Bruchrechnen: Add./Sub.: Übungen – Mathe Klasse 11

1Die Fachbegriffe im ZusammenhangAFB I

Sechs Fachbegriffe aus dem Unterkapitel gehören in den Lückentext. Ein Begriff bleibt übrig.

Ergänzen Sie den Text so, dass jede Aussage fachlich richtig ist.

Wort anklicken, dann Lücke anklicken (oder umgekehrt) — mit Tab und Enter geht es genauso. Ein Klick auf eine gefüllte Lücke legt das Wort zurück.

Die Zahl über dem Bruchstrich heißt , die Zahl darunter heißt . Zwei Brüche mit derselben Zahl unter dem Bruchstrich nennt man ; nur sie darf man direkt zusammenzählen. Sind die Nenner verschieden, muss man zuerst beide Brüche . Der gemeinsame Nenner, auf den beide gebracht werden, heißt . Am kleinsten wird er, wenn man das der beiden Nenner benutzt.

Der übrig gebliebene Begriff gehört zu einem anderen Vorgang: Beim Erweitern werden die Zahlen größer und die Teile feiner, beim Kürzen ist es umgekehrt. Beide ändern den Wert des Bruchs nicht.

2Gleichnamige Brüche addierenAFB I

Gegeben ist \(\dfrac{2}{9}+\dfrac{5}{9}\).

Berechnen Sie die Summe.

Trage Zähler und Nenner ein — vollständig gekürzt. Eine ganze Zahl bekommt den Nenner 1, ein Minus gehört in den Zähler. Enter prüft.

Gleicher Nenner: Nur die Zähler werden addiert, \(\dfrac{2+5}{9}=\dfrac{7}{9}\). Der Nenner bleibt 9 — nicht 18.

3Hauptnenner-TabelleAFB I

Fünf Nennerpaare. Bestimmen Sie jeweils den kleinsten gemeinsamen Nenner (das kgV).

Fülle alle Felder aus und prüfe dann auf einmal. Dezimalzahlen mit Komma oder Punkt, Enter prüft ebenfalls.

Nenner	6 und 8	4 und 10	7 und 3	12 und 18	5 und 25
kgV

24, 20, 21, 36 und 25. Bei 7 und 3 ist das Produkt schon das kgV, bei 5 und 25 ist der größere Nenner selbst der Hauptnenner.

4Ungleichnamig subtrahierenAFB I

Gegeben ist \(\dfrac{5}{6}-\dfrac{1}{4}\).

Berechnen Sie die Differenz.

Trage Zähler und Nenner ein — vollständig gekürzt. Eine ganze Zahl bekommt den Nenner 1, ein Minus gehört in den Zähler. Enter prüft.

Hauptnenner \(\operatorname{kgV}(6,4)=12\): \(\dfrac{10}{12}-\dfrac{3}{12}=\dfrac{7}{12}\).

5Kleiner, gleich oder größer als 1?AFB I

Acht Summen und Differenzen. Entscheiden Sie ohne Taschenrechner, ob das Ergebnis kleiner als 1, genau 1 oder größer als 1 ist.

Ziehe jede Karte in den passenden Korb — oder wähle sie mit Enter aus und drücke dann die Ziffer des Korbs (0 legt sie zurück).

1kleiner als 1

2genau 1

3größer als 1

Gleichnamige Paare wie \(\tfrac78+\tfrac18\) ergänzen sich zu 1. Bei \(\tfrac34+\tfrac13\) reicht die Überlegung: \(\tfrac34\) fehlt nur ein Viertel zur 1, und \(\tfrac13\) ist größer als ein Viertel.

6Den kleinsten Hauptnenner findenAFB I

Zwei Brüche sollen addiert werden. Ihre Nenner sind \(9\) und \(12\).

Bestimmen Sie den kleinsten möglichen Hauptnenner.

Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.

Die Vielfachen von \(9\) lauten \(9,\;18,\;27,\;36,\;\dots\), die von \(12\) lauten \(12,\;24,\;36,\;\dots\) Die erste Zahl, die in beiden Listen steht, ist \(36\). Das Produkt \(9\cdot 12=108\) wäre ebenfalls ein gemeinsamer Nenner, aber dreimal so groß.

7Stimmt das?AFB I

Fünf Aussagen zur Addition und Subtraktion von Brüchen. Entscheiden Sie jeweils, ob die Aussage richtig ist.

5 Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann startest du die Serie mit „Neue Runde“ neu.

Aussage 1 von 5

Der Hauptnenner muss ein gemeinsames Vielfaches sein; das Produkt funktioniert immer, das kgV hält die Zahlen klein.

8Eine Summe größer als 1AFB II

Gegeben ist \(\dfrac{3}{4}+\dfrac{5}{6}\).

Berechnen Sie die Summe als vollständig gekürzten Bruch.

Trage Zähler und Nenner ein — vollständig gekürzt. Eine ganze Zahl bekommt den Nenner 1, ein Minus gehört in den Zähler. Enter prüft.

\(\dfrac{9}{12}+\dfrac{10}{12}=\dfrac{19}{12}\). Der Bruch ist größer als 1 — das ist erlaubt und muss nicht als gemischte Zahl geschrieben werden.

9Aufgabe und ErgebnisAFB II

Zwölf Karten: sechs Rechnungen und sechs Ergebnisse. Rechnen Sie im Kopf und finden Sie die Paare.

Decke zwei Karten auf, die zusammengehören. Mit der Tastatur: Tab zur Karte, Enter aufdecken, Pfeiltasten zum Wandern.

Versuche: 0 von 16

\(\tfrac12\pm\tfrac13\) haben den Hauptnenner 6 und liefern \(\tfrac56\) bzw. \(\tfrac16\). \(\tfrac13+\tfrac16=\tfrac26+\tfrac16=\tfrac36=\tfrac12\) — hier muss am Ende gekürzt werden.

10Rechenkette: Subtraktion über das kgVAFB II

Berechnet werden soll \(\dfrac{7}{10}-\dfrac{2}{15}\) auf dem Weg über das kgV.

Rechnen Sie die vier Teilschritte nacheinander aus.

Rechne die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft. Dezimalzahlen mit Komma oder Punkt.

Hauptnenner \(\operatorname{kgV}(10,15)\)
Neuer Zähler von \(\tfrac{7}{10}\)
Neuer Zähler von \(\tfrac{2}{15}\)
Zähler des Ergebnisses

\(\dfrac{21}{30}-\dfrac{4}{30}=\dfrac{17}{30}\). Mit dem Produkt 150 als Nenner wäre die Rechnung \(\dfrac{105}{150}-\dfrac{20}{150}=\dfrac{85}{150}\) — richtig, aber danach muss mit 5 gekürzt werden.

11Der fehlende ZählerAFB II

Es gilt \(\dfrac{5}{6}+\dfrac{3}{4}=\dfrac{\;?\;}{12}\).

Bestimmen Sie den fehlenden Zähler.

Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Dezimalzahlen mit Komma oder Punkt, Enter prüft direkt.

\(\dfrac{5}{6}=\dfrac{10}{12}\) und \(\dfrac{3}{4}=\dfrac{9}{12}\), zusammen \(\dfrac{19}{12}\).

12Rechenkette: über Kreuz addierenAFB II

Berechnet werden soll \(\dfrac{3}{5}+\dfrac{2}{7}\) auf dem Weg über Kreuz.

Rechnen Sie die vier Teilschritte nacheinander aus.

Rechne die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft.

Wie lautet der Hauptnenner, also das Produkt der beiden Nenner 5 und 7? Hauptnenner
Der erste Bruch wird mit 7 erweitert. Wie lautet sein neuer Zähler (3 mal 7)? Zähler 1
Der zweite Bruch wird mit 5 erweitert. Wie lautet sein neuer Zähler (5 mal 2)? Zähler 2
Wie lautet der Zähler der Summe, wenn beide Zähler addiert werden? Zähler der Summe

Das Ergebnis lautet \(\dfrac{31}{35}\). Weil \(5\) und \(7\) keinen gemeinsamen Teiler haben, ist \(35\) zugleich das kgV — der Weg über das kgV hätte hier dieselben Zahlen geliefert.

13Drei Brüche auf einmalAFB II

Gegeben ist \(\dfrac{2}{3}-\dfrac{3}{5}+\dfrac{1}{15}\).

Berechnen Sie den Wert als vollständig gekürzten Bruch.

Trage Zähler und Nenner ein — vollständig gekürzt. Eine ganze Zahl bekommt den Nenner 1, ein Minus gehört in den Zähler. Enter prüft.

Hauptnenner 15: \(\dfrac{10}{15}-\dfrac{9}{15}+\dfrac{1}{15}=\dfrac{2}{15}\). Der Nenner 15 ist bereits Vielfaches von 3 und 5, also muss nur erweitert werden.

14Bruch und DezimalzahlAFB II

Drei Summen sollen als Dezimalzahl angegeben werden. Rechnen Sie exakt (kein Runden nötig).

Fülle alle Felder aus und prüfe dann auf einmal. Dezimalzahlen mit Komma oder Punkt, Enter prüft ebenfalls.

\(\tfrac18+\tfrac35=\) \(\tfrac34-\tfrac{2}{5}=\) \(1-\tfrac{3}{20}-\tfrac14=\)

\(0{,}125+0{,}6=0{,}725\); \(0{,}75-0{,}4=0{,}35\); \(1-0{,}15-0{,}25=0{,}6\). Über den Hauptnenner 20 geht es genauso: \(\tfrac{20}{20}-\tfrac{3}{20}-\tfrac{5}{20}=\tfrac{12}{20}\).

15kgV oder Produkt — was ist kleiner?AFB II

Sechs Nennerpaare stehen zur Auswahl. In jeder Zeile können mehrere Aussagen zutreffen, aber es trifft immer mindestens eine zu.

Entscheiden Sie für jedes Paar, welche Aussagen gelten.

Setze in jeder Zeile überall dort ein Kreuz, wo die Aussage zutrifft — es können mehrere pro Zeile sein. Enter setzt und löscht.

Nenner der beiden Brüche	kgV ist kleiner als das Produkt	kgV und Produkt sind gleich	ein Nenner ist selbst schon Hauptnenner
\(4\) und \(10\)
\(3\) und \(7\)
\(5\) und \(15\)
\(6\) und \(9\)
\(x\) und \(x+1\)
\(x\) und \(x^{2}\)

Immer wenn die Nenner einen gemeinsamen Teiler haben, ist das kgV kleiner als das Produkt: \(\operatorname{kgV}(4,10)=20\) gegenüber \(40\), \(\operatorname{kgV}(6,9)=18\) gegenüber \(54\). Ist ein Nenner sogar ein Vielfaches des anderen, so ist er selbst der Hauptnenner — das gilt für \(15\) und ebenso für \(x^{2}\). Bei \(3\) und \(7\) sowie bei \(x\) und \(x+1\) gibt es keinen gemeinsamen Teiler, deshalb fallen kgV und Produkt zusammen.

16Bruchterme mit gleichem NennerAFB II

Gegeben ist \(\dfrac{2}{x}+\dfrac{3}{x}\) mit \(x\neq 0\).

Fassen Sie zu einem Bruch zusammen.

Gib den vereinfachten Term ein. Schreibweise: 3x^2 - 5x + 1, Malzeichen * oder weglassen, Brüche mit /, Potenzen mit ^. Enter prüft.

Gleicher Nenner \(x\): \(\dfrac{2+3}{x}=\dfrac{5}{x}\).

17Fehlersuche im BruchtermAFB III

Jemand hat \(\dfrac{2}{x}+\dfrac{5}{x+3}\) in sechs Zeilen zusammengefasst. Drei Zeilen enthalten einen Fehler.

Überprüfen Sie jede Zeile und markieren Sie die fehlerhaften.

In diesem Lösungsweg stecken Fehler. Klicke genau die falschen Zeilen an — die richtigen musst du stehen lassen.

Alle drei Fehler sind typische Stolperstellen bei Bruchtermen: das Vorzeichen der Definitionslücke, die fehlende Klammer beim Erweitern und das Zusammenfassen ungleichartiger Summanden. Das richtige Ergebnis lautet \(\dfrac{7x+6}{x(x+3)}\) für alle \(x\neq 0\) und \(x\neq -3\).

18Bruchterme mit verschiedenen NennernAFB III

Gegeben ist \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x+1}\) mit \(x\neq 0\) und \(x\neq -1\).

Fassen Sie zu einem einzigen Bruch zusammen.

Gib den vereinfachten Term ein. Schreibweise: 3x^2 - 5x + 1, Malzeichen * oder weglassen, Brüche mit /, Potenzen mit ^. Enter prüft.

Hauptnenner \(x(x+1)\): \(\dfrac{x+1}{x(x+1)}+\dfrac{x}{x(x+1)}=\dfrac{2x+1}{x(x+1)}\). Der Nenner darf auch als \(x^2+x\) geschrieben werden.

19Bauplan für einen BruchtermAFB III

Für die Aufgabe \(\dfrac{3}{x}-\dfrac{1}{x+2}\) liegen sieben Arbeitsschritte durcheinander. Fünf davon gehören in den Lösungsweg, zwei sind falsch.

Ordnen Sie die richtigen Schritte in die passende Reihenfolge.

Setze den Bauplan von links nach rechts zusammen. Ein Klick legt den Baustein auf den nächsten freien Platz, ein Klick im Bauplan legt ihn zurück. Enter funktioniert genauso.

Das Ergebnis lautet \(\dfrac{2x+6}{x(x+2)}\). Die beiden falschen Bausteine beschreiben genau die zwei häufigsten Kurzschlüsse: Zähler ohne gemeinsamen Nenner verrechnen und Nenner addieren statt multiplizieren. Eine Zahlenprobe mit \(x=1\) entlarvt beide sofort, denn \(\dfrac{3}{1}-\dfrac{1}{3}=\dfrac{8}{3}\) stimmt mit \(\dfrac{2+6}{1\cdot 3}\) überein.

20Eine Gleichung mit BrüchenAFB III

Für welche Zahl \(x\) gilt \(\dfrac{x}{4}+\dfrac{x}{6}=5\)?

Bestimmen Sie \(x\).

Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Dezimalzahlen mit Komma oder Punkt, Enter prüft direkt.

Hauptnenner 12: \(\dfrac{3x}{12}+\dfrac{2x}{12}=\dfrac{5x}{12}\). Aus \(\dfrac{5x}{12}=5\) folgt \(5x=60\), also \(x=12\). Probe: \(3+2=5\).

Interaktive ÜbungBruchrechnen: Addition und Subtraktion

Übungsaufgaben