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Nullstellen berechnen

Eine Nullstelle ist die Stelle, an der der Graph die x-Achse schneidet. Aus dem Ansatz f(x) = 0 entsteht durch Umstellen eine kurze Formel für x.

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Was eine Nullstelle ist

An einer Nullstelle schneidet der Graph die x-Achse. Dort ist der Funktionswert null.

  • Nullstelle:Stelle \(x\) mit \(f(x)=0\).
  • Im Graphen:x-Koordinate des Schnittpunkts mit der x-Achse.
  • Nicht verwechseln:die Nullstelle ist ein x-Wert, \(b\) ein Funktionswert auf der y-Achse.
Die Nullstelle im Koordinatensystem
−3−2−11221−1−2−3xyf(x)b = 0,5Nullstelle: hier ist y = 0x = −0,75

Die Gerade schneidet die y-Achse bei \(b=0{,}5\) und die x-Achse bei \(x=-0{,}75\). Der Schnittpunkt mit der x-Achse liefert die Nullstelle, denn dort ist der Funktionswert null.

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Der Rechenweg zur Formel

Du setzt den Funktionsterm gleich null und stellst nach \(x\) um.

Vom Ansatz zur fertigen Formel
f(x) = 0Ansatz aufschreibenm · x + b = 0Term einsetzenm · x = −bb auf die andere Seitex =−bmdurch m teilen

Jede Zeile entsteht aus der vorherigen durch eine einzige Umformung. Am Ende steht \(x\) allein — die Nullstelle ist berechnet.

  • Ansatz:\(f(x)=0\).
  • Einsetzen:\(m\,x+b=0\).
  • \(-b\):\(m\,x=-b\).
  • \(:m\):\(x=-\frac{b}{m}\) — teilen darfst du nur für \(m\neq 0\).
  • \(m=0\):die Gerade ist waagerecht und schneidet die x-Achse nicht (außer bei \(b=0\)).
Merke

Nullstelle: \(x=-\dfrac{b}{m}\quad(m\neq 0)\)

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Formel anwenden und Ergebnis prüfen

Du setzt \(m\) und \(b\) aus dem Term ein. Mit der Probe kontrollierst du das Ergebnis.

Stelle \(m\) und \(b\) ein und beobachte, wohin die Nullstelle wandert.

Nullstellen-Regler

Die beiden Regler verändern die Steigung \(m\) und den y-Achsenabschnitt \(b\). Sie lassen sich anklicken und ziehen oder mit den Pfeiltasten bedienen. Der orange Punkt zeigt die berechnete Nullstelle \(x=-\frac{b}{m}\).

−4−224−4−224xyx = 0
Steigung m
0,5
y-Achsenabschnitt b
2
Nullstelle x
−4
Die Gerade schneidet die x-Achse genau einmal.

Zwei Beobachtungen lohnen sich: Je flacher die Gerade wird, desto weiter wandert die Nullstelle nach außen — und bei \(m=0\) gibt es überhaupt keinen Schnittpunkt mehr, weil in der Formel durch \(0\) geteilt werden müsste.

  • Beispiel:\(f(x)=\frac{2}{3}x+0{,}5\): \(x=-\frac{0{,}5}{2/3}=-0{,}5\cdot\frac{3}{2}=-0{,}75\).
  • Probe:\(f(-0{,}75)=-0{,}5+0{,}5=0\) — stimmt.
  • Vorzeichen:ist \(b\) negativ, heben sich die beiden Minuszeichen auf.
  • Bruch im Nenner:mit dem Kehrwert multiplizieren.
Merke

Probe: \(f(x)=0\) für die berechnete Nullstelle

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Allgemeine Hinweise

Minus nicht vergessen

Das Minus in \(x=-\frac{b}{m}\) gehört zur Formel. Ist \(b\) negativ, wird die Nullstelle positiv.

Nullstelle ist nicht b

\(b\) liegt auf der y-Achse, die Nullstelle auf der x-Achse. Lies beide an der richtigen Achse ab.

Immer die Probe

Setze dein Ergebnis in \(f\) ein. Kommt null heraus, stimmt die Nullstelle.

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