Definitionsbereich und Wertebereich
Zu einer Funktion gehören immer zwei Vorräte an Zahlen: der Vorrat der Zahlen, die man einsetzen darf, und der Vorrat der Zahlen, die dabei herauskommen können. Beide Vorräte haben einen eigenen Namen und eine eigene Abkürzung.
- Definitionsbereich
- Alle Zahlen, die man für \(x\) einsetzen kann, bezeichnet man als Definitionsbereich. Abkürzung: \(D_f\)
- Wertebereich
- Alle Zahlen, die man für \(y\) erhalten kann, bezeichnet man als Wertebereich. Abkürzung: \(W_f\)
Im Koordinatensystem lassen sich die beiden Bereiche direkt an den Achsen zeigen: Der Definitionsbereich liegt auf der waagerechten Achse, denn dort stehen die eingesetzten Werte. Der Wertebereich liegt auf der senkrechten Achse, denn dort stehen die erhaltenen Werte.
Die Parabel kann mit jeder Zahl gefüttert werden, ihre Werte reichen aber nur bis zum tiefsten Punkt hinunter. Der Definitionsbereich wird an der x-Achse abgelesen, der Wertebereich an der y-Achse.
- \(x\):Die Zahl, die eingesetzt wird. Sie stammt aus dem Definitionsbereich.
- \(y\):Die Zahl, die man erhält. Sie gehört zum Wertebereich.
- \(D_f\):Kurzschreibweise für den Definitionsbereich der Funktion \(f\).
- \(W_f\):Kurzschreibweise für den Wertebereich der Funktion \(f\).
Zwei Fragen, zwei Bereiche: Was darf ich einsetzen? Das beantwortet \(D_f\). Was kann dabei herauskommen? Das beantwortet \(W_f\).
Die Zahlenmengen
Um einen ganzen Zahlenvorrat aufzuschreiben, braucht man Namen für die gebräuchlichen Mengen. Drei davon werden ständig gebraucht und deshalb mit einem eigenen Buchstaben abgekürzt.
- Natürliche Zahlen
- \(\mathbb{N} = \{1,\,2,\,3,\,4,\,\dots\}\)
- Ganze Zahlen
- \(\mathbb{Z} = \{\dots,\,-2,\,-1,\,0,\,1,\,2,\,\dots\}\)
- Reelle Zahlen
- \(\mathbb{R} = \{\dots,\,-5,\,\dots,\,0,\,\dots,\,\sqrt{2},\,\dots,\,\pi,\,\dots,\,48,\,\dots\}\)
Die natürlichen Zahlen beginnen bei 1, die ganzen Zahlen nehmen die negativen Zahlen und die Null dazu. Die reellen Zahlen enthalten zusätzlich alle Zahlen dazwischen, etwa \(\sqrt{2}\) und \(\pi\).
Oft braucht man nur einen Teil einer solchen Menge. Dafür gibt es zwei Zusätze am Mengenbuchstaben: eine tiefgestellte Null und ein hochgestelltes Vorzeichen.
| Schreibweise | Bedeutung |
|---|---|
| \(\mathbb{N}_0\) | Menge mit Null |
| \(\mathbb{N}^+\quad \mathbb{Z}^+\quad \mathbb{R}^+\) | Menge nur positiver Zahlen |
| \(\mathbb{N}_0^+\quad \mathbb{Z}_0^+\quad \mathbb{R}_0^+\) | Menge nur positiver Zahlen, die Null gehört dazu |
Hoch- und tiefgestellt: \(^+\) legt das Vorzeichen fest, \(_0\) nimmt die Null dazu, etwa \(\mathbb{R}_0^+\).
Intervalle: abgeschlossen oder offen
Manchmal soll nicht eine ganze Zahlenmenge gemeint sein, sondern nur ein Abschnitt zwischen zwei Grenzen. Ein solcher Abschnitt heißt Intervall. Entscheidend ist dabei die Frage, ob die beiden Grenzzahlen selbst noch dazugehören.
- Abgeschlossenes Intervall
- \([a,\,b]\) enthält die Zahlen \(a\) und \(b\).
- Offenes Intervall
- \(]a,\,b[\) enthält die Zahlen \(a\) und \(b\) nicht.
Der Unterschied wirkt klein, ändert aber den Inhalt des Intervalls. Am selben Zahlenpaar 1 und 5 wird das sofort sichtbar, wenn man als Grundmenge die natürlichen Zahlen wählt.
Dieselben Grenzen, verschiedener Inhalt
Oben gehören die Randzahlen dazu, unten sind sie ausgeschlossen. Aus fünf Zahlen werden so drei.
Klammerrichtung lesen: Zeigt die Klammer zur Zahl hin, gehört die Grenze zum Intervall. Zeigt sie von der Zahl weg, bleibt die Grenze draußen.
Verschiebe die beiden Grenzen und schalte zwischen abgeschlossen und offen um: Welche Zahlen gehören dann noch zum Intervall?
Intervall-Werkstatt
Ziehe die Griffe a und b mit der Maus oder wähle einen Griff mit der Tabulatortaste aus und verschiebe ihn mit den Pfeiltasten. Die Regler daneben tun dasselbe.
Achte darauf, wie sich die Anzahl der Zahlen ändert, sobald du dieselben Grenzen offen setzt — und darauf, dass in \(\mathbb{R}\) zwischen zwei Grenzen immer unendlich viele Zahlen liegen.
Notation des Definitions- und Wertebereichs
Mit den Zahlenmengen und der Intervallschreibweise lässt sich jetzt zu einem Graphen aufschreiben, was eingesetzt werden darf und was herauskommen kann. Bei den folgenden vier Kurven darf jeweils jede reelle Zahl eingesetzt werden, der Wertebereich fällt aber sehr unterschiedlich aus.
Der orange Balken auf der senkrechten Achse zeigt jeweils, welche \(y\)-Werte vorkommen. Der Definitionsbereich ist bei allen vier Kurven \(\mathbb{R}\), der Wertebereich unterscheidet sich.
| Graph | \(D_f\) | \(W_f\) |
|---|---|---|
| 1 steigende Kurve durch den Ursprung | \(\mathbb{R}\) | \(\mathbb{R}\) |
| 2 nach oben geöffnete Parabel, tiefster Punkt bei \(-4\) | \(\mathbb{R}\) | \(\mathbb{R}_{\ge -4}\) oder \([-4,\,\infty[\) |
| 3 steigende Kurve oberhalb der \(x\)-Achse | \(\mathbb{R}\) | \(\mathbb{R}^+\) |
| 4 nach unten geöffnete Parabel, höchster Punkt im Ursprung | \(\mathbb{R}\) | \(\mathbb{R}_0^-\) |
- \(\mathbb{R}_{\ge -4}\):Alle reellen Zahlen ab \(-4\) aufwärts, die \(-4\) gehört dazu.
- \([-4,\,\infty[\):Dieselbe Menge als Intervall geschrieben. Links steht die Klammer nach innen, denn \(-4\) wird angenommen; rechts steht sie nach außen, denn \(\infty\) ist keine Zahl, die man erreichen kann.
- \(\mathbb{R}^+\):Alle positiven reellen Zahlen ohne die Null. Die Kurve kommt der \(x\)-Achse beliebig nahe, erreicht sie aber nicht.
- \(\mathbb{R}_0^-\):Alle negativen reellen Zahlen und zusätzlich die Null. Die Null wird im höchsten Punkt der Parabel angenommen.
Zwei Schreibweisen: \(\mathbb{R}_{\ge -4} = [-4,\,\infty[\)
Allgemeine Hinweise
Klammer nach außen
Bei \(]a,\,b[\) gehören die Grenzen nicht dazu. Zeigt die Klammer von der Zahl weg, bleibt die Zahl draußen.
Am Graphen ablesen
Den Definitionsbereich liest du an der \(x\)-Achse ab, den Wertebereich an der \(y\)-Achse. Achte besonders auf den tiefsten und den höchsten Punkt.
Null oder nicht?
\(\mathbb{N}\) beginnt bei 1, \(\mathbb{N}_0\) bei 0. Die tiefgestellte Null nimmt die Zahl 0 ausdrücklich dazu.
Videos
Zwei kurze Erklärvideos zu diesem Unterkapitel — eines für die Idee, eines für das Rechnen. Sie starten erst, wenn du sie anklickst.
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