Zwanzig Aufgaben rund um den Ansatz \(f(x)=0\) und die Formel \(x=-\frac{b}{m}\). Nach einem kurzen Vokabel-Check geht es vor allem ums Rechnen: Nullstellen aus Termen, aus zwei Punkten, aus Sachsituationen — und rückwärts, wenn die Nullstelle bekannt ist und ein Parameter fehlt. Jede gelöste Aufgabe füllt den Fortschrittsbalken weiter auf.
1Die Vokabeln der NullstelleAFB I
Bevor gerechnet wird: Vervollständigen Sie den Merktext mit den passenden Begriffen. Drei Wörter bleiben übrig.
Wort anklicken, dann Lücke anklicken (oder umgekehrt) — mit Tab und Enter geht es genauso. Ein Klick auf eine gefüllte Lücke legt das Wort zurück.
Eine ist ein x-Wert, an dem der Funktionswert ist. Im Graphen gehört sie zum Schnittpunkt mit der . Die Formel \(x=-\frac{b}{m}\) darf nur angewendet werden, wenn gilt. Der y-Achsenabschnitt \(b\) ist dagegen keine Stelle, sondern ein .
Nullstelle und y-Achsenabschnitt werden gern verwechselt: Die Nullstelle ist ein x-Wert (eine Stelle), \(b\) ist ein y-Wert (ein Funktionswert). „b ≠ 0“ ist keine Bedingung — auch mit \(b=0\) funktioniert die Formel, die Nullstelle ist dann 0.
2Drei Nullstellen berechnenAFB I
Berechnen Sie jeweils die Nullstelle (als Dezimalzahl).
Ansatz: Funktionsterm gleich null setzen und nach \(x\) auflösen — oder direkt \(x=-\frac{b}{m}\) verwenden.Beide Wege sind dieselbe Rechnung; die Formel ist nur die abgekürzte Form.
Einsetzen: a) \(x=-\frac{-10}{4}\). b) \(x=-\frac{-9}{-3}\). c) \(x=-\frac{4}{0{,}5}\).Bei b) stehen drei Minuszeichen: Das Ergebnis ist negativ.
Lösung: a) \(x=2{,}5\). b) \(x=-3\). c) \(x=-8\).Probe c): \(0{,}5\cdot(-8)+4=-4+4=0\) ✓
3Rechenkette: Umstellen bis zur ProbeAFB I
Gegeben ist \(f(x)=-2x+7\).
Stellen Sie die Gleichung \(f(x)=0\) Schritt für Schritt um und führen Sie am Ende die Probe durch.
Rechne die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft. Dezimalzahlen mit Komma oder Punkt, negative Zahlen mit Minuszeichen.
Aus \(-2x+7=0\) wird nach dem ersten Umstellen \(-2x=\;?\)
Durch \(-2\) teilen: \(x=\;?\)x
Probe: \(f(3{,}5)=-2\cdot 3{,}5+7=\;?\)
Erst wird \(7\) auf die andere Seite gebracht (\(-2x=-7\)), dann durch \(-2\) geteilt: \(x=3{,}5\). Die Probe liefert \(-7+7=0\) — das muss bei einer Nullstelle immer herauskommen.
4Sechs Terme, vier MöglichkeitenAFB II
Zwei Terme haben dieselbe Nullstelle, einer hat gar keine. Berechnen Sie jede Nullstelle und setzen Sie pro Zeile genau ein Kreuz.
In jeder Zeile gehört genau ein Kreuz. Enter setzt und löscht, die Pfeiltasten wandern von Feld zu Feld.
Term
x = 3
x = −0,5
x = 0
keine Nullstelle
f(x) = 2x − 6
g(x) = −x + 3
h(x) = 6x + 3
k(x) = −4x − 2
p(x) = 3x
q(x) = 5
\(f\) und \(g\) haben beide die Nullstelle 3, obwohl sie ganz verschieden verlaufen; \(h\) und \(k\) treffen sich bei \(-0{,}5\). Bei \(p(x)=3x\) ist \(b=0\), die Nullstelle liegt im Ursprung. \(q(x)=5\) ist waagerecht: \(m=0\), keine Nullstelle.
5Gitter-Werkstatt: Nullstelle setzenAFB II
Gegeben ist \(f(x)=-1{,}5x+6\). Der Graph ist absichtlich nicht eingezeichnet.
Berechnen Sie die Nullstelle und setzen Sie den Punkt, in dem der Graph die x-Achse schneidet.
Klicke den Schnittpunkt mit der x-Achse im Gitter an oder steuere ihn mit Tab, Pfeiltasten und Enter an. Dann „Punkt prüfen“.
Noch kein Punkt gesetzt.
\(-1{,}5x+6=0\Rightarrow x=-\frac{6}{-1{,}5}=4\). Der Schnittpunkt mit der x-Achse ist \(N(4\,|\,0)\) — die y-Koordinate einer Nullstelle ist immer 0, die Nullstelle selbst ist die Zahl 4.
6Fehlersuche: Nullstelle von f(x) = −4x + 6AFB II
Jemand hat die Nullstelle von \(f(x)=-4x+6\) in sieben Zeilen berechnet; drei Zeilen sind falsch.
Überprüfen Sie jede Zeile und markieren Sie genau die fehlerhaften.
In diesem Lösungsweg stecken Fehler. Klicke genau die falschen Zeilen an — die richtigen musst du stehen lassen.
Ein einziges vergessenes Minus in Zeile 2 zieht sich durch: Zeile 3 rechnet damit sauber weiter und landet bei \(-1{,}5\). Die Probe in Zeile 4 ist korrekt und schlägt an — genau dafür ist sie da. Zeile 7 rechnet richtig, zieht aber den falschen Schluss.
7Term und Nullstelle zusammenführenAFB I
Zwölf verdeckte Karten — sechs Terme und sechs Nullstellen. Berechnen Sie zu jedem aufgedeckten Term die Nullstelle und suchen Sie das Gegenstück.
Decke zwei Karten auf, die zusammengehören. Mit der Tastatur: Tab zur Karte, Enter aufdecken, Pfeiltasten zum Wandern.
Versuche: 0 von 16
Bei \(-2x-5\) sind \(m\) und \(b\) beide negativ: \(x=-\frac{-5}{-2}=-2{,}5\), die Nullstelle bleibt negativ. Bei \(-6x+2\) ergibt \(-\frac{2}{-6}=\frac13\) — ein Bruch, keine Dezimalzahl mit endlich vielen Stellen.
8Nullstelle aus zwei PunktenAFB II
Eine Gerade verläuft durch \(P(2\,|\,5)\) und \(Q(6\,|\,-3)\).
Berechnen Sie zuerst \(m\) und \(b\), dann die Nullstelle.
Rechne selbst und trage die Nullstelle ein — Enter prüft direkt.
\(m=\frac{-3-5}{6-2}=\frac{-8}{4}=-2\). Mit \(P\): \(5=-2\cdot 2+b\Rightarrow b=9\). Nullstelle: \(x=-\frac{9}{-2}=4{,}5\). Anschaulich: Zwischen \(x=2\) (Wert 5) und \(x=6\) (Wert \(-3\)) muss die Gerade die x-Achse kreuzen — bei 4,5 stimmt es.
9Was gilt für f(x) = −0,5x + 3?AFB II
Prüfen Sie jede Aussage rechnerisch und markieren Sie alle richtigen.
Mehrere Antworten sind richtig. Markiere alle zutreffenden und klicke dann auf „Prüfen“.
\(x=-\frac{3}{-0{,}5}=6\), also liegt der Schnittpunkt \((6\,|\,0)\) rechts der y-Achse und auf dem Graphen. \(f(-6)=3+3=6\), nicht 0. Mit \(b=6\) wird \(x=-\frac{6}{-0{,}5}=12\): Die Nullstelle wächst proportional zu \(b\).
10Wann ist es null? Drei SachsituationenAFB II
In jeder Situation beschreibt eine lineare Funktion den Verlauf. Stellen Sie jeweils den Funktionsterm auf und berechnen Sie die Nullstelle.
h
h
h
Terme: a) \(V(t)=800-25t\). b) \(h(t)=30-1{,}25t\). c) \(T(t)=-18+1{,}5t\).Der Startwert ist \(b\), die Änderung pro Stunde ist \(m\) — mit Vorzeichen.
Formel: Jeweils \(t=-\frac{b}{m}\): a) \(-\frac{800}{-25}\), b) \(-\frac{30}{-1{,}25}\), c) \(-\frac{-18}{1{,}5}\).Bei c) ist \(b\) negativ und \(m\) positiv — die Nullstelle ist trotzdem positiv.
Lösung: a) 32 h. b) 24 h. c) 12 h.Probe b): \(30-1{,}25\cdot 24=30-30=0\) ✓
11Wo liegt die Nullstelle?AFB II
Acht Terme, vier Körbe. Bestimmen Sie das Vorzeichen der Nullstelle — oder ob es überhaupt eine gibt — und sortieren Sie jede Karte ein.
Ziehe jede Karte in den passenden Korb — oder wähle sie mit Enter aus und drücke dann die Ziffer des Korbs (0 legt sie zurück).
1Nullstelle positiv
2Nullstelle negativ
3Nullstelle ist 0
4keine Nullstelle
Eine Faustregel: Haben \(m\) und \(b\) verschiedene Vorzeichen, ist \(x=-\frac{b}{m}\) positiv; haben sie dasselbe Vorzeichen, ist die Nullstelle negativ. Ohne \(b\) liegt sie bei 0, ohne \(x\) (also \(m=0\)) gibt es keine.
12Rechenkette: Zwei Geraden im VergleichAFB III
Gegeben sind \(f(x)=2x-8\) und \(g(x)=-x+7\).
Rechnen Sie die Kette durch — der letzte Schritt verlangt eine Gleichung mit \(x\) auf beiden Seiten.
Rechne die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft. Dezimalzahlen mit Komma oder Punkt, negative Zahlen mit Minuszeichen.
Nullstelle von \(f\): \(x_f=\;?\)x
Nullstelle von \(g\): \(x_g=\;?\)x
Abstand der beiden Nullstellen auf der x-Achse: \(?\)
An welcher Stelle gilt \(f(x)=g(x)\)?x
\(x_f=-\frac{-8}{2}=4\), \(x_g=-\frac{7}{-1}=7\), Abstand 3. Für den Schnittpunkt: \(2x-8=-x+7\Rightarrow 3x=15\Rightarrow x=5\). Dort haben beide den Wert 2 — der Schnittpunkt liegt also nicht auf der x-Achse, obwohl er zwischen den Nullstellen liegt.
13Der Rechenweg in der richtigen ReihenfolgeAFB II
Die Nullstelle von \(f(x)=3x+12\) soll berechnet und geprüft werden.
Ordnen Sie die sechs Zeilen so, dass ein vollständiger Lösungsweg entsteht.
Ziehe die Zeilen mit der Maus oder verschiebe sie mit den Pfeil-Buttons, bis die Reihenfolge stimmt.
1Ansatz: f(x) = 0.
2Term einsetzen: 3x + 12 = 0.
3Die 12 auf die andere Seite: 3x = −12.
4Durch 3 teilen: x = −4.
5Probe: f(−4) = 3 · (−4) + 12 = −12 + 12 = 0 ✓
6Antwort: Die Nullstelle liegt bei x = −4, der Schnittpunkt mit der x-Achse ist (−4 | 0).
Der Weg ist immer derselbe: Ansatz, Term einsetzen, \(b\) herüberbringen, durch \(m\) teilen, Probe, Antwort. Wer den Ansatz \(f(x)=0\) weglässt, verliert in Klausuren oft den Punkt für den Lösungsansatz.
14Rückwärts: Nullstelle bekannt, Parameter gesuchtAFB III
Diesmal ist die Nullstelle gegeben. Bestimmen Sie den fehlenden Parameter.
Ansatz: Die Nullstelle einsetzen: Der Funktionswert an dieser Stelle muss 0 sein. a) \(m\cdot 1{,}5+6=0\). b) \(-2{,}5\cdot(-4)+b=0\).Eine Nullstelle ist ein Punkt auf dem Graphen — also darf man sie einsetzen wie jeden anderen Punkt.
Auflösen: a) \(1{,}5m=-6\). b) \(10+b=0\).Bei b) ergibt das Produkt zweier negativer Zahlen ein positives Zwischenergebnis.
Lösung: a) \(m=-4\). b) \(b=-10\).Probe a): \(-4\cdot 1{,}5+6=0\) ✓
15Sechs Behauptungen zu NullstellenAFB II
Sechs Aussagen, die man kurz durchrechnen sollte. Entscheiden Sie, ob sie stimmen.
Sechs Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann startest du die Serie mit „Neue Runde“ neu.
Aussage 1 von 6
Die vierte Aussage enthält den Klassiker: Wer \(x=-\frac{b}{m}\) mit \(b=9\) und \(m=-3\) rechnet, muss zwei Minuszeichen verarbeiten und landet bei \(+3\). Und die erste Aussage scheitert am Sonderfall \(m=0\).
16Situation und Nullstelle verbindenAFB II
Fünf Situationen mit Startwert und gleichmäßiger Änderung. Berechnen Sie, nach wie vielen Zeiteinheiten der Wert null erreicht ist, und verbinden Sie jede Situation mit ihrer Nullstelle.
Wähle links einen Eintrag aus (Klick oder Enter) und klicke dann rechts den passenden Partner an.
In jeder Situation ist der Startwert \(b\) und die Änderung pro Zeiteinheit \(m\). Dann ist \(x=-\frac{b}{m}\): \(\frac{120}{8}=15\), \(\frac{2{,}4}{0{,}3}=8\), \(\frac{450}{45}=10\), \(\frac{6}{0{,}5}=12\) und \(\frac{100}{4}=25\). Bei negativem Startwert und positiver Änderung heben sich die Vorzeichen auf.
17Nullstelle aus Punkt und SteigungAFB III
Eine Gerade verläuft durch \(A(-3\,|\,8)\) und hat die Steigung \(m=-2\).
Berechnen Sie die Nullstelle dieser Geraden.
Bestimme zuerst den y-Achsenabschnitt, dann die Nullstelle — Enter prüft.
Mit \(A\): \(8=-2\cdot(-3)+b=6+b\Rightarrow b=2\), also \(f(x)=-2x+2\) und \(x=-\frac{2}{-2}=1\). Auch ohne \(b\) geht es: Von \(A\) aus muss der Wert 8 mit Steigung \(-2\) auf 0 sinken, das sind 4 Schritte nach rechts: \(-3+4=1\).
18Den Lösungsweg zusammenbauenAFB II
Die Nullstelle von \(f(x)=-0{,}4x+2\) soll in vier Zeilen berechnet werden.
Bauen Sie den Lösungsweg aus den richtigen Zeilen zusammen — vier Bausteine sind Fehlversuche.
Setze den Lösungsweg von links nach rechts zusammen. Ein Klick legt den Baustein auf den nächsten freien Platz, ein Klick im Bauplan legt ihn zurück. Enter funktioniert genauso.
Nach dem Herüberbringen steht \(-0{,}4x=-2\), und \(-2:(-0{,}4)=5\). Die Fehlversuche zeigen die typischen Abweichungen: vergessenes Minus (\(-0{,}4x=2\)), falsches Vorzeichen (\(x=-5\)) und der Kehrwert statt der Division (\(0{,}2\)).
19Nullstellen im Bild erkennenAFB II
Vier Geraden A bis D. Lesen Sie \(m\) und \(b\) am Bild ab, berechnen Sie die Nullstellen und klicken Sie jeweils das Schild der gesuchten Geraden an.
Klicke die gesuchte Gerade an ihrem Buchstaben-Schild an. Mit der Tastatur: Tab oder Pfeiltasten zum Wandern, Enter zum Auswählen.
Drei Geraden haben denselben y-Achsenabschnitt \(b=2\), aber ganz verschiedene Nullstellen: A mit \(m=-1\) hat \(x=2\), C mit \(m=\frac23\) hat \(x=-\frac{2}{2/3}=-3\), und B mit \(m=0\) schneidet die x-Achse nie. D geht durch den Ursprung, ihre Nullstelle ist 0.
20Gitter-Werkstatt: Von der Nullstelle zur y-AchseAFB III
Die Gerade \(g\) hat die Steigung \(m=-\frac23\) und die Nullstelle \(3\); der Punkt \(N(3\,|\,0)\) ist markiert.
Berechnen Sie den y-Achsenabschnitt \(b\) und setzen Sie den Punkt, in dem \(g\) die y-Achse schneidet.
Klicke den Schnittpunkt mit der y-Achse im Gitter an oder steuere ihn mit Tab, Pfeiltasten und Enter an. Dann „Punkt prüfen“.
Noch kein Punkt gesetzt.
\(N(3\,|\,0)\) liegt auf \(g\): \(0=-\frac23\cdot 3+b=-2+b\Rightarrow b=2\). Der Schnittpunkt mit der y-Achse ist \((0\,|\,2)\). Anschaulich: Von \(N\) drei Schritte nach links, dabei steigt eine fallende Gerade um \(3\cdot\frac23=2\).
