Grundbegriffe: Übungen – Mathe Klasse 11

1Wo gehört die Zahl hin?AFB I

Jede Zahl gehört in genau einen Korb. Sortieren Sie nach der kleinsten Zahlenmenge, in der die Zahl liegt.

Ziehe jede Karte in den passenden Korb — oder wähle sie mit Enter aus und drücke dann die Ziffer des Korbs (0 legt sie zurück).

1natürliche Zahl (ℕ)

2nur in ℕ₀, nicht in ℕ

3ganze Zahl, aber nicht in ℕ₀

4reelle Zahl, aber nicht in ℤ

Die 1 gehört zu ℕ, die 0 erst zu ℕ₀. Negative ganze Zahlen liegen in ℤ, aber nicht in ℕ₀. Alles mit Nachkommastellen oder Wurzeln wie √3 und π ist reell, aber nicht ganz — auch −2,25.

2In welche Zahlenmenge gehört sie?AFB I

Jede Zahl gehört in genau einen Korb. Sortieren Sie nach der kleinsten Zahlenmenge, in der die Zahl liegt.

Ziehe jede Karte in den passenden Korb — oder wähle sie mit Enter aus und drücke dann die Ziffer des Korbs (0 legt sie zurück).

1natürliche Zahl (ℕ)

2nur in ℕ₀, nicht in ℕ

3ganze Zahl, aber nicht in ℕ₀

4reelle Zahl, aber nicht in ℤ

7, 36 und 1000 sind natürliche Zahlen, die 0 kommt erst in ℕ₀ dazu. −5 und −48 sind ganz, aber nicht in ℕ₀. Nachkommastellen und Wurzeln wie 1,5, √2 oder −π sind reell, aber nicht ganz.

3Intervall einstellenAFB I

Gesucht ist die Menge aller reellen Zahlen von \(-2\) bis \(4\), wobei beide Grenzen dazugehören. Stellen Sie das Intervall auf der Zahlengeraden ein.

Ziehe die beiden Griffe auf die Grenzen. Ein Klick auf einen Griff (oder Enter) dreht seine Klammer um. Ganz links bzw. rechts steht der Griff für −∞ bzw. ∞. Pfeiltasten verschieben den ausgewählten Griff.

a: b:

Beide Grenzen gehören dazu, also zeigen beide eckigen Klammern nach innen: [−2 ; 4]. In ℝ liegen dazwischen unendlich viele Zahlen, auf der Zahlengeraden ein durchgehender Balken.

4Kleinste passende ZahlenmengeAFB I

Jede Zahl gehört in genau einen Korb. Sortieren Sie nach der kleinsten Zahlenmenge, in der die Zahl liegt.

Ziehe jede Karte in den passenden Korb — oder wähle sie mit Enter aus und drücke dann die Ziffer des Korbs (0 legt sie zurück).

1natürliche Zahl (ℕ)

2nur in ℕ₀, nicht in ℕ

3ganze Zahl, aber nicht in ℕ₀

4reelle Zahl, aber nicht in ℤ

3, 81 und 500 liegen in ℕ, die 0 erst in ℕ₀. −2 und −17 sind ganze Zahlen außerhalb von ℕ₀. Brüche wie ⅔, Wurzeln wie √5 und Dezimalzahlen wie −3,5 oder 2,7 sind reell, aber nicht ganz.

5Zusätze am MengenbuchstabenAFB I

Entscheiden Sie, ob die Aussage über die Zahlenmengen zutrifft.

6 Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann startest du die Serie mit „Neue Runde“ neu.

Aussage 1 von 6

Hochgestellt regelt das Vorzeichen, tiefgestellt die Null. ℝ⁺ ist ohne Null, ℝ₀⁺ mit Null; ℤ₀⁺ und ℕ₀ sind dieselbe Menge.

6Intervall mit offener GrenzeAFB I

Gesucht ist die Menge aller reellen Zahlen zwischen \(1\) und \(5\), wobei die \(1\) nicht dazugehört, die \(5\) aber schon. Stellen Sie das Intervall auf der Zahlengeraden ein.

Ziehe die beiden Griffe auf die Grenzen. Ein Klick auf einen Griff (oder Enter) dreht seine Klammer um. Ganz links bzw. rechts steht der Griff für −∞ bzw. ∞. Pfeiltasten verschieben den ausgewählten Griff.

a: b:

Die linke Grenze ist offen, die rechte geschlossen: ⟨1 ; 5]. Die 1 selbst gehört nicht dazu, 1,0001 aber schon — eine kleinste Zahl im Intervall gibt es nicht.

7Wie viele Zahlen sind es?AFB II

Dieselben Grenzen, andere Grundmengen und Klammern. Zählen Sie, wie viele Zahlen jeweils zum Intervall gehören.

Fülle alle Felder aus und prüfe dann. Enter in einem Feld prüft ebenfalls. Negative Zahlen mit Minuszeichen, Dezimalzahlen mit Komma oder Punkt.

Intervall	Grundmenge	Anzahl
[2 ; 9]	ℕ
]2 ; 9[	ℕ
[−3 ; 3]	ℤ
]−3 ; 3]	ℤ
[0 ; 4[	ℕ₀
[5 ; 5]	ℕ

Abgeschlossen von 2 bis 9 sind es 9 − 2 + 1 = 8 Zahlen, offen fehlen die beiden Ränder: 6. Bei [−3 ; 3] in ℤ zählt die Null mit: −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3 sind sieben Zahlen. [5 ; 5] enthält genau die 5.

8Mengen und ihre SchreibweiseAFB II

Verbinden Sie jede Beschreibung mit der passenden Intervallschreibweise.

Wähle links einen Eintrag aus (Klick oder Enter) und klicke dann rechts den passenden Partner an.

„größer als“ heißt offen, „ab“ und „höchstens“ heißen abgeschlossen. Neben ∞ steht immer die offene Klammer, denn ∞ ist keine Zahl, die erreicht wird.

9Die Vokabeln sitzenAFB I

Fünf Fachbegriffe fehlen im Text. Setzen Sie die passenden Wörter aus der Wortbank ein. Zwei Wörter bleiben übrig.

Wort anklicken, dann Lücke anklicken (oder umgekehrt) — mit Tab und Enter geht es genauso. Ein Klick auf eine gefüllte Lücke legt das Wort zurück.

Alle Zahlen, die man für \(x\) einsetzen darf, bilden den . Alle Werte, die dabei für \(y\) herauskommen, bilden den . Die Zahlenmenge, aus der die \(x\)-Werte überhaupt stammen dürfen, heißt . Gehören beide Grenzen mit zum Intervall, nennt man es . Neben dem Zeichen \(\infty\) bleibt die Klammer dagegen immer .

Zwei Wörter bleiben übrig — sie gehören zu anderen Themen. Die fünf eingesetzten Begriffe sind genau die Vokabeln, mit denen ab jetzt jeder Definitions- und Wertebereich beschrieben wird.

10Ungleichung als IntervallAFB II

Gesucht ist die Menge aller \(x\) mit \(x>1\). Stellen Sie sie auf der Zahlengeraden ein. Ein Griff am äußersten Rand steht für \(-\infty\) bzw. \(\infty\).

Ziehe die beiden Griffe auf die Grenzen. Ein Klick auf einen Griff (oder Enter) dreht seine Klammer um. Ganz links bzw. rechts steht der Griff für −∞ bzw. ∞. Pfeiltasten verschieben den ausgewählten Griff.

a: b:

x > 1 heißt: alle Zahlen rechts von 1, die 1 selbst nicht. Links also eine offene Klammer bei 1, rechts läuft die Menge bis ∞: ]1 ; ∞[.

11Wertebereich am Graphen erkennenAFB II

Alle sechs Funktionen dürfen mit jeder reellen Zahl gefüttert werden. Klicken Sie jeweils den Graphen an, der den genannten Wertebereich hat.

Klicke das gesuchte Element an. Mit der Tastatur: Tab oder Pfeiltasten zum Wandern, Enter zum Auswählen.

Der Wertebereich wird an der y-Achse abgelesen: Die nach oben geöffnete Parabel erreicht 0 und alles darüber, die nach unten geöffnete alles bis 2. Die wachsende Kurve kommt der x-Achse nur näher, deshalb ℝ⁺ ohne Null. Die waagerechte Gerade hat den Wert −1,5 und sonst nichts.

12Definitions- und Wertebereich im VergleichAFB II

Für fünf Funktionen mit \(D_f=\mathbb{R}\): Kreuzen Sie an, welche Aussagen über den Wertebereich zutreffen.

Setze in jeder Zeile alle zutreffenden Kreuze — es können mehrere pro Zeile sein. Enter setzt und löscht, Pfeiltasten wandern.

Funktion	W_f = ℝ	W_f hat einen kleinsten Wert	W_f hat einen größten Wert
f(x) = 2x − 1
f(x) = x² − 4
f(x) = −x² + 1
f(x) = x³
f(x) = 5

Geraden mit Steigung und die Funktion x³ erreichen jeden Wert. Eine nach oben geöffnete Parabel hat am Scheitel ihren kleinsten Wert, eine nach unten geöffnete ihren größten. Die konstante Funktion f(x) = 5 hat als Wertebereich nur {5} — die 5 ist zugleich kleinster und größter Wert.

13Mengenzeichen richtig lesenAFB I

Entscheiden Sie, ob die Aussage über die Zahlenmengen zutrifft.

6 Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann startest du die Serie mit „Neue Runde“ neu.

Aussage 1 von 6

Hochgestellt regelt das Vorzeichen, tiefgestellt die Null. Die Mengen werden von innen nach außen größer: ℕ ⊂ ℕ₀ ⊂ ℤ ⊂ ℝ.

14Punkte auf der ParabelAFB II

Gezeichnet ist der Graph von \(f(x)=x^2-4\). Setzen Sie die gesuchten Punkte genau auf den Graphen.

Bewege die Maus über das Koordinatensystem und klicke, um den Punkt zu setzen. Mit der Tastatur: Tab ins Koordinatensystem, Pfeiltasten bewegen den Cursor, Enter setzt.

f(−3) = 9 − 4 = 5 und f(1) = 1 − 4 = −3. Der Scheitel S(0 | −4) ist der tiefste Punkt, deshalb ist W_f = [−4 ; ∞[ — die −4 wird bei x = 0 wirklich angenommen, also eckige Klammer nach innen.

15Wertebereich auf einem IntervallAFB II

Wird der Definitionsbereich eingeschränkt, ändert sich auch der Wertebereich. Berechnen Sie die Randwerte.

Rechne die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft. Negative Zahlen mit Minuszeichen eingeben.

f(x) = 2x + 1 auf D = [−3 ; 4]. Welchen kleinsten Wert nimmt f an?kleinster Wert
Welchen größten Wert nimmt f auf diesem Intervall an?größter Wert
g(x) = −3x + 2 auf D = [0 ; 2]. Welchen kleinsten Wert nimmt g an?kleinster Wert
Welchen größten Wert nimmt g dort an?größter Wert
h(x) = x² auf D = [−2 ; 3]. Welchen größten Wert nimmt h an?größter Wert

Bei einer steigenden Geraden liegt der kleinste Wert am linken Rand: f(−3) = −5, der größte rechts: f(4) = 9. Bei der fallenden Geraden ist es umgekehrt. Bei x² auf [−2 ; 3] liegt der größte Wert nicht bei −2, sondern bei 3: h(3) = 9 — der Wertebereich ist [0 ; 9].

16Halboffenes Intervall einstellenAFB I

Gesucht ist die Menge aller reellen Zahlen von \(-5\) bis \(0\), wobei die \(-5\) dazugehört, die \(0\) aber nicht. Stellen Sie das Intervall auf der Zahlengeraden ein.

Ziehe die beiden Griffe auf die Grenzen. Ein Klick auf einen Griff (oder Enter) dreht seine Klammer um. Ganz links bzw. rechts steht der Griff für −∞ bzw. ∞. Pfeiltasten verschieben den ausgewählten Griff.

a: b:

Links geschlossen, rechts offen: [−5 ; 0⟩. Die −5 gehört dazu, die 0 nicht — alle Zahlen des Intervalls sind also negativ oder gleich −5.

17Ganze Zahlen zählenAFB I

Berechnen Sie, wie viele ganze Zahlen im Intervall \(]-12\,;\,15]\) liegen.

Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.

Zahlen

Von −11 bis 15 sind es 11 negative Zahlen, die Null und 15 positive: 11 + 1 + 15 = 27. Die −12 gehört wegen der offenen Klammer nicht dazu, die 15 dagegen schon.

18Nach Anzahl sortierenAFB II

Ordnen Sie die Mengen von der kleinsten Anzahl an Elementen zur größten.

Ziehe die Zeilen mit der Maus oder verschiebe sie mit den Pfeil-Buttons, bis die Reihenfolge stimmt.

1]1 ; 3[ in ℤ

2[1 ; 3] in ℕ

3]0 ; 10[ in ℕ

4[−10 ; 10] in ℤ

5[0 ; 1] in ℝ

]1 ; 3[ in ℤ enthält nur die 2 — ein Element. [1 ; 3] in ℕ hat drei, ]0 ; 10[ in ℕ neun, [−10 ; 10] in ℤ einundzwanzig Elemente. In ℝ liegen selbst zwischen 0 und 1 unendlich viele Zahlen.

19Was darf nicht eingesetzt werden?AFB II

Bei manchen Funktionen darf nicht jede reelle Zahl eingesetzt werden. Markieren Sie alle Funktionen, deren Definitionsbereich kleiner als ℝ ist.

Mehrere Antworten sind richtig. Markiere alle zutreffenden und klicke dann auf „Prüfen“.

Zwei Verbote: Durch null darf nicht geteilt werden, und aus negativen Zahlen darf keine Wurzel gezogen werden. Deshalb fällt bei 1/x die 0 weg, bei 1/(x − 2) die 2; bei √x gilt D = ℝ₀⁺, bei √(x + 5) gilt D = [−5 ; ∞[.

20Wertebereich als IntervallAFB III

Gegeben ist \(f(x)=-(x-2)^2+3\) mit \(D_f=\mathbb{R}\). Bestimmen Sie den Wertebereich und stellen Sie ihn auf der Zahlengeraden ein.

Ziehe die beiden Griffe auf die Grenzen. Ein Klick auf einen Griff (oder Enter) dreht seine Klammer um. Ganz links bzw. rechts steht der Griff für −∞ bzw. ∞. Pfeiltasten verschieben den ausgewählten Griff.

a: b:

Das Quadrat (x − 2)² ist nie negativ, mit dem Minus davor also nie positiv. Der größte Wert entsteht bei x = 2: f(2) = 3. Alle kleineren Werte kommen vor, daher W_f = ]−∞ ; 3] — rechts geschlossen, weil die 3 tatsächlich angenommen wird.

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