am Stichtag an der Schule angemeldet sind — laut Sekretariat 812 Personen. Diese Abgrenzung ist eindeutig: Wer auf der Schülerliste steht, gehört dazu; wer beurlaubt oder bereits abgemeldet ist, nicht. \(N = 812\).
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Merkmal 1: tägliche Bildschirmzeit in Minuten — quantitativ und stetig, Ausprägungen sind alle Werte von 0 Minuten aufwärts. Merkmal 2: meistgenutzte Plattform — qualitativ, mit einer vorher festgelegten Liste plus der Sammelkategorie „andere“, damit jede Antwort genau einmal passt. Merkmal 3: Jahrgangsstufe — qualitativ mit Rangfolge.
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Eine Vollerhebung aller 812 Personen wäre in der Projektzeit nicht zu schaffen: Fragebögen austeilen, einsammeln und auswerten dauert zu lange, und nicht alle sind am Stichtag anwesend. Deshalb eine Teilerhebung mit \(n = 120\); das sind rund 15 % der Grundgesamtheit. Aus jeder Jahrgangsstufe wird dabei ein Teil befragt, damit nicht eine einzige Stufe die Antworten bestimmt.