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Übung — AFB IIGrundlagen der Mathematik

Zehn Aufgaben zum Verknüpfen: Terme umformen, LGS lösen, Nullstellen und Scheitelpunkte bestimmen.

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Übung — AFB II

Zehn Aufgaben, bei denen zwei oder drei Regeln des Kapitels zusammenspielen: ausmultiplizieren und zusammenfassen, Gleichungssysteme lösen, Nullstellen bestimmen, Logarithmen und Wurzeln umformen. Wieder im Wechsel eine interaktive Aufgabe und eine Aufgabe zum Selbstrechnen.

A1Ausmultiplizieren Schritt für SchrittAFB II

Gegeben ist \(T(x)=(2x-3)^2-(x+1)(x-1)\).

Bestimmen Sie nacheinander die Koeffizienten des vollständig zusammengefassten Terms.

Rechne die Kette Schritt für Schritt. Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft.
  1. Multiplizieren Sie \((2x-3)^2\) aus. Welche Zahl steht vor \(x^2\)?
  2. Welche Zahl steht in \((2x-3)^2\) vor \(x\)?
  3. \((x+1)(x-1)\) ergibt \(x^2-a\). Wie groß ist \(a\)?
  4. Fassen Sie zusammen. Welche Zahl steht in \(T(x)\) vor \(x^2\)?
  5. Welches absolute Glied bleibt am Ende übrig?
Die dritte binomische Formel \((x+1)(x-1)=x^2-1\) spart hier das Ausmultiplizieren. Entscheidend ist das Minuszeichen vor der Klammer: \(-(x^2-1)=-x^2+1\). Insgesamt ist \(T(x)=4x^2-12x+9-x^2+1=3x^2-12x+10\).
A2Zwei Logarithmen zusammenrechnenAFB II

Berechnen Sie \(\log_2(32)+\log_3\!\left(\tfrac19\right)\).

Der Logarithmus fragt nach dem Exponenten: \(\log_2(32)\) bedeutet \(2^{?}=32\).
\(\tfrac19=3^{-2}\). Ein Kehrwert führt auf einen negativen Exponenten.
Lösung anzeigen
\(\log_2(32)=5\) wegen \(2^5=32\), und \(\log_3\!\left(\tfrac19\right)=-2\) wegen \(3^{-2}=\tfrac19\). Zusammen: \(5+(-2)\) = 3
A3Funktion und Nullstellen verbindenAFB II

Fünf Funktionen, fünf Nullstellenmengen. Bestimmen Sie jeweils die Nullstellen und verbinden Sie die Paare.

Klicke links einen Eintrag an und dann rechts den Partner — es entsteht eine Verbindungslinie. Mit der Tastatur: Enter zum Auswählen, ↑/↓ zum Wandern.
Bei \(x^2+4x=x(x+4)\) hilft das Ausklammern: Ein Produkt ist null, wenn ein Faktor null ist — also \(x=0\) oder \(x=-4\). Bei \(x^2+1\) wäre \(x^2=-1\) nötig; das ist in \(\mathbb{R}\) unmöglich.
A4Lineares Gleichungssystem lösenAFB II

Gegeben ist das System \(4x+y=14\) und \(x-y=1\).

Bestimmen Sie die Lösung ohne GTR.

In der zweiten Gleichung steht \(-y\), in der ersten \(+y\). Beim Addieren der Gleichungen fällt \(y\) weg.
\(4x+y+x-y=14+1\) ergibt \(5x=15\). Danach den Wert in eine der beiden Gleichungen einsetzen.
Lösung anzeigen
Additionsverfahren: \(5x=15\Rightarrow x=3\). Einsetzen in \(x-y=1\): \(3-y=1\Rightarrow y=2\). Probe in der ersten Gleichung: \(4\cdot 3+2=14\) ✓ L(3 | 2)
A5Sieben Zeilen, drei FehlerAFB II

Auf einem Merkzettel stehen sieben Rechnungen und Regeln. Markieren Sie genau die falschen Zeilen.

In dieser Liste stecken Fehler. Klicke genau die falschen Zeilen an — die richtigen musst du stehen lassen.
Alle drei Fehler folgen demselben Muster: Eine Rechenoperation wird über eine Summe hinweg „verteilt“, obwohl sie das nicht darf. Quadrieren, Wurzelziehen und Logarithmieren sind mit der Multiplikation verträglich, nicht mit der Addition.
A6Nullstellen einer quadratischen FunktionAFB II

Gegeben ist \(f(x)=x^2-4x-12\).

Berechnen Sie beide Nullstellen.

Der Ansatz lautet \(x^2-4x-12=0\). Die Funktion liegt in der Normalform, also passt die \(p\)-\(q\)-Formel mit \(p=-4\) und \(q=-12\).
\(x_{1,2}=2\pm\sqrt{4+12}=2\pm\sqrt{16}\). Die Wurzel ist eine glatte Zahl.
Lösung anzeigen
\(x_{1,2}=-\dfrac{-4}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{-4}{2}\right)^2+12}=2\pm 4\) ⇒ x₁ = −2 und x₂ = 6. Probe: \((-2)^2-4\cdot(-2)-12=0\) ✓
A7Was stimmt für diese Parabel?AFB II

Gegeben ist \(f(x)=2(x-3)^2-8\).

Wählen Sie alle zutreffenden Aussagen aus.

Mehrere Antworten sind richtig. Markiere alle zutreffenden und klicke dann auf „Auswahl prüfen“.
In der Scheitelform \(f(x)=a(x-d)^2+e\) ist \(S(d\,|\,e)\) — das Minuszeichen in der Klammer dreht das Vorzeichen von \(d\) um. Der y-Achsenabschnitt ist nicht \(e\), sondern \(f(0)=2\cdot 9-8=10\). Nullstellen: \(2(x-3)^2=8\Rightarrow (x-3)^2=4\Rightarrow x-3=\pm2\).
A8Von der Tangente zur NormalenAFB II

In einem Punkt \(P\) hat der Graph einer Funktion die Steigung \(m_f=-\tfrac23\).

Berechnen Sie die Steigung der Normalen in \(P\).

Für zwei zueinander senkrechte Geraden gilt \(m_f\cdot m_N=-1\).
Also \(m_N=-\dfrac{1}{m_f}=-\dfrac{1}{-2/3}\). Durch einen Bruch wird mit seinem Kehrwert multipliziert.
Lösung anzeigen
\(m_N=-\dfrac{1}{-\tfrac23}=-\left(-\dfrac32\right)\) = 1,5. Aus einer flach fallenden Geraden wird also eine steil steigende — Vorzeichen und Kehrwert ändern sich beide.
A9Term vereinfachenAFB II

Gegeben ist \((3x+2)(x-4)-3x^2\).

Vereinfachen Sie den Term so weit wie möglich.

Gib den vereinfachten Term ein. Schreibweise: 3x^2 - 5x + 1, Malzeichen * oder weglassen, Brüche mit /, Potenzen mit ^. Enter prüft.
Ausmultiplizieren ergibt \(3x^2-12x+2x-8\). Zusammen mit \(-3x^2\) fällt das quadratische Glied vollständig weg, übrig bleibt \(-10x-8\). Der Term sieht quadratisch aus, beschreibt aber eine Gerade.
A10Wurzeln und negative ExponentenAFB II

Berechnen Sie den Wert von \(\dfrac{\sqrt{8}\cdot\sqrt{2}}{2^{-1}}\).

Zwei Wurzeln mit demselben Wurzelexponenten dürfen unter eine gemeinsame Wurzel: \(\sqrt{8}\cdot\sqrt2=\sqrt{16}\).
\(2^{-1}=\tfrac12\). Durch \(\tfrac12\) teilen bedeutet mit 2 multiplizieren.
Lösung anzeigen
\(\dfrac{\sqrt{8}\cdot\sqrt{2}}{2^{-1}}=\dfrac{\sqrt{16}}{\tfrac12}=\dfrac{4}{\tfrac12}=4\cdot 2\) = 8
Nächster SchrittÜbung — AFB IIIZehn Aufgaben zum Verallgemeinern, Begründen und Reflektieren.