Diese Probeklausur deckt das gesamte Kapitel Grundlagen der Mathematik ab — vom Koordinatensystem über Terme, Brüche, Potenz- und Logarithmusgesetze bis zu linearen und quadratischen Funktionen und Gleichungssystemen. Bearbeiten Sie die Aufgaben vollständig auf Papier, bevor Sie einen Erwartungshorizont öffnen: Hier gibt es bewusst keine Hilfen, sondern nur die Klausurbedingungen.
Klausur-Timer
Starten Sie die Uhr, sobald Sie mit Aufgabe 1 beginnen. Nach 75 Minuten färbt sich der Ring orange, nach Ablauf der Zeit rot — die Uhr läuft dann als Überziehung weiter.
Die neue Zufahrtsstraße
12 BEAFB IIEin landwirtschaftlicher Betrieb liegt am Punkt \(P(1\,|\,6)\). Eine gerade Bundesstraße \(g\) verläuft durch die Punkte \(A(-2\,|\,1)\) und \(B(4\,|\,4)\); die \(x\)-Achse beschreibt den Verlauf eines Flusses. Eine Längeneinheit entspricht 100 m. Der Betrieb soll eine möglichst kurze, geradlinige Zufahrt zur Bundesstraße erhalten.
- Bestimmen Sie eine Gleichung der Geraden \(g\) und berechnen Sie, an welcher Stelle die Bundesstraße den Fluss quert.4 BE
- Ermitteln Sie den Punkt \(S\) auf \(g\), an dem die kürzeste Zufahrt vom Hof \(P\) die Bundesstraße erreicht, und berechnen Sie die Länge dieser Zufahrt in Metern.4 BE
- Ein Planer schlägt stattdessen eine geradlinige Zufahrt von \(P\) nach \(B\) vor. Prüfen Sie rechnerisch, ob diese Zufahrt senkrecht auf \(g\) steht, und begründen Sie ohne weitere Rechnung, dass sie länger ist als die Zufahrt aus b).2 BE
- Die Bundesstraße soll um eine Längeneinheit nach Norden parallel verschoben werden. Geben Sie die neue Geradengleichung an und berechnen Sie die neue Flussquerung.2 BE
Erwartungshorizont zu Aufgabe a) · 4 BE
Steigung: \(m=\dfrac{4-1}{4-(-2)}=\dfrac{3}{6}=0{,}5\). Einsetzen von \(A(-2\,|\,1)\) in \(y=0{,}5x+b\): \(1=0{,}5\cdot(-2)+b\Rightarrow b=2\). Also \(g\!:\;y=0{,}5x+2\).
Flussquerung = Nullstelle: \(0{,}5x+2=0\Rightarrow x=-4\). Die Straße quert den Fluss im Punkt \(N(-4\,|\,0)\), also 400 m westlich des Ursprungs.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b) · 4 BE
Die kürzeste Verbindung steht senkrecht auf \(g\). Steigung der Normalen: \(m_n=-\dfrac{1}{0{,}5}=-2\). Normale durch \(P(1\,|\,6)\): \(6=-2\cdot1+c\Rightarrow c=8\), also \(n\!:\;y=-2x+8\).
Schnitt mit \(g\): \(0{,}5x+2=-2x+8\Rightarrow 2{,}5x=6\Rightarrow x=2{,}4\), \(y=0{,}5\cdot2{,}4+2=3{,}2\). Damit \(S(2{,}4\,|\,3{,}2)\).
Länge: \(\overline{PS}=\sqrt{(2{,}4-1)^2+(3{,}2-6)^2}=\sqrt{1{,}96+7{,}84}=\sqrt{9{,}8}\approx3{,}13\) LE, also rund 313 m.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c) · 2 BE
Steigung von \(PB\): \(\dfrac{4-6}{4-1}=-\dfrac{2}{3}\). Produkt der Steigungen: \(0{,}5\cdot\left(-\dfrac{2}{3}\right)=-\dfrac{1}{3}\neq-1\) — die Zufahrt steht nicht senkrecht auf \(g\).
Das Lot ist stets die kürzeste Verbindung eines Punktes zu einer Geraden: \(\overline{PB}\) ist Hypotenuse des rechtwinkligen Dreiecks \(PSB\) und daher länger als die Kathete \(\overline{PS}\). (Zur Kontrolle: \(\overline{PB}=\sqrt{13}\approx3{,}61\) LE \(\approx361\) m.)
Erwartungshorizont zu Aufgabe d) · 2 BE
Parallelverschiebung: gleiche Steigung, \(y\)-Achsenabschnitt um 1 größer: \(g'\!:\;y=0{,}5x+3\).
Nullstelle: \(0{,}5x+3=0\Rightarrow x=-6\). Die Querung wandert nach \(N'(-6\,|\,0)\), also 200 m weiter nach Westen.
Kalkulation am Schulkiosk
12 BEAFB IIDer Schulkiosk verkauft belegte Brötchen für 1,50 € pro Stück. Pro Woche fallen 45 € Fixkosten (Miete, Strom) an, außerdem 0,80 € Materialkosten je Brötchen. Die Anzahl der in einer Woche verkauften Brötchen wird mit \(n\) bezeichnet.
- Stellen Sie einen Term für den Wochengewinn \(G(n)\) auf, vereinfachen Sie ihn und berechnen Sie, ab wie vielen verkauften Brötchen der Kiosk Gewinn macht.3 BE
- Vom Wochengewinn gehen \(\tfrac{2}{5}\) an die Klassenkasse und \(\tfrac{1}{4}\) an die Schülervertretung; der Rest wird gespart. Berechnen Sie den gesparten Anteil als Bruch und ermitteln Sie den Wochengewinn, wenn 42 € gespart wurden.4 BE
- Zeigen Sie durch Umformung, dass sich die Kosten pro Brötchen durch \(\dfrac{45}{n}+0{,}80\) beschreiben lassen, berechnen Sie die Stückkosten für \(n=150\) und erklären Sie, welchem Wert sich die Stückkosten bei sehr großen Verkaufszahlen nähern.3 BE
- Der Kiosk erwägt, den Preis um 10 % zu erhöhen, und rechnet dann mit 10 % weniger verkauften Brötchen. Ein Schüler meint: „Das gleicht sich aus, es ändert sich nichts.“ Beurteilen Sie diese Aussage getrennt für Umsatz und Gewinn.2 BE
Erwartungshorizont zu Aufgabe a) · 3 BE
Gewinn = Einnahmen − Kosten: \(G(n)=1{,}50\,n-(45+0{,}80\,n)\). Beim Auflösen der Minusklammer drehen sich beide Vorzeichen: \(G(n)=1{,}50\,n-45-0{,}80\,n=0{,}70\,n-45\).
Gewinnschwelle: \(0{,}70\,n-45=0\Rightarrow n=\dfrac{45}{0{,}7}\approx64{,}3\). Bei 64 Brötchen ist \(G=-0{,}20\) €, ab 65 Brötchen wird Gewinn erzielt.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b) · 4 BE
Abgegebener Anteil: \(\dfrac{2}{5}+\dfrac{1}{4}=\dfrac{8}{20}+\dfrac{5}{20}=\dfrac{13}{20}\). Gesparter Anteil: \(1-\dfrac{13}{20}=\dfrac{7}{20}\) (35 %).
\(\dfrac{7}{20}\cdot G=42\Rightarrow G=42:\dfrac{7}{20}=42\cdot\dfrac{20}{7}=6\cdot20=120\). Der Wochengewinn betrug 120 €.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c) · 3 BE
Gesamtkosten \(K(n)=45+0{,}80\,n\); Stückkosten \(\dfrac{K(n)}{n}=\dfrac{45+0{,}80\,n}{n}=\dfrac{45}{n}+\dfrac{0{,}80\,n}{n}=\dfrac{45}{n}+0{,}80\) (Bruch gliedweise durch \(n\) teilen).
\(n=150\): \(\dfrac{45}{150}+0{,}80=0{,}30+0{,}80=1{,}10\) €.
Für sehr große \(n\) wird \(\dfrac{45}{n}\) beliebig klein: Die Fixkosten verteilen sich auf immer mehr Brötchen, die Stückkosten nähern sich 0,80 €, unterschreiten diesen Wert aber nie.
Erwartungshorizont zu Aufgabe d) · 2 BE
Umsatz: neuer Preis \(1{,}65\) €, Absatz \(0{,}9\,n\): \(1{,}65\cdot0{,}9\,n=1{,}485\,n\) statt \(1{,}50\,n\). Wegen \(1{,}1\cdot0{,}9=0{,}99\) sinkt der Umsatz um 1 % — „gleicht sich aus“ ist also nur näherungsweise richtig.
Gewinn: \(G_{\text{neu}}(n)=1{,}65\cdot0{,}9\,n-45-0{,}80\cdot0{,}9\,n=1{,}485\,n-0{,}72\,n-45=0{,}765\,n-45\). Das ist für jedes \(n>0\) größer als \(0{,}70\,n-45\) (z. B. \(n=200\): 108 € statt 95 €), weil mit dem Absatz auch die Materialkosten sinken. Die Aussage ist für den Gewinn falsch: Der Gewinn steigt.
Wachstum einer Bakterienkultur
12 BEAFB IIIIm Biologieunterricht wird eine Bakterienkultur angelegt. Zu Beginn enthält die Probe 500 Bakterien; die Anzahl verachtfacht sich jede Woche. Für die Anzahl \(N\) nach \(t\) Wochen gilt daher \(N(t)=500\cdot8^{t}\).
- Bestimmen Sie mithilfe der Potenzgesetze den täglichen Wachstumsfaktor und geben Sie das tägliche Wachstum in Prozent an.3 BE
- Berechnen Sie mithilfe der Logarithmusgesetze, nach wie vielen Tagen die Kultur erstmals eine Million Bakterien enthält.4 BE
- Ermitteln Sie, in welchem Zeitabstand (in Tagen) sich die Anzahl der Bakterien jeweils verdoppelt.3 BE
- Eine Mitschülerin argumentiert: „Verachtfachung pro Woche heißt, dass die Kultur pro Tag um den Faktor \(\tfrac87\approx1{,}14\) wächst.“ Beurteilen Sie diese Aussage und begründen Sie mit einer Rechnung.2 BE
Erwartungshorizont zu Aufgabe a) · 3 BE
Für den Tagesfaktor \(q\) gilt \(q^{7}=8\), also \(q=8^{\frac17}=\sqrt[7]{8}\). Mit \(8=2^{3}\) und dem Potenzgesetz \((a^{m})^{n}=a^{m\cdot n}\): \(q=\left(2^{3}\right)^{\frac17}=2^{\frac37}\approx1{,}346\).
Die Kultur wächst täglich um etwa 34,6 %.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b) · 4 BE
\(500\cdot8^{t}=1\,000\,000\Rightarrow8^{t}=2000\Rightarrow t=\dfrac{\lg 2000}{\lg 8}\).
Mit den Logarithmusgesetzen: \(\lg2000=\lg2+\lg1000=\lg2+3\approx3{,}301\) und \(\lg8=\lg2^{3}=3\cdot\lg2\approx0{,}903\). Also \(t\approx\dfrac{3{,}301}{0{,}903}\approx3{,}66\) Wochen \(\approx25{,}6\) Tage.
Nach etwa 26 Tagen ist die Million erstmals überschritten.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c) · 3 BE
Mit dem Tagesfaktor aus a): \(2^{\frac{3d}{7}}=2\Rightarrow\dfrac{3d}{7}=1\Rightarrow d=\dfrac73\approx2{,}33\).
Alternativ: \(1{,}346^{d}=2\Rightarrow d=\dfrac{\lg2}{\lg1{,}346}\approx\dfrac{0{,}301}{0{,}129}\approx2{,}33\).
Die Anzahl verdoppelt sich alle \(\tfrac73\) Tage, also etwa alle 2 Tage und 8 Stunden.
Erwartungshorizont zu Aufgabe d) · 2 BE
Die Aussage ist falsch. Exponentielles Wachstum multipliziert die Tagesfaktoren, es addiert sie nicht: Der Tagesfaktor ist die 7. Wurzel aus 8, nicht der 7. Teil von 8.
Kontrolle: \(\left(\tfrac87\right)^{7}\approx2{,}55\neq8\) — mit dem Faktor \(\tfrac87\) hätte sich die Kultur nach einer Woche nur etwa verzweieinhalbfacht. Richtig ist \(8^{\frac17}\approx1{,}346\) (vgl. a), denn \(1{,}346^{7}\approx8\).
Die Fontäne im Schulgarten
12 BEAFB IIDer Wasserstrahl eines Springbrunnens lässt sich näherungsweise durch eine quadratische Funktion \(h\) beschreiben. Dabei ist \(x\) der waagerechte Abstand von der Düse und \(h(x)\) die Höhe des Wasserstrahls über dem Beckenboden (beides in Metern). Die Düse befindet sich im Punkt \(D(0\,|\,1{,}5)\). Messungen ergeben, dass der Strahl außerdem durch die Punkte \(P(1\,|\,3)\) und \(Q(3\,|\,3)\) verläuft.
- Stellen Sie ein lineares Gleichungssystem für die Koeffizienten von \(h(x)=ax^{2}+bx+c\) auf und zeigen Sie, dass \(h(x)=-0{,}5x^{2}+2x+1{,}5\) gilt.4 BE
- Bestimmen Sie die Scheitelpunktform von \(h\) und interpretieren Sie die Koordinaten des Scheitelpunkts im Sachzusammenhang.3 BE
- Berechnen Sie, in welcher Entfernung von der Düse der Wasserstrahl auf den Beckenboden trifft.3 BE
- Die Düse kann in der Höhe verstellt werden: \(h_k(x)=-0{,}5x^{2}+2x+k\) mit \(k>0\). Das Becken ist 5 m lang. Zeigen Sie, dass der Auftreffpunkt bei \(x=2+\sqrt{4+2k}\) liegt, und ermitteln, wie hoch die Düse höchstens eingestellt werden darf, damit das Wasser im Becken landet.2 BE
Erwartungshorizont zu Aufgabe a) · 4 BE
Einsetzen der drei Punkte:
\(D\): \(c=1{,}5\)
\(P\): \(a+b+c=3\Rightarrow a+b=1{,}5\)
\(Q\): \(9a+3b+c=3\Rightarrow9a+3b=1{,}5\Rightarrow3a+b=0{,}5\)
Subtraktion der beiden letzten Gleichungen: \((3a+b)-(a+b)=0{,}5-1{,}5\Rightarrow2a=-1\Rightarrow a=-0{,}5\); daraus \(b=1{,}5-a=2\).
Also \(h(x)=-0{,}5x^{2}+2x+1{,}5\).
Erwartungshorizont zu Aufgabe b) · 3 BE
\(h(x)=-0{,}5\left(x^{2}-4x\right)+1{,}5=-0{,}5\left[(x-2)^{2}-4\right]+1{,}5=-0{,}5\,(x-2)^{2}+3{,}5\).
Scheitelpunkt \(S(2\,|\,3{,}5)\): Der Strahl erreicht seine größte Höhe von 3,5 m in 2 m waagerechtem Abstand von der Düse. (Kontrolle: \(S\) liegt symmetrisch zwischen \(P\) und \(Q\).)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c) · 3 BE
\(-0{,}5x^{2}+2x+1{,}5=0\;\;|:(-0{,}5)\quad\Rightarrow\quad x^{2}-4x-3=0\).
pq-Formel: \(x_{1,2}=2\pm\sqrt{4+3}=2\pm\sqrt7\), also \(x_1\approx4{,}65\) und \(x_2\approx-0{,}65\).
Die negative Lösung liegt hinter der Düse und ist nicht sinnvoll. Der Strahl trifft etwa 4,65 m von der Düse entfernt auf.
Erwartungshorizont zu Aufgabe d) · 2 BE
\(-0{,}5x^{2}+2x+k=0\Rightarrow x^{2}-4x-2k=0\Rightarrow x_{1,2}=2\pm\sqrt{4+2k}\). Die positive Lösung ist \(x=2+\sqrt{4+2k}\) (für \(k=1{,}5\) ergibt sich \(2+\sqrt7\) wie in c).
Bedingung: \(2+\sqrt{4+2k}\le5\Rightarrow\sqrt{4+2k}\le3\Rightarrow4+2k\le9\Rightarrow k\le2{,}5\).
Die Düse darf höchstens 2,5 m hoch eingestellt werden.
Produktionsplanung einer Schreinerei
12 BEAFB IIIEine Schreinerei fertigt Tische, Stühle und Regale. Für eine Woche stehen 62 m² Holz, 79 Arbeitsstunden und 188 Beschläge zur Verfügung. Alle Vorräte sollen vollständig verbraucht werden. Der Bedarf pro Möbelstück ist in Material M1 angegeben.
| Tisch | Stuhl | Regal | Vorrat | |
|---|---|---|---|---|
| Holz in m² | 4 | 1 | 3 | 62 |
| Arbeitszeit in h | 5 | 2 | 3 | 79 |
| Beschläge in Stück | 8 | 4 | 10 | 188 |
- Stellen Sie ein lineares Gleichungssystem für die Anzahl \(x\) der Tische, \(y\) der Stühle und \(z\) der Regale auf.3 BE
- Lösen Sie das Gleichungssystem mit dem Gauß-Verfahren und geben Sie den Produktionsplan an.4 BE
- Der Lieferant kann statt 188 nur 180 Beschläge liefern. Untersuchen Sie, ob sich dann ebenfalls alle drei Vorräte mit ganzen Stückzahlen restlos verbrauchen lassen.3 BE
- In der Folgewoche werden nur Tische und Regale gefertigt. Es stehen 60 m² Holz und \(s\) Schrauben zur Verfügung; ein Tisch benötigt 12 Schrauben, ein Regal 9. Untersuchen Sie in Abhängigkeit von \(s\), wie viele Lösungen das zugehörige Gleichungssystem hat, und geben Sie für \(s=180\) zwei mögliche Produktionspläne an.2 BE
Erwartungshorizont zu Aufgabe a) · 3 BE
\(\begin{aligned}\text{I}\quad&4x+y+3z=62\\\text{II}\quad&5x+2y+3z=79\\\text{III}\quad&8x+4y+10z=188\end{aligned}\)
(Zeilen: Holz, Arbeitszeit, Beschläge; Variablen: Anzahl der Tische, Stühle, Regale.)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b) · 4 BE
\(\text{II}-\text{I}\): \(x+y=17\) (II′). \(\text{III}-2\cdot\text{I}\): \(2y+4z=64\Rightarrow y+2z=32\) (III′).
Aus II′: \(x=17-y\). Einsetzen in I: \(4(17-y)+y+3z=62\Rightarrow-3y+3z=-6\Rightarrow z=y-2\).
Einsetzen in III′: \(y+2(y-2)=32\Rightarrow3y=36\Rightarrow y=12\), damit \(z=10\) und \(x=5\).
Probe in III: \(8\cdot5+4\cdot12+10\cdot10=40+48+100=188\) ✓. Produktionsplan: 5 Tische, 12 Stühle, 10 Regale.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c) · 3 BE
Nur Gleichung III ändert sich: \(8x+4y+10z=180\), also \(\text{III}-2\cdot\text{I}\): \(2y+4z=56\Rightarrow y+2z=28\). Der Zusammenhang \(z=y-2\) aus I und II bleibt bestehen.
\(y+2(y-2)=28\Rightarrow3y=32\Rightarrow y=\dfrac{32}{3}\approx10{,}67\) — keine ganze Zahl (ebenso \(x=\tfrac{19}{3}\), \(z=\tfrac{26}{3}\)).
Das Gleichungssystem ist zwar eindeutig lösbar, die Lösung ist aber nicht ganzzahlig: Mit 180 Beschlägen lassen sich die Vorräte nicht restlos verbrauchen.
Erwartungshorizont zu Aufgabe d) · 2 BE
Gleichungssystem: \(4x+3z=60\) und \(12x+9z=s\). Die zweite Gleichung ist das Dreifache der linken Seite der ersten: \(3\cdot(4x+3z)=180\).
Für \(s=180\) sind beide Gleichungen äquivalent — unendlich viele Lösungen (identische Geraden). Für \(s\neq180\) entsteht ein Widerspruch (\(180=s\)) — keine Lösung (parallele Geraden). Genau eine Lösung ist nie möglich.
Pläne für \(s=180\), z. B. \((x\,|\,z)=(6\,|\,12)\) oder \((9\,|\,8)\); insgesamt gibt es die sechs ganzzahligen Pläne \((0|20),(3|16),(6|12),(9|8),(12|4),(15|0)\).
Selbsteinschätzung
Vergleichen Sie Ihre Lösungen mit dem Erwartungshorizont und tragen Sie die erreichten Bewertungseinheiten ein. Vergeben Sie Teilpunkte nur für nachvollziehbare, vollständig notierte Rechenwege — so, wie es in der Klausur auch geschieht.
| Aufgabe | a) | b) | c) | d) | Summe |
|---|---|---|---|---|---|
| Aufgabe 1 | von 4 | von 4 | von 2 | von 2 | 0 / 12 |
| Aufgabe 2 | von 3 | von 4 | von 3 | von 2 | 0 / 12 |
| Aufgabe 3 | von 3 | von 4 | von 3 | von 2 | 0 / 12 |
| Aufgabe 4 | von 4 | von 3 | von 3 | von 2 | 0 / 12 |
| Aufgabe 5 | von 3 | von 4 | von 3 | von 2 | 0 / 12 |
| Gesamt | 0 / 60 | ||||
Orientierung nach dem niedersächsischen Punkteschlüssel (15 Notenpunkte ab 95 %, 05 Punkte ab 45 %, 01 Punkt ab 20 %). Liegen Sie unter 27 BE, lohnt sich der Rückweg über die Typischen Fehler und die AFB-II-Übungen; ab 42 BE sind Sie klausurfit.