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Interaktive ÜbungBruchrechnen: Division

Zwanzig Aufgaben zur Division von Brüchen: vom Kehrwert über die Rechenkette bis zum Doppelbruch mit Variablen.

Zum NachschlagenZurück zur ErklärungBruchrechnen: Division — Kehrwert, Doppelbruch und Hauptbruchstrich.
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Übungsaufgaben

Zwanzig Aufgaben zum Anklicken, Sortieren und Rechnen. Die ersten sichern die Sprechweise und den Kehrwert, die mittleren das Rechnen mit Doppelbrüchen, die letzten verlangen einen eigenen Plan. Jede gelöste Aufgabe füllt den Fortschrittsbalken weiter auf.

1Die Regel in WortenAFB I

Vervollständigen Sie den Merktext zur Division von Brüchen.

Wort anklicken, dann Lücke anklicken (oder umgekehrt). Ein Klick auf eine gefüllte Lücke legt das Wort zurück.

Durch einen Bruch wird dividiert, indem man mit seinem multipliziert. Dafür wird nur der , also der Bruch hinter dem Geteiltzeichen, : Zähler und Nenner tauschen die Plätze. Aus dem Geteiltzeichen wird ein Malzeichen, danach wird wie gewohnt Zähler mal Zähler und Nenner mal Nenner . Ein Bruch und sein Kehrwert ergeben zusammen multipliziert stets . Steht die Aufgabe als Doppelbruch da, übernimmt der die Rolle des Geteiltzeichens.

Der wichtigste Halbsatz ist „nur der Divisor“. Wer beide Brüche stürzt, landet beim Kehrwert des richtigen Ergebnisses — die Zahl sieht dann fast passend aus und der Fehler fällt in der Klausur oft nicht auf.
2Kehrwert-TabelleAFB I

Vier Zahlen, vier Kehrwerte. Tragen Sie jeweils Zähler und Nenner des Kehrwerts ein.

Trage in jedes Feld eine ganze Zahl ein; links steht der Zähler, rechts der Nenner. Enter prüft.
Zahl\(\tfrac37\)\(5\)\(\tfrac14\)\(2\tfrac12\)
Kehrwert / / / /
\(\tfrac73\), \(\tfrac15\), \(\tfrac41=4\) und \(\tfrac25\), denn \(2\tfrac12=\tfrac52\). Eine ganze Zahl hat den Nenner 1, ihr Kehrwert ist also \(\tfrac{1}{n}\).
3Bruch durch BruchAFB I

Gegeben ist \(\dfrac{3}{4}:\dfrac{2}{5}\).

Berechnen Sie den Quotienten.

Trage Zähler und Nenner ein — vollständig gekürzt. Eine ganze Zahl bekommt den Nenner 1, ein Minus gehört in den Zähler. Enter prüft.
Mit dem Kehrwert multiplizieren: \(\dfrac34\cdot\dfrac52=\dfrac{15}{8}\). Das Ergebnis ist größer als 1, weil durch etwas Kleineres als 1 geteilt wird.
4Kleiner, gleich oder größer als 1?AFB I

Acht Divisionen. Entscheiden Sie ohne vollständige Rechnung, ob der Quotient kleiner als 1, genau 1 oder größer als 1 ist.

Ziehe jede Karte in den passenden Korb — oder wähle sie mit Enter aus und drücke dann die Ziffer des Korbs (0 legt sie zurück).
1kleiner als 1
2genau 1
3größer als 1
Eine Division fragt: Wie oft passt der Divisor in den Dividenden? Ist der Divisor kleiner, passt er mehr als einmal hinein — das Ergebnis ist größer als 1. \(\tfrac{14}{16}\) ist nur eine andere Schreibweise von \(\tfrac78\).
5Kehrwert-MemoryAFB I

Ordnen Sie jedem Begriff und jeder Zahl die passende Karte zu.

Decke immer zwei Karten auf. Passen sie zusammen, bleiben sie offen liegen — sonst drehen sie sich wieder um.
Versuche: 0 von 16
Zwei Paare prüfen das Rechnen, drei prüfen die Fachwörter. Besonders lohnend ist der Kehrwert von 6: Eine ganze Zahl lässt sich immer als Bruch mit dem Nenner 1 schreiben, deshalb wird aus 6 der Bruch ein Sechstel.
6Dividieren und kürzenAFB I

Gegeben ist \(\dfrac{7}{8}:\dfrac{7}{4}\).

Berechnen Sie den Quotienten als vollständig gekürzten Bruch.

Trage Zähler und Nenner ein — vollständig gekürzt. Eine ganze Zahl bekommt den Nenner 1, ein Minus gehört in den Zähler. Enter prüft.
\(\dfrac78\cdot\dfrac47=\dfrac{28}{56}=\dfrac12\). Die 7 kürzt sich sofort weg, es bleibt \(\dfrac48\).
7Stimmt das?AFB I

Fünf Aussagen zur Division von Brüchen. Entscheiden Sie jeweils, ob die Aussage richtig ist.

5 Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann startest du die Serie mit „Neue Runde“ neu.
Aussage 1 von 5

Merksatz: Nur der Divisor wird gestürzt, und „durch etwas Kleines teilen“ macht das Ergebnis groß, „durch etwas Großes teilen“ macht es klein.
8RechenketteAFB II

Zu berechnen ist \(\frac{2}{3}:\frac{4}{9}\).

Berechnen Sie Schritt für Schritt bis zum vollständig gekürzten Ergebnis.

Rechne die Kette Schritt für Schritt. Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft.
  1. Der Divisor ist \(\frac{4}{9}\). Welche Zahl steht im Zähler seines Kehrwerts?
  2. Zähler mal Zähler: \(2\cdot 9=\)
  3. Nenner mal Nenner: \(3\cdot 4=\)
  4. Kürze \(\frac{18}{12}\) und gib den Wert als Dezimalzahl an.
Das Ergebnis \(\frac{3}{2}=1{,}5\) ist größer als der Ausgangsbruch \(\frac{2}{3}\). Das ist kein Widerspruch: Geteilt wurde durch eine Zahl kleiner als 1, und dabei wird das Ergebnis immer größer als der Dividend.
9Doppelbruch: Bruch durch BruchAFB II

Gegeben ist der Doppelbruch \(\frac{\dfrac{3}{5}}{\dfrac{9}{10}}\).

Bestimmen Sie seinen Wert als vollständig gekürzten Bruch.

Trage Zähler und Nenner ein — vollständig gekürzt. Eine ganze Zahl bekommt den Nenner 1, ein Minus gehört in den Zähler. Enter prüft.
Über Kreuz: \(\dfrac{3\cdot 10}{5\cdot 9}=\dfrac{30}{45}=\dfrac23\).
10Doppelbruch: Bruch durch ZahlAFB II

Gegeben ist der Doppelbruch \(\frac{\dfrac{4}{7}}{2}\).

Bestimmen Sie seinen Wert als vollständig gekürzten Bruch.

Trage Zähler und Nenner ein — vollständig gekürzt. Eine ganze Zahl bekommt den Nenner 1, ein Minus gehört in den Zähler. Enter prüft.
Die Zahl geht in den Nenner: \(\dfrac{4}{7\cdot 2}=\dfrac{4}{14}=\dfrac27\).
11Drei Doppelbrüche, drei ganze ZahlenAFB II

Alle drei Doppelbrüche haben einen ganzzahligen Wert. Berechnen Sie die Werte.

Fülle alle Felder aus und prüfe dann auf einmal. Dezimalzahlen mit Komma oder Punkt, Enter prüft ebenfalls.

\(\frac{6}{\dfrac{3}{5}}=\)    \(\frac{12}{\dfrac{4}{3}}=\)    \(\frac{\dfrac{5}{2}}{\dfrac{1}{2}}=\)

\(6\cdot\tfrac53=10\), \(12\cdot\tfrac34=9\) und \(\tfrac52\cdot\tfrac21=5\). Beim Doppelbruch „Zahl durch Bruch“ klettert der Nenner nach oben.
12Doppelbruch auflösenAFB II

Gegeben ist der Doppelbruch \(\frac{\dfrac{5}{6}}{\dfrac{10}{9}}\).

Bestimmen Sie seinen Wert als Dezimalzahl.

Löse den Doppelbruch auf und trage das Ergebnis als Dezimalzahl ein — Enter prüft direkt.
Der Hauptbruchstrich bedeutet geteilt: \(\frac{5}{6}:\frac{10}{9}=\frac{5}{6}\cdot\frac{9}{10}=\frac{45}{60}=\frac{3}{4}=0{,}75\). Wer stattdessen den oberen Bruch stürzt, erhält \(\frac{6}{5}\cdot\frac{10}{9}=\frac{4}{3}\approx 1{,}33\) — also genau den Kehrwert des richtigen Werts.
13Fehlersuche in der RechensammlungAFB II

Sieben Aussagen und Rechnungen, drei davon sind falsch. Markieren Sie genau die falschen Zeilen.

In dieser Liste stecken Fehler. Klicke genau die falschen Zeilen an — die richtigen musst du stehen lassen.
Zweimal wurde der Dividend statt des Divisors gestürzt bzw. gar nicht gestürzt. Und die Null bleibt die einzige Zahl ohne Kehrwert.
14In welcher Reihenfolge?AFB III

Ein Doppelbruch mit Variablen soll aufgelöst werden. Bringen Sie die fünf Arbeitsschritte in die richtige Reihenfolge.

Ziehe die Zeilen mit der Maus oder verschiebe sie mit den Pfeil-Buttons, bis die Reihenfolge stimmt.
1Den Hauptbruchstrich suchen: Er ist der längere Strich und bedeutet geteilt.
2Den Doppelbruch als Division schreiben, also Zählerbruch geteilt durch Nennerbruch.
3Vom Bruch hinter dem Geteiltzeichen den Kehrwert bilden.
4Das Geteiltzeichen durch ein Malzeichen ersetzen und Zähler mal Zähler sowie Nenner mal Nenner rechnen.
5Das Ergebnis vollständig kürzen und notieren, welche Werte die Variablen nicht annehmen dürfen.
Der Kehrwert wird gebildet, bevor irgendetwas multipliziert wird. Wer zuerst rechnet und dann stürzt, vertauscht Zähler und Nenner des fertigen Ergebnisses. Der letzte Schritt gehört bei Bruchtermen zwingend dazu: Ohne die Bedingungen ist die Umformung unvollständig.
15Bruchterme dividierenAFB II

Gegeben ist \(\dfrac{x}{3}:\dfrac{x}{6}\) mit \(x\neq 0\).

Vereinfachen Sie so weit wie möglich.

Gib den vereinfachten Term ein. Schreibweise: 3x^2 - 5x + 1, Malzeichen * oder weglassen, Brüche mit /, Potenzen mit ^. Enter prüft.
\(\dfrac{x}{3}\cdot\dfrac{6}{x}=\dfrac{6x}{3x}=2\). Das \(x\) kürzt sich vollständig weg.
16Doppelbruch und aufgelöste FormAFB II

Fünf Doppelbrüche mit Variablen (alle Nenner ungleich 0). Verbinden Sie jeden Doppelbruch mit seiner aufgelösten Form.

Klicke links einen Eintrag an und dann rechts den Partner — es entsteht eine Verbindungslinie. Mit der Tastatur: Enter zum Auswählen, ↑/↓ zum Wandern.
Immer dieselbe Regel: mit dem Kehrwert des unteren Ausdrucks multiplizieren. Eine Zahl \(c\) unter dem Hauptbruchstrich wandert in den Nenner, ein Bruch unter dem Hauptbruchstrich wird gestürzt.
17Welche Terme sind gleichwertig?AFB III

Es sei \(b\neq 0\), \(c\neq 0\) und \(d\neq 0\).

Wählen Sie alle Terme aus, die denselben Wert haben wie \(\frac{a}{b}:\frac{c}{d}\).

Mehrere Antworten sind richtig. Markiere alle zutreffenden und klicke dann auf „Auswahl prüfen“.
Die drei richtigen Terme sind nur drei Schreibweisen desselben Wegs: Kehrwert bilden, ausmultiplizieren, als Doppelbruch stehen lassen. Zwei der Ablenker sind Kehrwerte des richtigen Ergebnisses, einer ist die Multiplikation statt der Division — genau die drei Fehler, die im Unterricht am häufigsten passieren.
18Rechenkette mit zwei DivisionenAFB III

Berechnet werden soll \(\dfrac{9}{10}:\dfrac{3}{4}:\dfrac{2}{5}\).

Rechnen Sie von links nach rechts in vier Teilschritten.

Rechne die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft. Dezimalzahlen mit Komma oder Punkt.
  1. Erste Division als Produkt: Zähler von \(\tfrac{9}{10}\cdot\tfrac43\)
  2. Nenner dieses Produkts
  3. Zwischenergebnis gekürzt, als Dezimalzahl
  4. Zwischenergebnis durch \(\tfrac25\): Endergebnis
\(\dfrac{36}{30}=\dfrac65=1{,}2\), dann \(1{,}2:\tfrac25=1{,}2\cdot\tfrac52=3\). Divisionen werden von links nach rechts abgearbeitet; die Klammerung \(\tfrac{9}{10}:(\tfrac34:\tfrac25)\) ergäbe etwas anderes.
19Doppelbruch mit VariablenAFB III

Gegeben ist \(\frac{\dfrac{2}{x}}{\dfrac{4}{x^2}}\) mit \(x\neq 0\).

Vereinfachen Sie den Doppelbruch so weit wie möglich.

Gib den vereinfachten Term ein. Schreibweise: 3x^2 - 5x + 1, Malzeichen * oder weglassen, Brüche mit /, Potenzen mit ^. Enter prüft.
\(\dfrac{2}{x}\cdot\dfrac{x^2}{4}=\dfrac{2x^2}{4x}=\dfrac{x}{2}\). Der Kehrwert des Nennerbruchs bringt \(x^2\) nach oben.
20Rückwärts gedachtAFB III

Eine Zahl \(z\) wird durch \(\tfrac34\) dividiert; das Ergebnis ist \(\tfrac23\).

Bestimmen Sie \(z\) als Dezimalzahl.

Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Dezimalzahlen mit Komma oder Punkt, Enter prüft direkt.
Aus \(z:\tfrac34=\tfrac23\) folgt \(z=\tfrac23\cdot\tfrac34=\tfrac{6}{12}=\tfrac12=0{,}5\). Probe: \(\tfrac12\cdot\tfrac43=\tfrac46=\tfrac23\).
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