Die Übersetzung am Fahrrad
AFB IAn einem Rennrad sitzen vorn die Kettenblätter und hinten die Ritzel. Das Übersetzungsverhältnis \(ü\) gibt an, wie oft sich das Hinterrad bei einer einzigen Kurbelumdrehung dreht. Man erhält es als Quotient der Zähnezahlen: \(ü=\frac{z_{\text{vorn}}}{z_{\text{hinten}}}\). Material M1 nennt die Zähnezahlen zweier Gänge.
| Gang | Zähne vorn \(z_{\text{vorn}}\) | Zähne hinten \(z_{\text{hinten}}\) |
|---|---|---|
| Gang A (Ebene) | 52 | 13 |
| Gang B (Steigung) | 39 | 26 |
Beide Gänge gehören zu demselben Rad. Gleiche Kurbel, unterschiedliche Übersetzung.
- Berechnen Sie für beide Gänge das Übersetzungsverhältnis und geben Sie es vollständig gekürzt an.
- Berechnen Sie mit dem Ansatz \(ü_A: ü_B\), um welchen Faktor Gang A stärker übersetzt als Gang B.
- Geben Sie an den Kehrwert von \(ü_B\) und erklären Sie, welche Größe er im Sachzusammenhang beschreibt.
Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Gang A: \(ü_A=\frac{52}{13}=4\). Gang B: \(ü_B=\frac{39}{26}=\frac{3}{2}\), denn Zähler und Nenner lassen sich durch 13 teilen. In Gang A dreht sich das Hinterrad also viermal, in Gang B eineinhalbmal je Kurbelumdrehung.
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Ansatz und Umformung zur Multiplikation mit dem Kehrwert:
\(ü_A: ü_B = 4: \frac{3}{2} = \frac{4}{1}\cdot\frac{2}{3}=\frac{8}{3}\)
Es ist \(\frac{8}{3}=2\frac{2}{3}\approx 2{,}67\). Gang A übersetzt also etwa 2,67-mal so stark wie Gang B.
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Der Kehrwert von \(ü_B=\frac{3}{2}\) ist \(\frac{2}{3}\). Er gibt an, wie viele Kurbelumdrehungen für eine Hinterradumdrehung nötig sind: in Gang B nur \(\frac{2}{3}\) einer Umdrehung.
Dichten im Chemieraum
AFB IIDie Dichte eines Körpers ist der Quotient aus Masse und Volumen: \(\rho=\frac{m}{V}\). In einer Praktikumsstunde werden drei Proben untersucht. Die Messwerte in Material M1 sind bewusst als Brüche notiert, damit exakt und nicht mit gerundeten Dezimalzahlen gerechnet wird. Die Einheit ist jeweils \([\rho]=\frac{\text{g}}{\text{cm}^3}\).
| Probe | Masse \(m\) in g | Volumen \(V\) in cm³ |
|---|---|---|
| Balsaholz | \(\frac{9}{2}\) | \(\frac{45}{4}\) |
| Aluminium | \(\frac{27}{2}\) | \(5\) |
| Kork | \(\frac{3}{5}\) | gesucht, Dichte \(\frac{6}{25}\) |
Alle drei Werte stammen aus derselben Waage und demselben Messzylinder. Der Bruchstrich in \(\rho=\frac{m}{V}\) ist ein Divisionszeichen.
- Berechnen Sie die Dichte des Balsaholzes. Notieren Sie den Ansatz zunächst als Doppelbruch.
- Berechnen Sie die Dichte des Aluminiumstücks.
- Bestimmen Sie das Volumen des Korkstücks.
Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Ansatz als Doppelbruch:
\(\rho=\dfrac{\dfrac{9}{2}}{\dfrac{45}{4}}=\frac{9}{2}:\frac{45}{4}=\frac{9}{2}\cdot\frac{4}{45}\)
\(=\frac{36}{90}=\frac{2}{5}=0{,}4\). Das Balsaholz hat die Dichte \(0{,}4\ \frac{\text{g}}{\text{cm}^3}\).
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Division eines Bruchs durch eine natürliche Zahl: \(\rho=\frac{27}{2}:5=\frac{27}{2}\cdot\frac{1}{5}=\frac{27}{10}\). Das sind \(2{,}7\ \frac{\text{g}}{\text{cm}^3}\) — ein typischer Wert für Aluminium.
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Umstellen der Formel: aus \(\rho=\frac{m}{V}\) folgt \(V=\frac{m}{\rho}\). Einsetzen ergibt den Doppelbruch
\(V=\dfrac{\dfrac{3}{5}}{\dfrac{6}{25}}=\frac{3}{5}\cdot\frac{25}{6}=\frac{75}{30}=\frac{5}{2}\)
Das Korkstück hat also ein Volumen von \(2{,}5\) cm³.
Saftschorle für das Schulfest
AFB IIDie Klasse 11b verkauft auf dem Schulfest Apfelschorle. Im Kühlbehälter stehen \(\frac{15}{4}\) Liter fertige Schorle. Ausgeschenkt wird in Gläsern zu je \(\frac{3}{8}\) Liter. Gemischt wurde nach dem Verhältnis 2 Teile Saft auf 3 Teile Wasser.
Die Frage „wie oft passt ein Glas in den Vorrat?“ ist eine Division. Der Vorrat ist der Dividend, das Glas der Divisor.
- Berechnen Sie, wie viele volle Gläser sich aus dem Vorrat einschenken lassen.
- Berechnen Sie, wie viele Liter reiner Apfelsaft in den \(\frac{15}{4}\) Litern Schorle stecken.
- Begründen Sie, warum Teilaufgabe 1 eine Division und keine Multiplikation verlangt.
Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
\(\frac{15}{4}:\frac{3}{8}=\frac{15}{4}\cdot\frac{8}{3}=\frac{120}{12}=10\). Aus dem Vorrat lassen sich genau 10 Gläser einschenken.
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Auf 2 Teile Saft kommen 3 Teile Wasser, die Schorle besteht also aus 5 gleich großen Teilen; der Saftanteil beträgt \(\frac{2}{5}\).
\(\frac{2}{5}\cdot\frac{15}{4}=\frac{30}{20}=\frac{3}{2}\)
In dem Behälter stecken \(1{,}5\) Liter reiner Apfelsaft.
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Gefragt ist, wie oft die Portion \(\frac{3}{8}\) L in den Vorrat \(\frac{15}{4}\) L hineinpasst. Genau dieses „wie oft passt hinein“ ist die Bedeutung der Division. Eine Multiplikation würde stattdessen den Inhalt mehrerer Gläser zusammenzählen und löste damit eine ganz andere Frage.
Zwei Wanderkarten, ein Weg
AFB IIIEin Maßstab \(1:a\) bedeutet, dass jede Strecke auf der Karte den Bruchteil \(\frac{1}{a}\) ihrer wahren Länge misst. Material M1 zeigt denselben Wanderweg auf zwei Karten: Karte A hat den Maßstab \(1:25\,000\), Karte B den Maßstab \(1:50\,000\). Auf Karte A ist der Weg \(\frac{9}{2}\) cm lang.
Beide Karten zeigen dieselbe Landschaft. Nur der Maßstab unterscheidet sich.
- Berechnen Sie die wahre Länge des Weges in Kilometern.
- Bestimmen Sie mithilfe des Doppelbruchs \(\dfrac{\dfrac{1}{25\,000}}{\dfrac{1}{50\,000}}\), um welchen Faktor die Abbildung auf Karte A größer ist als auf Karte B, und geben Sie die Länge des Weges auf Karte B an.
- Zeigen Sie, dass für zwei Maßstäbe \(1:a\) und \(1:b\) allgemein \(\dfrac{\dfrac{1}{a}}{\dfrac{1}{b}}=\frac{b}{a}\) gilt, und beurteilen Sie damit die Aussage: „Je größer die Maßstabszahl, desto größer die Abbildung.“
Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Wahre Länge \(=\frac{9}{2}\ \text{cm}\cdot 25\,000=\frac{225\,000}{2}\ \text{cm}=112\,500\ \text{cm}\).
Umrechnung: \(112\,500\ \text{cm}=1\,125\ \text{m}\), also \(1{,}125\) km.
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Der Doppelbruch wird zur Multiplikation mit dem Kehrwert:
\(\dfrac{\dfrac{1}{25\,000}}{\dfrac{1}{50\,000}}=\frac{1}{25\,000}\cdot\frac{50\,000}{1}=\frac{50\,000}{25\,000}=2\)
Jede Strecke erscheint auf Karte A doppelt so lang wie auf Karte B. Der Weg misst dort also \(\frac{9}{2}:2=\frac{9}{4}=2{,}25\) cm.
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Allgemein gilt für \(a\neq 0\) und \(b\neq 0\):
\(\dfrac{\dfrac{1}{a}}{\dfrac{1}{b}}=\frac{1}{a}:\frac{1}{b}=\frac{1}{a}\cdot\frac{b}{1}=\frac{b}{a}\)
Die Probe bestätigt Teilaufgabe 2: mit \(a=25\,000\) und \(b=50\,000\) ergibt sich \(\frac{b}{a}=2\).
Die Aussage ist falsch. Ist \(b>a\), so ist \(\frac{b}{a}>1\), und die Karte mit der kleineren Maßstabszahl \(a\) bildet größer ab. Eine große Maßstabszahl bedeutet also eine kleine Abbildung — die Aussage kehrt den Zusammenhang um.
Zwei Läuferinnen, eine Strecke
AFB IIIMira und Jule laufen dieselbe Trainingsrunde von \(\frac{7}{2}\) km. Mira benötigt dafür \(\frac{7}{20}\) Stunden, Jule \(\frac{2}{5}\) Stunden. Die Durchschnittsgeschwindigkeit ist der Quotient aus Weg und Zeit: \(v=\frac{s}{t}\), die Einheit ist \([v]=\frac{\text{km}}{\text{h}}\).
- Berechnen Sie Miras Durchschnittsgeschwindigkeit.
- Berechnen Sie Jules Durchschnittsgeschwindigkeit und den Quotienten \(\frac{v_{\text{Mira}}}{v_{\text{Jule}}}\).
- Zeigen Sie, dass für dieselbe Strecke \(s\) und zwei Zeiten \(t_1\) und \(t_2\) allgemein \(\dfrac{v_1}{v_2}=\dfrac{t_2}{t_1}\) gilt, und interpretieren Sie dieses Ergebnis.
Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
\(v_{\text{Mira}}=\dfrac{\dfrac{7}{2}}{\dfrac{7}{20}}=\frac{7}{2}\cdot\frac{20}{7}=\frac{140}{14}=10\). Mira läuft im Schnitt \(10\ \frac{\text{km}}{\text{h}}\).
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
\(v_{\text{Jule}}=\dfrac{\dfrac{7}{2}}{\dfrac{2}{5}}=\frac{7}{2}\cdot\frac{5}{2}=\frac{35}{4}=8{,}75\), also \(8{,}75\ \frac{\text{km}}{\text{h}}\).
\(\dfrac{v_{\text{Mira}}}{v_{\text{Jule}}}=10:\frac{35}{4}=\frac{10}{1}\cdot\frac{4}{35}=\frac{40}{35}=\frac{8}{7}\)
Mira ist also \(\frac{8}{7}\approx 1{,}14\)-mal so schnell wie Jule, das sind rund 14 Prozent mehr.
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Mit \(v_1=\frac{s}{t_1}\) und \(v_2=\frac{s}{t_2}\) gilt für \(s\neq 0\), \(t_1\neq 0\) und \(t_2\neq 0\):
\(\dfrac{v_1}{v_2}=\dfrac{\dfrac{s}{t_1}}{\dfrac{s}{t_2}}=\frac{s}{t_1}\cdot\frac{t_2}{s}=\frac{t_2}{t_1}\)
Probe mit den Zahlen aus Teilaufgabe 2: \(\frac{t_2}{t_1}=\dfrac{\dfrac{2}{5}}{\dfrac{7}{20}}=\frac{2}{5}\cdot\frac{20}{7}=\frac{40}{35}=\frac{8}{7}\) — dasselbe Ergebnis.
Interpretation: Auf derselben Strecke verhält sich das Tempo genau umgekehrt zur benötigten Zeit. Wer doppelt so lange braucht, läuft halb so schnell. Die Strecke \(s\) kürzt sich heraus und spielt für den Vergleich keine Rolle.