Bruchrechnen: Add./Sub.

Ein Bruch beantwortet zwei Fragen auf einmal: In wie viele gleiche Teile wurde ein Ganzes zerlegt, und wie viele dieser Teile werden genommen? Die erste Antwort steht unten, die zweite oben. Wer sich das merkt, kann jede Rechenregel für Brüche daraus ableiten.

Zwei Brüche heißen gleichnamig, wenn sie denselben Nenner haben. Dann sind die Teile beider Brüche gleich groß, und man kann sie einfach zusammenzählen — so wie man zwei Tüten mit Siebteln zusammenschüttet. Der Nenner sagt dabei nur, wie groß ein Teil ist; er ändert sich beim Addieren nicht.

• gleichnamig:Zwei Brüche haben denselben Nenner. Nur dann darf man die Zähler direkt addieren.
• ungleichnamig:Die Nenner sind verschieden. Vor dem Addieren muss ein gemeinsamer Nenner hergestellt werden.
• erweitern:Zähler und Nenner werden mit derselben Zahl multipliziert. Der Wert des Bruchs ändert sich dabei nicht, nur die Teile werden feiner: \(\dfrac{2}{5}=\dfrac{4}{10}=\dfrac{20}{50}\).
• Hauptnenner:Ein Nenner, auf den beide Brüche erweitert werden können. Er muss ein gemeinsames Vielfaches der beiden Nenner sein.

Bei ungleichnamigen Brüchen sind die Teile verschieden groß, ein direktes Zusammenzählen ergäbe Unsinn. Also werden beide Brüche zuerst so erweitert, dass sie denselben Nenner tragen. Dieser gemeinsame Nenner heißt Hauptnenner. Zu ihm führen zwei Wege, die beide richtig sind und sich nur im Aufwand unterscheiden.

Warum funktioniert der Weg über Kreuz immer? Weil \(\dfrac{a}{b}\) mit \(d\) und \(\dfrac{c}{d}\) mit \(b\) erweitert wird. Danach haben beide den Nenner \(b\cdot d\), und die Zähler lauten \(a\cdot d\) und \(b\cdot c\). Man muss dafür nichts suchen, sondern nur multiplizieren. Genau das macht ihn zum sicheren Standardweg — vor allem später bei Brüchen mit Variablen.

• Über Kreuz:\(\dfrac{2}{3}+\dfrac{4}{10}=\dfrac{20+12}{30}=\dfrac{32}{30}=\dfrac{16}{15}\)
• Über das kgV:\(\dfrac{3}{4}+\dfrac{5}{6}=\dfrac{9}{12}+\dfrac{10}{12}=\dfrac{19}{12}\)
• Vergleich:Über Kreuz ergibt dieselbe Aufgabe \(\dfrac{38}{24}\) — richtig, aber noch zu kürzen.

Bevor es weitergeht, probiere den Hauptnenner selbst aus. Stelle zwei Brüche ein und vergleiche, wie fein der gemeinsame Raster wird — einmal mit dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen der Nenner, einmal mit ihrem Produkt.

Beide Wege sind richtig: Das Produkt der Nenner ist immer ein gemeinsamer Nenner, das kgV ist der kleinste. Stelle einmal Nenner ohne gemeinsamen Teiler ein, etwa 3 und 5 — dann fallen kgV und Produkt zusammen und der Unterschied verschwindet.

In der Oberstufe stehen im Nenner selten nur Zahlen. Sobald eine Variable auftaucht, spricht man von einem Bruchterm. Die gute Nachricht: Es kommt keine neue Regel dazu. Erweitert und addiert wird genau wie bei Zahlen — nur muss man zusätzlich angeben, für welche Werte der Variablen der Term überhaupt erlaubt ist.

Auch bei Bruchtermen lohnt sich manchmal das kgV. Stehen \(x\) und \(x^{2}\) in den Nennern, so ist das Produkt \(x^{3}\), das kgV aber nur \(x^{2}\), denn \(x^{2}\) ist bereits ein Vielfaches von \(x\). Der erste Bruch wird deshalb nur mit \(x\) erweitert.

• Produkt als Nenner:\(\dfrac{2}{x}+\dfrac{3}{x+1}=\dfrac{2(x+1)+3x}{x(x+1)}=\dfrac{5x+2}{x(x+1)}\) mit \(x\neq 0,\ x\neq -1\)
• kgV als Nenner:\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^{2}}=\dfrac{x}{x^{2}}+\dfrac{1}{x^{2}}=\dfrac{x+1}{x^{2}}\) mit \(x\neq 0\)

• Nenner faktorisiert lassen:\(x(x+1)\) stehen lassen statt \(x^{2}+x\) auszurechnen. So bleiben die verbotenen Werte ablesbar.
• Klammern setzen:Beim Erweitern mit einer Summe muss der ganze Zähler geklammert werden: \(2\cdot(x+1)\), nicht \(2\cdot x+1\).
• Zahlenprobe:Eine erlaubte Zahl einsetzen und Ausgangs- und Ergebnisterm vergleichen. Stimmen beide überein, ist die Rechnung sehr wahrscheinlich richtig.
• Minus vor der Klammer:Bei \(\dfrac{2}{x}-\dfrac{3}{x+1}\) lautet der Zähler \(2(x+1)-3x=2-x\). Das Minus wirkt auf den gesamten zweiten Zähler.