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Steigung m berechnen

Bei f(x) = m · x + b gibt m die Steigung an und b den Schnittpunkt mit der y-Achse. Berechnet wird m aus zwei Punkten oder direkt aus dem Steigungsdreieck.

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Die lineare Funktion und ihre beiden Zahlen

Der Graph einer linearen Funktion \(f(x)=m\,x+b\) ist eine Gerade. Die zwei Zahlen \(m\) und \(b\) legen sie fest.

  • Steigung \(m\):Zahl vor dem \(x\) — gibt an, wie steil die Gerade verläuft.
  • y-Achsenabschnitt \(b\):Zahl ohne \(x\) — die Gerade schneidet die y-Achse in \((0\,|\,b)\).
Was steckt im Term \(f(x)=m\,x+b\)?
f(x) =mx+bSteigung / Anstiegwie steil die Gerade verläuftSchnittpunkt mit der y-Achsewo die Gerade die y-Achse trifft

Beide Buchstaben im Term haben eine Aufgabe. \(m\) bestimmt die Neigung der Geraden, \(b\) bestimmt ihre Höhe auf der y-Achse.

  • \(m>0\):die Gerade steigt.
  • \(m=0\):die Gerade ist waagerecht.
  • \(m<0\):die Gerade fällt.
  • Betrag:je größer \(|m|\), desto steiler die Gerade.
Die drei Fälle im Bild
m > 0Die Gerade steigt.m = 0Die Gerade ist waagerecht.m < 0Die Gerade fällt.

Von links nach rechts gelesen geht es bei \(m>0\) bergauf, bei \(m=0\) geradeaus und bei \(m<0\) bergab. Das Vorzeichen von \(m\) entscheidet über die Richtung, sein Betrag über die Steilheit.

Merke

Lineare Funktion: \(f(x)=m\,x+b\)

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Die Steigung aus zwei Punkten

Kennst du zwei Punkte der Geraden, rechnest du \(m\) aus. Du teilst die Änderung der y-Werte durch die Änderung der x-Werte.

  • Benennen:\(P_1(x_1\,|\,y_1)\) und \(P_2(x_2\,|\,y_2)\) — welcher welcher ist, darfst du frei wählen.
  • Zähler:\(y_2-y_1\).
  • Nenner:\(x_2-x_1\) — in derselben Reihenfolge wie oben.
  • Ausrechnen:Bruch berechnen oder kürzen, das Ergebnis ist \(m\).
  • Beispiel:\(P(1\,|\,6)\), \(Q(-3\,|\,-8)\): \(m=\frac{-8-6}{-3-1}=\frac{-14}{-4}=3{,}5\).
Merke

Steigung aus zwei Punkten: \(m=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\)

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Das Steigungsdreieck

Ist die Gerade gezeichnet, liest du \(m\) direkt ab. Dazu setzt du ein rechtwinkliges Dreieck an die Gerade, das Steigungsdreieck.

Steigungsdreieck an der Geraden \(f\)
−3−2−11221−1−2−3xyf(x)Δx = 3Δy = 2b = 0,5

Drei Schritte nach rechts, zwei Schritte nach oben: das ist die Steigung \(m=\frac{2}{3}\). Die Gerade schneidet die y-Achse bei \(0{,}5\). Aus der Zeichnung ergibt sich damit \(f(x)=\frac{2}{3}x+0{,}5\).

  • \(\Delta x\):waagerechte Kathete, nach rechts abgetragen und damit positiv.
  • \(\Delta y\):senkrechte Kathete — nach oben positiv, nach unten negativ.
  • Ablesen:beide Ecken auf Gitterpunkte legen, dann zählst du \(\Delta x\) und \(\Delta y\) genau ab.
  • \(b\) ablesen:Schnittstelle mit der y-Achse, hier \(b=0{,}5\).
  • Prozent:8 % auf einem Verkehrsschild heißt \(m=0{,}08\): 8 m Höhe auf 100 m waagerecht.
Merke

Steigungsdreieck: \(m=\dfrac{\Delta y}{\Delta x}\)

Verschiebe die beiden Punkte und beobachte, wie sich das Steigungsdreieck und damit die Steigung \(m\) verändert.

Steigungsdreieck-Werkstatt

Ziehe \(P_1\) und \(P_2\) mit der Maus. Mit der Tabulatortaste wählst du einen Punkt aus und verschiebst ihn mit den Pfeiltasten; Enter oder die Leertaste setzt ihn in den Ursprung zurück. Die Punkte rasten auf ganzen Zahlen ein.

−4−224−4−224xyP1P2
Δx
5
Δy
3
Steigung m
0,6
y-Achsenabschnitt b
−0,2
Die Steigung ist positiv, die Gerade steigt.

Achte darauf, dass sich \(m\) nicht ändert, solange du einen Punkt entlang der Geraden verschiebst: Jedes Steigungsdreieck an derselben Geraden liefert denselben Quotienten \(\frac{\Delta y}{\Delta x}\).

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Allgemeine Hinweise

y oben, x unten

Die y-Werte gehören in den Zähler, die x-Werte in den Nenner. Vertauscht erhältst du den Kehrwert.

Gleiche Reihenfolge

Ziehe oben und unten denselben Punkt ab. Sonst stimmt das Vorzeichen von \(m\) nicht.

Gitterpunkte nutzen

Setze das Steigungsdreieck an Kästchenecken an. Dann liest du \(\Delta x\) und \(\Delta y\) exakt ab.

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