Typische FehlerGrundlagen der Mathematik

Ein Minuszeichen wirkt nur dann auf die Basis, wenn es mit in der Klammer steht. Ohne Klammer wird zuerst potenziert und erst danach das Vorzeichen gesetzt — die Potenz hat die höhere Rangstufe.

Der Unterschied ist kein Detail: Bei geraden Exponenten unterscheiden sich beide Ergebnisse im Vorzeichen, bei ungeraden nicht. Deshalb fällt der Fehler bei \(-2^3\) gar nicht auf und schlägt bei \(-2^2\) sofort durch.

Kürzen bedeutet: Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl teilen. Das geht nur, wenn diese Zahl in beiden ein Faktor ist — also durch ein Malzeichen verbunden.

Steht sie als Summand da, darf nichts gestrichen werden. Ein schneller Gegentest mit Zahlen entlarvt den Fehler sofort: Für \(x=4\) und \(y=8\) ist \(\tfrac{2+4}{2+8}=\tfrac{6}{10}=0{,}6\), aber \(\tfrac48=0{,}5\).

Beim Quadrieren einer Summe entsteht immer ein gemischtes Glied. Wer die Klammer „gliedweise“ quadriert, lässt \(2ab\) einfach weg.

Auch hier hilft die Zahlprobe: \((3+4)^2=49\), aber \(3^2+4^2=25\). Die Differenz von 24 ist genau \(2\cdot3\cdot4\).

Ein Minuszeichen vor einer Klammer bedeutet Multiplikation mit \(-1\). Diese Multiplikation trifft jedes Glied in der Klammer, nicht nur das erste.

Der Fehler tritt besonders häufig auf, wenn hinten schon ein Minus steht: Aus \(-(2x-5)\) wird dann fälschlich \(-2x-5\), weil das zweite Vorzeichen unverändert übernommen wird.

Multiplizieren geht zählerweise und nennerweise — Addieren nicht. Vor dem Addieren müssen die Brüche auf denselben Nenner gebracht werden; danach werden ausschließlich die Zähler addiert.

Ein Blick auf die Größenordnung entlarvt den Fehler: \(\tfrac12+\tfrac12\) muss 1 ergeben, die falsche Rechnung liefert aber \(\tfrac24=\tfrac12\).

Wurzelziehen und Logarithmieren sind mit der Multiplikation verträglich, nicht mit der Addition. \(\sqrt{a\cdot b}=\sqrt a\cdot\sqrt b\) ist richtig, \(\sqrt{a+b}=\sqrt a+\sqrt b\) ist falsch.

Dasselbe gilt für den Logarithmus: \(\log(u\cdot v)=\log u+\log v\) ist ein Gesetz, \(\log(u+v)\) lässt sich dagegen überhaupt nicht zerlegen.

\(a^0\) ist für jedes \(a\neq0\) gleich 1, nicht 0. Das folgt direkt aus dem Potenzgesetz: \(\tfrac{a^n}{a^n}=a^{n-n}=a^0\), und ein Bruch mit gleichem Zähler und Nenner ist 1.

Ein negativer Exponent bedeutet ebenfalls keinen negativen Wert, sondern den Kehrwert: \(2^{-3}=\tfrac{1}{2^3}=\tfrac18\) — eine positive Zahl.

Die \(p\)-\(q\)-Formel gilt nur für die Normalform \(x^2+px+q=0\) — also mit dem Faktor 1 vor \(x^2\). Steht dort eine andere Zahl, muss zuerst die ganze Gleichung durch diese Zahl geteilt werden.

Alternativ nimmt man die Mitternachtsformel \(x_{1,2}=\tfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\), die den Faktor \(a\) bereits enthält. Beide Wege führen zum selben Ergebnis; falsch ist nur die Mischung aus beiden.

In \(f(x)=a(x-d)^2+e\) liegt der Scheitel bei \(S(d\,|\,e)\). Weil in der Klammer ein Minus steht, dreht sich das Vorzeichen beim Ablesen um: \((x+2)^2\) gehört zu \(d=-2\).

Der zweite Teil des Fehlers betrifft den \(y\)-Achsenabschnitt. Der ist nicht \(e\), sondern \(f(0)\) — und der muss durch Einsetzen berechnet werden.

Damit zwei Geraden senkrecht aufeinander stehen, muss \(m_f\cdot m_N=-1\) gelten. Daraus folgt \(m_N=-\tfrac{1}{m_f}\): Es ändern sich beide Dinge — das Vorzeichen und der Kehrwert.

Die Probe kostet fünf Sekunden: Multiplizieren Sie beide Steigungen; kommt nicht genau \(-1\) heraus, stehen die Geraden nicht senkrecht zueinander.

Beim Lösen eines linearen Gleichungssystems verschwinden manchmal beide Variablen. Was dann übrig bleibt, ist die Antwort: Eine falsche Aussage wie \(0=1\) bedeutet, dass es keine Lösung gibt; eine wahre Aussage wie \(0=0\) bedeutet unendlich viele.

Geometrisch sind das parallele bzw. identische Geraden. Wer stattdessen \(x=0\) notiert, verwechselt das Ergebnis einer Umformung mit einer Lösung.