Dividieren heißt mit dem Kehrwert multiplizieren
Eine Division fragt immer dasselbe: Wie oft passt der zweite Wert in den ersten? Bei \(6:2\) passt die 2 genau dreimal in die 6. Genauso lässt sich fragen, wie oft ein Viertel in ein Halbes passt. Die Antwort ist 2 — und sie ist größer als die Ausgangszahl. Das ist der Grund, warum die Division durch einen Bruch am Ende eine Multiplikation wird.
Der obere Balken zeigt ein Halbes, der untere dieselbe Länge in Vierteln. Die gefärbte Hälfte besteht aus genau zwei Vierteln, also ist \(\frac{1}{2}:\frac{1}{4}=2\).
- Kehrwert
- Der Kehrwert eines Bruchs \(\frac{c}{d}\) entsteht, indem Zähler und Nenner vertauscht werden: \(\frac{d}{c}\). Man sagt auch, der Bruch werde gestürzt.
- Kennzeichen des Kehrwerts
- Ein Bruch und sein Kehrwert ergeben miteinander multipliziert immer 1: \(\frac{c}{d}\cdot\frac{d}{c}=\frac{c\cdot d}{d\cdot c}=1\). Nur die Null hat deshalb keinen Kehrwert.
- Divisor
- Die Zahl, durch die geteilt wird. In \(\frac{a}{b}:\frac{c}{d}\) ist \(\frac{c}{d}\) der Divisor — und nur er wird gestürzt.
Division zweier Brüche
- Schritt 1:Den hinteren Bruch, also den Divisor, im Kopf stürzen.
- Schritt 2:Das Geteiltzeichen durch ein Malzeichen ersetzen.
- Schritt 3:Zähler mal Zähler und Nenner mal Nenner rechnen.
- Schritt 4:Das Ergebnis vollständig kürzen.
Division: \(\dfrac{a}{b}:\dfrac{c}{d}=\dfrac{a}{b}\cdot\dfrac{d}{c}\)
- Kehrwert bilden:\(\frac{5}{8}:\frac{15}{16}=\frac{5}{8}\cdot\frac{16}{15}\)
- Multiplizieren:\(=\frac{80}{120}\)
- Kürzen:\(=\frac{2}{3}\)
Der Doppelbruch und sein Hauptbruchstrich
In der Oberstufe wird das Geteiltzeichen meistens gar nicht mehr geschrieben. Stattdessen steht ein Bruch über einem anderen. Eine solche Schreibweise heißt Doppelbruch. Sie ist bequem, aber sie hat eine Tücke: Man muss auf einen Blick erkennen, welcher Bruchstrich der eigentliche ist.
- Doppelbruch
- Ein Bruch, bei dem im Zähler, im Nenner oder in beiden wiederum ein Bruch steht.
- Hauptbruchstrich
- Der längere, mittlere Bruchstrich. Er ist das Geteiltzeichen und trennt den Zählerbruch vom Nennerbruch. Deshalb wird er beim Schreiben von Hand deutlich länger gezogen als die kleinen Bruchstriche darüber und darunter.
Der orange Strich ist jeweils der Hauptbruchstrich. Was über ihm steht, wird durch das geteilt, was unter ihm steht.
Doppelbrüche auflösen
| Bauart | Doppelbruch | aufgelöst | Merksatz |
|---|---|---|---|
| Bruch durch Bruch | \(\frac{\dfrac{3}{5}}{\dfrac{2}{7}}\) | \(\frac{3\cdot 7}{5\cdot 2}=\frac{21}{10}\) | über Kreuz multiplizieren |
| Bruch durch Zahl | \(\frac{\dfrac{3}{4}}{2}\) | \(\frac{3}{4\cdot 2}=\frac{3}{8}\) | die Zahl geht in den Nenner |
| Zahl durch Bruch | \(\frac{6}{\dfrac{3}{5}}\) | \(\frac{6\cdot 5}{3}=10\) | der Nenner klettert nach oben |
Doppelbruch: Der Hauptbruchstrich ist der längste — das Gleichheitszeichen steht auf seiner Höhe.
Bevor es um Variablen geht: Schalte den Doppelbruch Schritt für Schritt auseinander und beobachte, wann welcher Bruch gestürzt wird.
Doppelbruch-Umformer
Stelle mit den vier Reglern die Zahlen ein. Klicke dann in die Zeichnung oder wähle sie mit der Tabulatortaste aus und schalte mit Enter beziehungsweise den Pfeiltasten durch die fünf Schritte.
Achte auf Schritt 3: Nur der hintere Bruch wird gestürzt. Wer beide stürzt oder den vorderen erwischt, rechnet die Aufgabe von vornherein falsch.
Bruchterme mit Variablen dividieren
Ein Bruchterm ist ein Bruch, in dessen Nenner mindestens eine Variable vorkommt, etwa \(\frac{3x}{y^2}\). Beim Dividieren ändert sich nichts an der Regel: Der hintere Bruchterm wird gestürzt, dann wird multipliziert. Neu ist allein die Buchführung über die Nenner, denn keiner von ihnen darf null werden.
- Kehrwert bilden:\(\frac{3x}{y^2}:\frac{6x^2}{y}=\frac{3x}{y^2}\cdot\frac{y}{6x^2}\)
- Multiplizieren:\(=\frac{3xy}{6x^2y^2}\)
- Kürzen:\(=\frac{1}{2xy}\) mit \(x\neq 0,\ y\neq 0\)
Definitionsmenge: Bei \(\frac{a}{b}:\frac{c}{d}\) gilt \(b\neq 0,\ c\neq 0,\ d\neq 0\).
- Bruchterm:Ein Bruch mit mindestens einer Variablen im Nenner, zum Beispiel \(\frac{3x}{y^2}\).
- Divisor null:Der Zähler des hinteren Bruchs darf nicht null werden, sonst gibt es keinen Kehrwert.
- Probe:Eine erlaubte Zahl in Aufgabe und Ergebnis einsetzen. Stimmen beide Werte überein, war die Umformung richtig.
| Aufgabe | mit Kehrwert | Ergebnis | Bedingungen |
|---|---|---|---|
| \(\frac{x}{4}:\frac{x}{8}\) | \(\frac{x}{4}\cdot\frac{8}{x}\) | \(2\) | \(x\neq 0\) |
| \(\frac{2a}{b}:4\) | \(\frac{2a}{b}\cdot\frac{1}{4}\) | \(\frac{a}{2b}\) | \(b\neq 0\) |
| \(\frac{5}{\dfrac{a}{3}}\) | \(5\cdot\frac{3}{a}\) | \(\frac{15}{a}\) | \(a\neq 0\) |
| \(\frac{a^2}{b}:\frac{a}{b^2}\) | \(\frac{a^2}{b}\cdot\frac{b^2}{a}\) | \(ab\) | \(a\neq 0,\; b\neq 0\) |
Allgemeine Hinweise
Nur den zweiten Bruch stürzen
Den Kehrwert bildest du nur vom Bruch hinter dem Geteiltzeichen. Der erste Bruch bleibt stehen.
Langer Bruchstrich
Bei Doppelbrüchen zeichnest du den Hauptbruchstrich deutlich länger. So verwechselst du Zähler und Nenner nicht.
Null im Divisor
Durch null darfst du nicht teilen. Deshalb darf auch der Zähler des zweiten Bruchs nicht null werden.
Videos
Zwei kurze Erklärvideos zu diesem Unterkapitel — eines für die Idee, eines für das Rechnen. Sie starten erst, wenn du sie anklickst.
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