Zwanzig Aufgaben zum Rechnen, Ablesen, Zuordnen und Zeichnen. Der Schwerpunkt liegt auf der Formel \(m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\) und dem Steigungsdreieck — mit Rechenketten, Fehlersuchen und einer Gitter-Werkstatt, in der Punkte so gesetzt werden müssen, dass die Steigung stimmt. Jede gelöste Aufgabe füllt den Fortschrittsbalken weiter auf.
1Steigt, fällt oder waagerecht?AFB I
Sieben Funktionsterme — nicht alle stehen in der Form \(f(x)=m\,x+b\). Entscheiden Sie anhand der Steigung, wie die Gerade verläuft, und sortieren Sie jede Karte in den passenden Korb.
Ziehe jede Karte in den passenden Korb — oder wähle sie mit Enter aus und drücke dann die Ziffer des Korbs (0 legt sie zurück).
1Gerade steigt
2Gerade fällt
3Gerade ist waagerecht
Entscheidend ist allein die Zahl vor dem \(x\), nachdem der Term geordnet ist: \(5-2x\) hat \(m=-2\), \(-(x-4)=-x+4\) hat \(m=-1\), und \(2(x+1)-2x = 2\) enthält gar kein \(x\) mehr — die Gerade ist waagerecht. Die Zahl \(b\) spielt für die Richtung keine Rolle.
2Rechenkette: Steigung aus zwei PunktenAFB I
Gegeben sind \(P(-2\,|\,5)\) und \(Q(4\,|\,-7)\). \(P\) ist \(P_1\), \(Q\) ist \(P_2\).
Berechnen Sie Zähler, Nenner und schließlich die Steigung.
Rechne die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft. Dezimalzahlen mit Komma oder Punkt, negative Zahlen mit Minuszeichen.
Zähler: \(y_2 - y_1 = -7 - 5 = \;?\)Δy
Nenner: \(x_2 - x_1 = 4 - (-2) = \;?\)Δx
Steigung: \(m = \dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1} = \;?\)m
Zähler \(-12\), Nenner \(6\), also \(m=-2\): Die Gerade fällt, ein Schritt nach rechts geht zwei Einheiten nach unten. Beim Nenner ist \(4-(-2)=6\) — das doppelte Minus wird zum Plus.
3Drei Geraden, drei SteigungenAFB I
Je zwei Punkte legen eine Gerade fest. Berechnen Sie jeweils die Steigung \(m\) (Dezimalzahl).
Formel: \(m=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\) — oben die y-Werte, unten die x-Werte, beide Male in derselben Reihenfolge subtrahieren.Welcher Punkt der erste ist, darf frei gewählt werden; das Ergebnis ändert sich nicht.
Einsetzen: a) \(\frac{11-3}{6-2}=\frac{8}{4}\). b) \(\frac{-2-4}{3-(-1)}=\frac{-6}{4}\). c) \(\frac{-5-(-5)}{8-0}=\frac{0}{8}\).Bei c) sind beide y-Werte gleich: Der Zähler wird null.
Lösung: a) \(m=2\). b) \(m=-1{,}5\). c) \(m=0\) — die Gerade durch \(E\) und \(F\) ist waagerecht.Kontrolle für a): Von \(A\) vier Schritte nach rechts und acht nach oben ergibt genau \(B\).
4Steigung am Graphen ablesenAFB I
Die Gerade \(f\) verläuft durch die beiden markierten Gitterpunkte. Lesen Sie \(\Delta x\) und \(\Delta y\) am Steigungsdreieck ab und stellen Sie den Regler auf die Steigung \(m\) (auf eine Nachkommastelle gerundet).
Lies das Steigungsdreieck ab, rechne — und stelle dann den Regler auf deinen Wert. Pfeiltasten verändern den Wert in kleinen Schritten.
Die gestrichelten Linien bilden das Steigungsdreieck zwischen den beiden markierten Punkten.
0
-303
Von \((-2\,|\,-1)\) nach \((4\,|\,3)\) sind es \(\Delta x = 6\) nach rechts und \(\Delta y = 4\) nach oben. Also ist \(m=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}\approx 0{,}67\). Wer das Dreieck kleiner wählt, etwa \(\Delta x=3\) und \(\Delta y=2\), erhält denselben Wert.
5Gitter-Werkstatt: Steigung 1,5 herstellenAFB II
Der Punkt \(P(-3\,|\,-2)\) ist fest.
Setzen Sie einen zweiten Gitterpunkt \(Q\) so, dass die Gerade durch \(P\) und \(Q\) die Steigung \(m=\frac{3}{2}\) hat. Es gibt mehrere richtige Lösungen.
Klicke in das Gitter, um den Punkt \(Q\) zu setzen (die Punkte rasten ein). Tastatur: Tab ins Gitter, Pfeiltasten bewegen den Cursor, Enter setzt den Punkt. Dann „Punkt prüfen“.
Noch kein Punkt gesetzt.
Jeder Punkt der Form \(Q(-3+2k\,|\,-2+3k)\) ist richtig, etwa \((-1\,|\,1)\), \((1\,|\,4)\) oder auch \((-5\,|\,-5)\) — zwei nach rechts und drei nach oben, beliebig oft wiederholt, auch rückwärts. Der Quotient \(\Delta y:\Delta x\) bleibt dabei immer \(3:2\).
6Erst ordnen, dann ablesenAFB II
Vier Terme, die erst umgeformt werden müssen, bevor die Steigung sichtbar ist. Bestimmen Sie zu jeder Zeile die Steigung und setzen Sie genau ein Kreuz.
In jeder Zeile gehört genau ein Kreuz. Enter setzt und löscht, die Pfeiltasten wandern von Feld zu Feld.
Term
m = −2
m = 2
m = −0,25
m = −1,5
f(x) = 3 − 2x
g(x) = (4x + 6) : 2
h(x) = 1 − x : 4
k(x) = 0,5 · (6 − 3x)
\(g(x)=\frac{4x+6}{2}=2x+3\) und \(k(x)=0{,}5\cdot(6-3x)=3-1{,}5x\). Bei \(h\) ist \(-\frac{x}{4}=-\frac14 x\), also \(m=-0{,}25\). Bei allen vier Termen steht die Steigung erst nach dem Ordnen als Zahl vor dem \(x\).
7Fehlersuche: Steigung durch zwei PunkteAFB II
Gesucht ist die Steigung der Geraden durch \(P(3\,|\,-1)\) und \(Q(-2\,|\,4)\). Jemand hat dazu sieben Zeilen notiert; drei davon sind falsch.
Überprüfen Sie jede Zeile und markieren Sie genau die fehlerhaften.
In diesem Lösungsweg stecken Fehler. Klicke genau die falschen Zeilen an — die richtigen musst du stehen lassen.
Der häufigste Fehler steckt in Zeile 2: Ein negativer y-Wert muss mit Klammer eingesetzt werden, sonst verschwindet ein Minuszeichen. Zeile 5 unterschätzt, dass Zähler und Nenner gemeinsam das Vorzeichen wechseln. Zeile 7 ist eine Vermutung ohne Rechnung.
8Steigung in ProzentAFB II
Eine Straße überwindet auf \(400\,\text{m}\) waagerecht gemessener Strecke einen Höhenunterschied von \(22\,\text{m}\).
Berechnen Sie, welche Steigung in Prozent das Verkehrsschild anzeigt.
Rechne selbst und trage die Prozentzahl ohne Prozentzeichen ein — Enter prüft direkt.
Die Steigung ist \(m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{22\,\text{m}}{400\,\text{m}}=0{,}055\). Als Prozentzahl sind das \(5{,}5\,\%\): Auf je 100 m waagerecht geht es 5,5 m nach oben. Ein Schild mit „12 %“ wäre mehr als doppelt so steil.
9Term und Steigung zusammenführenAFB I
Zwölf verdeckte Karten — sechs Funktionsterme und sechs Steigungen. Lesen Sie bei jedem aufgedeckten Term die Steigung ab und suchen Sie das passende Gegenstück.
Decke zwei Karten auf, die zusammengehören. Mit der Tastatur: Tab zur Karte, Enter aufdecken, Pfeiltasten zum Wandern.
Versuche: 0 von 16
Bei \(f(x)=x\) steht unsichtbar eine 1 vor dem \(x\); bei \(f(x)=7\) fehlt das \(x\) ganz, die Steigung ist 0. Die Brüche \(\frac{3x-1}{2}=1{,}5x-0{,}5\) und \(-\frac{2x+1}{4}=-0{,}5x-0{,}25\) müssen erst gliedweise geteilt werden.
10Steigungsdreieck und y-AchsenabschnittAFB II
Die Gerade \(g\) verläuft durch die beiden markierten Gitterpunkte \((-4\,|\,3)\) und \((2\,|\,-1)\). Bestimmen Sie die Größen des Steigungsdreiecks (von links nach rechts), die Steigung und den y-Achsenabschnitt — Brüche als Dezimalzahl mit zwei Nachkommastellen.
Beide markierten Punkte liegen auf Gitterpunkten — das Steigungsdreieck lässt sich abzählen.
Dreieck ablesen: Vom linken Punkt \((-4\,|\,3)\) zum rechten \((2\,|\,-1)\): Wie viele Kästchen nach rechts, wie viele nach unten? Nach unten zählt negativ.Ein Steigungsdreieck wird immer von links nach rechts gelesen, dann ist \(\Delta x\) positiv.
Steigung und b: \(m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{-4}{6}\). Für \(b\) den Punkt \((2\,|\,-1)\) in \(y=m\,x+b\) einsetzen und nach \(b\) auflösen.\(b\) ist der y-Wert an der Stelle \(x=0\) — hier kein Gitterpunkt, deshalb rechnen statt ablesen.
Gegeben sind \(A(1\,|\,2)\), \(B(4\,|\,8)\) und ein dritter Punkt \(R(7\,|\,13)\). Es soll geprüft werden, ob \(R\) auf der Geraden durch \(A\) und \(B\) liegt.
Ordnen Sie die Rechenschritte in die richtige Reihenfolge.
Ziehe die Zeilen mit der Maus oder verschiebe sie mit den Pfeil-Buttons, bis die Reihenfolge stimmt.
1Steigung durch A und B: m = (8 − 2) : (4 − 1) = 6 : 3 = 2.
2Von A aus zu R: Δx = 7 − 1 = 6 und Δy = 13 − 2 = 11.
3Steigung von A nach R: 11 : 6 ≈ 1,83.
4Vergleich: 1,83 ist nicht 2 — die beiden Steigungen stimmen nicht überein.
5Schluss: R liegt nicht auf der Geraden durch A und B. Auf der Geraden läge (7 | 14).
Drei Punkte liegen genau dann auf einer Geraden, wenn jedes Paar dieselbe Steigung liefert. Von \(A\) sechs Schritte nach rechts müssten bei \(m=2\) zwölf Schritte nach oben sein, also \(y=14\). \(R\) liegt mit \(y=13\) eine Einheit zu tief.
12Steigung als SchrittfolgeAFB II
Jede Steigung lässt sich als „so viele nach rechts, so viele nach oben oder unten“ lesen. Verbinden Sie jede Steigung mit der passenden Schrittfolge.
Wähle links einen Eintrag aus (Klick oder Enter) und klicke dann rechts den passenden Partner an.
Bei einem Bruch gibt der Nenner die Schritte nach rechts an, der Zähler die Schritte nach oben; ein negatives Vorzeichen dreht „oben“ in „unten“. Ganze Zahlen haben den Nenner 1: ein Schritt nach rechts.
13Was gilt für die Gerade durch A und B?AFB II
Gegeben sind \(A(1\,|\,2)\) und \(B(5\,|\,10)\).
Prüfen Sie jede Aussage rechnerisch und markieren Sie alle richtigen.
Mehrere Antworten sind richtig. Markiere alle zutreffenden und klicke dann auf „Prüfen“.
\(m=\frac{10-2}{5-1}=\frac84=2\). Mit \(2=2\cdot1+b\) folgt \(b=0\), die Gerade geht durch den Ursprung; \((0\,|\,-1)\) liegt daher nicht darauf. \((3\,|\,6)\) passt, weil \(2\cdot 3=6\). Vertauschen der Punkte ändert das Vorzeichen von Zähler und Nenner gleichzeitig — \(m\) bleibt 2.
14Rechenkette: Mit der Steigung weiterrechnenAFB III
Eine Gerade verläuft durch \(P(-1\,|\,4)\) und hat die Steigung \(m=-\frac32\).
Rechnen Sie die Kette durch. Jeder Schritt baut auf dem Steigungsdreieck auf.
Rechne die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft. Dezimalzahlen mit Komma oder Punkt, negative Zahlen mit Minuszeichen.
Funktionswert an der Stelle \(x=3\): Von \(P\) sind das 4 Schritte nach rechts. \(f(3)=\;?\)y
An welcher Stelle \(x\) nimmt die Gerade den Wert \(10\) an?x
Wie groß ist \(\Delta y\), wenn \(x\) von \(-1\) auf \(7\) wächst?Δy
Der y-Achsenabschnitt \(b\) der Geraden: \(b=\;?\)b
Vier Schritte nach rechts bedeuten \(\Delta y=4\cdot(-1{,}5)=-6\), also \(f(3)=4-6=-2\). Für den Wert 10 braucht es \(\Delta y=+6\), also \(\Delta x=6:(-1{,}5)=-4\) und \(x=-5\). Von \(-1\) bis \(7\) sind es 8 Schritte: \(\Delta y=-12\). Ein Schritt nach rechts von \(P\) zur y-Achse: \(b=4-1{,}5=2{,}5\).
15Welche Gerade ist gemeint?AFB II
Vier Geraden A bis D. Bestimmen Sie jeweils mit einem Steigungsdreieck, welche Gerade zur gesuchten Steigung gehört, und klicken Sie ihr Schild an.
Klicke die gesuchte Gerade an ihrem Buchstaben-Schild an. Mit der Tastatur: Tab oder Pfeiltasten zum Wandern, Enter zum Auswählen.
A steigt mit \(m=\frac12\) (zwei nach rechts, eins nach oben), B fällt mit \(m=-2\), C hat \(m=3\) und ist damit am steilsten, D ist waagerecht mit \(m=0\). Der Betrag der Steigung bestimmt die Steilheit, das Vorzeichen nur die Richtung.
16Lineare Abnahme: die KerzeAFB II
Eine Kerze brennt gleichmäßig ab. Nach 2 Stunden ist sie noch \(18\,\text{cm}\) hoch, nach 5 Stunden noch \(10{,}5\,\text{cm}\).
Berechnen Sie die Steigung \(m\) der Funktion Höhe in Abhängigkeit von der Zeit (in cm pro Stunde).
Fasse die Angaben als zwei Punkte auf und rechne selbst. Negative Zahlen mit Minuszeichen, Enter prüft.
Die beiden Angaben sind die Punkte \((2\,|\,18)\) und \((5\,|\,10{,}5)\). Also \(m=\frac{10{,}5-18}{5-2}=\frac{-7{,}5}{3}=-2{,}5\): Die Kerze wird pro Stunde 2,5 cm kürzer. Das negative Vorzeichen gehört zum Ergebnis, es zeigt die Abnahme an.
17Unbekannte Koordinate bestimmenAFB III
Diesmal ist die Steigung bekannt, eine Koordinate aber nicht. Bestimmen Sie jeweils den fehlenden Wert.
Ansatz: Die Formel \(m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\) mit dem Buchstaben aufschreiben und dann nach ihm auflösen.Auch mit einem Buchstaben ist es nur eine Gleichung mit einer Unbekannten.
Gleichungen: a) \(\frac{2t-t}{4-(-2)}=1{,}5\), also \(\frac{t}{6}=1{,}5\). b) \(\frac{-9-3}{5-k}=-4\), also \(\frac{-12}{5-k}=-4\).Bei b) steht die Unbekannte im Nenner: Mit \((5-k)\) multiplizieren.
Lösung: a) \(t=9\). b) \(-12=-4\cdot(5-k)\Rightarrow 3=5-k\Rightarrow k=2\).Probe b): \(\frac{-9-3}{5-2}=\frac{-12}{3}=-4\) ✓
18Den Steigungsbruch zusammensetzenAFB II
Gegeben sind \(P(4\,|\,-3)\) als \(P_1\) und \(Q(-1\,|\,7)\) als \(P_2\).
Bauen Sie die Rechnung \(m = \text{Zähler} : \text{Nenner} = \text{Wert}\) aus den passenden Bausteinen zusammen.
Setze den Lösungsweg von links nach rechts zusammen. Ein Klick legt den Baustein auf den nächsten freien Platz, ein Klick im Bauplan legt ihn zurück. Enter funktioniert genauso.
Zähler \(7-(-3)=10\), Nenner \(-1-4=-5\), also \(m=10:(-5)=-2\). Der Baustein „Nenner: 4 − (−1)“ wäre nur richtig, wenn auch der Zähler umgedreht würde (\(-3-7=-10\)); gemischt ergibt er das falsche Vorzeichen.
19Sechs Behauptungen zur SteigungAFB III
Sechs Aussagen, die man nicht raten, sondern kurz durchrechnen sollte. Entscheiden Sie, ob sie stimmen.
Sechs Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann startest du die Serie mit „Neue Runde“ neu.
Aussage 1 von 6
Zwei Aussagen zielen auf denselben Denkfehler: Das Vorzeichen von m sagt nur, ob es bergauf oder bergab geht, der Betrag sagt, wie steil. Und \(b\) hat mit der Steilheit gar nichts zu tun.
20Gitter-Werkstatt: Die Gerade verlängernAFB III
Die Gerade verläuft durch \(P(-4\,|\,-3)\) und \(Q(2\,|\,1)\); die Gerade selbst ist nicht eingezeichnet.
Berechnen Sie zuerst die Steigung und setzen Sie dann den Punkt \(R\) mit der x-Koordinate \(5\), der ebenfalls auf dieser Geraden liegt.
Klicke den gesuchten Punkt im Gitter an oder steuere ihn mit Tab, Pfeiltasten und Enter an. Dann „Punkt prüfen“.
Noch kein Punkt gesetzt.
Die Steigung ist \(m=\frac{1-(-3)}{2-(-4)}=\frac46=\frac23\). Von \(Q(2\,|\,1)\) sind es bis \(x=5\) drei Schritte nach rechts, also \(\Delta y=3\cdot\frac23=2\): \(R(5\,|\,3)\). Kontrolle von \(P\) aus: 9 Schritte nach rechts, \(\Delta y=9\cdot\frac23=6\), und \(-3+6=3\) ✓
