Grundgesamtheit und Stichprobe
Die Grundgesamtheit ist die Menge, über die du eine Aussage treffen willst. Untersucht wird meist nur ein Teil davon: die Stichprobe.
- Grundgesamtheit:Menge aller Objekte oder Personen, über die eine Aussage getroffen werden soll; ihr Umfang ist \(N\).
- Stichprobe:der Teil der Grundgesamtheit, der tatsächlich untersucht wird.
- Stichprobenumfang \(n\):Anzahl der Elemente der Stichprobe; reine Anzahl mit \([n]=1\).
- Vollerhebung:jedes Element wird untersucht, also \(n=N\) — z. B. eine Volkszählung.
- Teilerhebung:nur eine Stichprobe wird untersucht, also \(n<N\).
- Vorteile:schneller, billiger, aktueller — und oft die einzige erreichbare Möglichkeit.
- Beispiel:Stadt mit \(N=84\,000\) Einwohnern; \(n=1\,200\) werden zum Nahverkehr befragt.
- Zerstörende Prüfung:beim Reißtest von Kletterseilen würde eine Vollerhebung die ganze Produktion vernichten.
Umfänge: \(n\le N\); Vollerhebung: \(n=N\), Teilerhebung: \(n<N\)
Merkmal und Ausprägung
Das Merkmal legt fest, was du an jedem Element notierst. Die möglichen Antworten heißen Merkmalsausprägungen.
- Merkmal:die erhobene Eigenschaft, z. B. Zufriedenheit, Alter oder Wohnort.
- Merkmalsausprägung:eine mögliche Antwort, z. B. „zufrieden“ oder „17 Jahre“.
- Eindeutig:Ausprägungen sind vollständig und überschneiden sich nicht — jedes Element passt zu genau einer.
- Merkmalswert:der Wert, der bei einem einzelnen Element tatsächlich notiert wird.
- Absolute Häufigkeit \(H\):wie oft eine Ausprägung vorkommt; reine Anzahl mit \([H]=1\).
- Mehrere Merkmale:an einem Element lassen sich gleichzeitig z. B. Alter, Geschlecht und Wohnort erheben.
Merkmal und Ausprägung: Das Merkmal ist die Frage, die Ausprägung eine mögliche Antwort.
Qualitativ oder quantitativ
Die Art der Ausprägungen entscheidet, was du später mit den Daten rechnen darfst.
- Qualitativ:Ausprägungen sind Bezeichnungen, z. B. Nationalität oder Lieblingsfach — nur zählen, nicht rechnen.
- Ordinal:qualitativ mit Rangfolge, z. B. Schulnoten — ordnen ja, mitteln nein.
- Quantitativ:Ausprägungen sind Zahlen mit Einheit, z. B. \([\text{Alter}]=1\ \text{Jahr}\) — Mittelwert ist sinnvoll.
- Diskret:nur einzelne, abzählbare Werte, z. B. Anzahl der Geschwister.
- Stetig:jeder Zwischenwert ist möglich, z. B. Körpergröße oder Brenndauer.
- Beispiel:die Postleitzahl ist qualitativ — der Mittelwert zweier Postleitzahlen bezeichnet keinen Ort.
Quantitatives Merkmal: Ausprägungen sind Zahlen, mit denen sich sinnvoll rechnen lässt.
Ordne in fünf Szenarien die Karten Grundgesamtheit, Stichprobe und Merkmal den passenden Feldern zu. Jede Zuordnung wird sofort geprüft.
Erhebung sortieren
Lies zuerst die Situation. Wähle danach eine Karte aus und lege sie in eines der drei Felder. Liegt sie richtig, bleibt sie dort liegen; liegt sie falsch, wandert sie zurück in den Vorrat und du erfährst, woran man es erkennt. Über die Ziffern oben wechselst du zwischen fünf Szenarien.
Eine Lampenfabrik will wissen, wie lange ihre LED-Lampen brennen.
Wähle eine Karte aus dem Vorrat und lege sie in eines der drei Felder.
Bedienung mit der Tastatur: mit Tab in den Vorrat springen, mit ←/→ zwischen den Karten wechseln, mit Enter eine Karte auswählen. Danach mit Tab zu den Feldern gehen, mit ←/→ das Feld wählen und mit Enter ablegen. Mit der Maus geht es genauso — anklicken oder mit gedrückter Maustaste ziehen. Jede Rückmeldung wird vorgelesen.
Halte fest: Die Grundgesamtheit ist eine vollständige Menge, die Stichprobe nennt eine Anzahl \(n\), das Merkmal eine Eigenschaft.
Von der Frage zur Stichprobe
Eine Erhebung folgt einer festen Reihenfolge. Am Anfang steht immer die Frage.
- Frage klären:worüber soll die Aussage gelten?
- Grundgesamtheit:ergibt sich aus der Frage — nicht aus den Daten, die gerade greifbar sind.
- Merkmal wählen:was wird an jedem Element notiert, welche Ausprägungen sind vorgesehen?
- Stichprobe ziehen:Umfang \(n\) festlegen und die Elemente auswählen.
- Umfang:größeres \(n\) liefert zuverlässigere Ergebnisse; bundesweite Umfragen befragen meist mindestens 1 000 Personen.
- Auswahl:auch eine große Stichprobe kann schief sein — sie muss die Grundgesamtheit gut abbilden.
- Beispiel:Krankenkasse: \(N=1\,200\,000\), \(n=2\,400\); Alter quantitativ, Weg der Terminvereinbarung qualitativ.
Erhebung beschrieben: Grundgesamtheit mit \(N\), Stichprobe mit \(n\), Merkmal und Ausprägungen
Allgemeine Hinweise
Frage bestimmt N
Die Grundgesamtheit folgt aus der Frage, nicht aus den Befragten. Die 1 200 Befragten sind die Stichprobe.
Ziffern sind nicht Zahlen
Postleitzahlen oder Trikotnummern bestehen aus Ziffern. Rechnen ergibt dort keinen Sinn, also sind sie qualitativ.
Signalwörter
„Alle …“ deutet auf die Grundgesamtheit, eine Anzahl auf die Stichprobe. Eine Eigenschaft wie „Brenndauer“ ist das Merkmal.
Videos
Zwei kurze Erklärvideos zu diesem Unterkapitel — eines für die Idee, eines für das Rechnen. Sie starten erst, wenn du sie anklickst.
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