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Übung — AFB IIIGrundlagen der Mathematik

Zehn Aufgaben zum Verallgemeinern und Begründen: Parameter, Scheitelform, Normale und Modellierung.

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Übung — AFB III

Zehn Aufgaben zum Verallgemeinern und Begründen: Parameter bestimmen, Aussagen auf ihren Gültigkeitsbereich prüfen, Formeln herleiten und Sachsituationen modellieren. Die Rechenwege sind länger, die Zwischenschritte stehen nicht mehr im Aufgabentext — dafür gibt es zu jeder Rechenaufgabe drei gestufte Hilfen.

A1Den Funktionsterm zusammensetzenAFB III

Eine Parabel hat den Scheitelpunkt \(S(-2\,|\,5)\) und den Streckfaktor \(a=-3\).

Setzen Sie den zugehörigen Funktionsterm in Scheitelform aus den Bausteinen zusammen.

Setze den Term von links nach rechts zusammen. Ein Klick legt den Baustein auf den nächsten freien Platz, ein Klick im Bauplan legt ihn zurück. Enter funktioniert genauso.
Die Scheitelform lautet \(f(x)=a(x-d)^2+e\) mit \(S(d\,|\,e)\). Für \(d=-2\) steht in der Klammer \(x-(-2)=x+2\) — das Vorzeichen dreht sich also um, während \(e=5\) unverändert als \(+5\) angehängt wird. Genau diese Asymmetrie ist die häufigste Fehlerquelle.
A2Parameter mit genau einer NullstelleAFB III

Gegeben ist \(f(x)=x^2+ax+9\) mit \(a>0\).

Bestimmen Sie den Wert von \(a\), für den \(f\) genau eine Nullstelle besitzt.

Genau eine Nullstelle bedeutet: Der Ausdruck unter der Wurzel wird null.
Mit der \(p\)-\(q\)-Formel ist \(x_{1,2}=-\dfrac{a}{2}\pm\sqrt{\dfrac{a^2}{4}-9}\). Setzen Sie den Radikanden gleich null.
Aus \(\dfrac{a^2}{4}=9\) folgt \(a^2=36\), also \(a=6\) oder \(a=-6\). Verlangt ist der positive Wert.
Lösung anzeigen
\(\dfrac{a^2}{4}-9=0\Rightarrow a^2=36\Rightarrow a=\pm 6\); wegen \(a>0\) ist a = 6. Der Term lautet dann \(x^2+6x+9=(x+3)^2\) — ein vollständiges Quadrat, dessen Scheitel genau auf der x-Achse liegt.
A3Wie viele Lösungen hat dieses System?AFB III

Gegeben ist das System \(2x+3y=6\) und \(4x+6y=12\).

Beantworten Sie die Fragen des Entscheidungsbaums für genau dieses System.

Beantworte die Fragen nacheinander mit „Ja“ oder „Nein“. Am Ende steht das Ergebnis — stimmt es für den gegebenen Fall?

    Die zweite Gleichung entsteht aus der ersten durch Verdopplung — und zwar vollständig, also auch auf der rechten Seite (\(2\cdot 6=12\)). Damit steht dieselbe Gerade zweimal da. Beim Einsetzungsverfahren erkennt man das an der wahren Aussage \(0=0\); bliebe rechts eine andere Zahl, käme \(0=k\) mit \(k\neq 0\) heraus — und das System wäre unlösbar.
    A4Parameter ohne LösungAFB III

    Gegeben ist das System \(2x+3y=6\) und \(4x+ky=13\).

    Bestimmen Sie den Wert von \(k\), für den das System keine Lösung hat.

    Keine Lösung bedeutet: Die beiden Geraden sind parallel, aber nicht identisch — sie haben dieselbe Steigung.
    Vergleichen Sie die Koeffizienten: Aus \(2\) wird \(4\), also ist der Faktor 2. Dann muss auch \(k\) das Doppelte von 3 sein.
    Prüfen Sie zum Schluss die rechte Seite: \(2\cdot 6=12\neq 13\) — genau deshalb bleibt das System unlösbar.
    Lösung anzeigen
    Für k = 6 lautet die zweite Gleichung \(4x+6y=13\). Das Doppelte der ersten Gleichung wäre \(4x+6y=12\); rechts steht aber 13. Beim Additionsverfahren entsteht die falsche Aussage \(0=1\), also \(\mathbb{L}=\{\;\}\). Für jedes andere \(k\) schneiden sich die Geraden und es gibt genau eine Lösung.
    A5Der rote Faden zwischen Potenz und LogarithmusAFB III

    Ein Text fasst die Zusammenhänge des Kapitels zusammen. Füllen Sie alle Lücken mit den passenden Begriffen.

    Wort anklicken, dann Lücke anklicken (oder umgekehrt). Ein Klick auf eine gefüllte Lücke legt das Wort zurück.

    Potenzieren und Logarithmieren sind Rechenarten: Aus \(a^x=b\) folgt \(x=\log_a(b)\). Werden zwei Potenzen mit derselben multipliziert, so werden ihre Exponenten ; wird eine Potenz erneut potenziert, so werden die Exponenten . Passend dazu ist der Logarithmus eines Produkts die der einzelnen Logarithmen. Und jede Wurzel lässt sich als Potenz schreiben, deren Exponent ein ist.

    Jede Zeile dieses Textes ist dieselbe Aussage in einer anderen Sprache: Was auf der Potenzseite eine Multiplikation ist, wird auf der Logarithmusseite zu einer Addition. Wer sich diesen Übersetzungsgedanken merkt, muss die Logarithmusgesetze nicht getrennt auswendig lernen — sie folgen aus den Potenzgesetzen.
    A6Normale durch einen gegebenen PunktAFB III

    Gegeben ist die Gerade \(g(x)=2x-1\) und der Punkt \(P(4\,|\,7)\).

    Bestimmen Sie den y-Achsenabschnitt der Geraden, die durch \(P\) verläuft und senkrecht auf \(g\) steht.

    Senkrecht bedeutet \(m_g\cdot m_N=-1\). Aus \(m_g=2\) folgt \(m_N=-\tfrac12\).
    Die gesuchte Gerade hat die Form \(y=-\tfrac12 x+b\). Setzen Sie die Koordinaten von \(P\) ein.
    \(7=-\tfrac12\cdot 4+b\), also \(7=-2+b\).
    Lösung anzeigen
    \(m_N=-\dfrac{1}{2}\) und \(7=-\dfrac12\cdot 4+b=-2+b\) ⇒ b = 9. Die Normale lautet \(y=-0{,}5x+9\). Zur Kontrolle: \(2\cdot(-0{,}5)=-1\) ✓
    A7Immer, manchmal oder nie?AFB III

    Neun Aussagen über reelle Zahlen und Funktionen. Ordnen Sie jede Aussage danach ein, ob sie für alle zulässigen Werte gilt, nur für bestimmte Werte oder nie.

    Ordne jede Karte einem der drei Bereiche zu. Mit der Tastatur: Enter zum Auswählen, dann 1–3 für den Bereich, 0 zurück.
    1 immer wahr
    2 nur manchmal wahr
    3 nie wahr
    „Manchmal wahr“ ist die interessanteste Kategorie: \(\sqrt{x^2}=x\) stimmt nur für \(x\ge 0\), \((a+b)^2=a^2+b^2\) nur, wenn \(a\cdot b=0\) ist, und eine Gerade hat keine Nullstelle, wenn sie waagerecht über der x-Achse verläuft. Ein LGS hat entweder keine, genau eine oder unendlich viele Lösungen — genau zwei ist ausgeschlossen.
    A8Eine Formel nachweisen und anwendenAFB III

    Behauptung: Für alle reellen Zahlen \(a\) und \(b\) gilt \((a+b)^2-(a-b)^2=4ab\).

    Begründen Sie die Behauptung mit den binomischen Formeln und berechnen Sie damit \((7+2{,}5)^2-(7-2{,}5)^2\).

    Erste binomische Formel: \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\). Zweite: \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\).
    Beim Subtrahieren heben sich \(a^2\) und \(b^2\) gegenseitig auf. Übrig bleiben zwei gemischte Glieder.
    Mit \(a=7\) und \(b=2{,}5\) ist \(4ab=4\cdot 7\cdot 2{,}5\).
    Lösung anzeigen
    \((a+b)^2-(a-b)^2=(a^2+2ab+b^2)-(a^2-2ab+b^2)=4ab\). Eingesetzt: \(4\cdot 7\cdot 2{,}5\) = 70. Die direkte Rechnung bestätigt das: \(9{,}5^2-4{,}5^2=90{,}25-20{,}25=70\) — mit der Formel geht es ohne Taschenrechner.
    A9Von der Normalform in die ScheitelformAFB III

    Gegeben ist \(f(x)=2x^2-12x+13\).

    Bestimmen Sie die drei Kennzahlen der Scheitelform \(f(x)=a(x-d)^2+e\).

    Trage alle Werte ein. Enter prüft alle Felder auf einmal.
    Zuerst wird \(a=2\) ausgeklammert: \(2\left(x^2-6x\right)+13\). Quadratische Ergänzung in der Klammer: \(x^2-6x=(x-3)^2-9\). Also \(f(x)=2\left((x-3)^2-9\right)+13=2(x-3)^2-18+13=2(x-3)^2-5\). Die \(-9\) wird beim Ausmultiplizieren mit 2 zu \(-18\) — wer den Faktor hier vergisst, landet bei \(e=4\).
    A10Zwei Tarife vergleichenAFB III

    Ein Anbieter hat zwei Tarife. Tarif A kostet 12,00 € Grundgebühr und 0,80 € je Einheit, Tarif B kostet 4,00 € Grundgebühr und 1,20 € je Einheit.

    Bestimmen Sie, bei wie vielen Einheiten beide Tarife gleich teuer sind, und berechnen Sie die zugehörigen Kosten.

    Stellen Sie für jeden Tarif eine lineare Funktion auf: die Grundgebühr ist der y-Achsenabschnitt, der Preis je Einheit die Steigung.
    \(K_A(x)=0{,}8x+12\) und \(K_B(x)=1{,}2x+4\). Gleich teuer heißt \(K_A(x)=K_B(x)\).
    Aus \(0{,}8x+12=1{,}2x+4\) folgt \(8=0{,}4x\).
    Lösung anzeigen
    \(0{,}8x+12=1{,}2x+4 \Rightarrow 8=0{,}4x \Rightarrow\) x = 20 Einheiten, Kosten \(K_A(20)=0{,}8\cdot 20+12=\) 28,00 €. Unter 20 Einheiten ist Tarif B günstiger (kleinere Grundgebühr), darüber Tarif A (kleinerer Preis je Einheit).
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