TextaufgabenGrundbegriffe

Der Anzahl der gebuchten Stunden wird der Preis in Euro zugeordnet; die Stundenzahl ist die unabhängige Größe. Es gilt \(D=\{1;2;3;4;5;6\}\) und \(W=\{1{,}50;\;3{,}00;\;4{,}50;\;6{,}00;\;7{,}50;\;9{,}00\}\).

Der Automat nimmt ausschließlich volle Stunden an. Zwischenwerte wie 2,5 Stunden lassen sich gar nicht wählen. Damit sind nur die natürlichen Zahlen von 1 bis 6 zulässig, also \(D\subset\mathbb{N}\). Wäre \(D\subset\mathbb{R}\), müsste zwischen den Punkten eine durchgezogene Linie liegen.

Nein, die Schreibweise ist falsch. Das Intervall \([1\,;\,6]\) enthält alle reellen Zahlen zwischen 1 und 6, also auch 2,5 oder 4,75. Solche Werte gibt es hier aber nicht; korrekt ist die aufzählende Schreibweise \(D=\{1;2;3;4;5;6\}\) oder \(D=\{x\in\mathbb{N}\,|\,1\le x\le 6\}\).

\(D=[0\,;\,30]\), gemessen in Minuten, und \(W=[6\,;\,22]\), gemessen in Grad Celsius.

Die Zeit vergeht lückenlos: Auch nach 7,5 Minuten oder nach 12,3 Minuten hat das Wasser eine Temperatur. Zu jedem reellen Zeitpunkt zwischen 0 und 30 gehört also ein Messwert. Mit \(\mathbb{N}\) könnte man nur die vollen Minuten erfassen und würde alle Zwischenzeitpunkte ausschließen.

Beide Ränder werden tatsächlich angenommen: Die Messung beginnt bei \(t=0\) und endet bei \(t=30\); die Temperaturen 22 °C und 6 °C treten wirklich auf. Deshalb gehören die Randwerte dazu, und man schreibt eckige Klammern. Würde die Flasche 6 °C erst nach unendlich langer Zeit erreichen, wäre dieser Wert nie angenommen; dann müsste man \(W=\;]6\,;\,22]\) schreiben — unten offen, oben abgeschlossen.

\(D=\{-2;-1;0;1;2;3;4;5\}\). Weiter ist \(h(-2)=3\cdot(-2)=-6\), die Ebene \(-2\) liegt also 6 Meter unter der Straße, und \(h(5)=3\cdot 5=15\), die oberste Ebene liegt 15 Meter darüber.

Man braucht die ganzen Zahlen \(\mathbb{Z}\) als Grundmenge, also \(D\subset\mathbb{Z}\). \(\mathbb{N}\) enthält nur die Zahlen \(1;2;3;\dots\) und damit weder die Null noch die negativen Ebenennummern \(-1\) und \(-2\); die beiden Tiefgeschosse ließen sich damit gar nicht bezeichnen.

Die beiden Randwerte hat Timo richtig bestimmt: \(-6\) m und \(15\) m sind tatsächlich die kleinste und die größte Höhe. Die Intervallschreibweise ist trotzdem falsch, denn \([-6\,;\,15]\) enthält alle reellen Zahlen dazwischen, also auch 7 m — eine solche Ebene gibt es aber nicht. Richtig ist die aufzählende Schreibweise \(W=\{-6;-3;0;3;6;9;12;15\}\).

Das Alter 6 wird im Aushang zweimal genannt: einmal in „bis 6 Jahre frei“ und einmal in „von 6 bis 17 ermäßigt“. Die beiden Bereiche überlappen sich also genau am Rand, und der Text sagt nicht, welche Klammer gemeint ist. Lesart A: frei \([0\,;\,6[\), ermäßigt \([6\,;\,17]\). Lesart B: frei \([0\,;\,6]\), ermäßigt \(]6\,;\,17]\).

Eine eindeutige Fassung lautet zum Beispiel: „Kinder unter 6 Jahren frei · Ermäßigt ab dem 6. bis einschließlich zum 17. Geburtstag · Erwachsene ab 18 Jahren“. Dazu gehören die Intervalle frei \(=[0\,;\,6[\), ermäßigt \(=[6\,;\,18[\) und Erwachsene \(=[18\,;\,\infty[\). Die drei Intervalle stoßen lückenlos aneinander und überlappen sich nirgends, weil jeder Randwert nur einmal abgeschlossen und einmal offen auftritt. Am Unendlichzeichen steht immer eine offene Klammer, da \(\infty\) keine Zahl ist.

Die Behauptung ist nicht haltbar. Die Klammer entscheidet über genau eine Zahl — hier aber über den Eintrittspreis eines ganzen Jahrgangs: Das eben 6 gewordene Kind zahlt in Lesart A den ermäßigten Preis, in Lesart B gar nichts. Wie groß der Bereich insgesamt ist, spielt dafür keine Rolle.

\(h(x)=-0{,}25x^2+2x=-0{,}25\,(x^2-8x)\). Quadratische Ergänzung in der Klammer: \(x^2-8x=(x-4)^2-16\), also \(h(x)=-0{,}25\,\big((x-4)^2-16\big)=-0{,}25\,(x-4)^2+4\). Der höchste Punkt ist damit \(S(4\,|\,4)\): Der Strahl erreicht 4 Meter von der Düse entfernt seine größte Höhe von 4 Metern.

Im Sachkontext läuft \(x\) von der Düse bis zum Auftreffpunkt, also \(D=[0\,;\,8]\). Beide Randwerte werden angenommen, deshalb stehen eckige Klammern. Die Höhe reicht von 0 Metern an Düse und Auftreffpunkt bis zu 4 Metern im Scheitelpunkt: \(W=[0\,;\,4]\).

Lisas Begründung ist richtig, ihr Ergebnis passt aber nicht zur Aufgabe. Für die Funktion \(h\) auf ganz \(\mathbb{R}\) stimmt \(W=\;]-\infty\,;\,4]\): Die nach unten geöffnete Parabel nimmt jeden Wert bis einschließlich 4 an, und am Unendlichzeichen steht zu Recht eine offene Klammer. Im Sachkontext ist der Definitionsbereich jedoch auf \([0\,;\,8]\) eingeschränkt, und negative Höhen gibt es nicht — der Strahl verschwindet nicht im Boden. Richtig ist deshalb \(W=[0\,;\,4]\).