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TextaufgabenAddition und Subtraktion

Fünf Sachaufgaben mit Teilaufgaben und vollständigem Erwartungshorizont — von Anteilen auf dem Schulfest bis zu Bruchtermen am Regenbecken.

1

Getränke auf dem Schulfest

AFB I

Eine elfte Klasse verkauft auf dem Schulfest Getränke. Am Abend wird ausgezählt: Von allen verkauften Bechern entfielen \(\dfrac{3}{8}\) auf Apfelschorle und \(\dfrac{1}{4}\) auf Wasser. Der Rest ging auf Limonade. Alle Becher waren gleich groß.

  1. Berechnen Sie den Anteil der Becher, der auf Apfelschorle und Wasser zusammen entfiel.
  2. Bestimmen Sie daraus den Anteil der Limonade.
  3. Geben Sie an, ob mehr Apfelschorle oder mehr Limonade verkauft wurde, und begründen Sie Ihre Antwort.
Hinweis zu Aufgabe a)
Die Nenner \(8\) und \(4\) sind ungleich. Überlege, welcher der beiden bereits ein Vielfaches des anderen ist — dann brauchst du nur einen Bruch zu erweitern.„Berechnen“ verlangt eine nachvollziehbare Rechnung mit Ergebnis, nicht nur die Zahl.
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(\dfrac{1}{4}=\dfrac{2}{8}\), denn \(8\) ist ein Vielfaches von \(4\); der Hauptnenner ist also \(8\). Damit gilt \(\dfrac{3}{8}+\dfrac{2}{8}=\dfrac{5}{8}\). Auf Apfelschorle und Wasser zusammen entfielen \(\dfrac{5}{8}\) aller Becher.

Hinweis zu Aufgabe b)
Das Ganze entspricht \(1=\dfrac{8}{8}\). Der Rest ist die Differenz zwischen dem Ganzen und dem bereits bestimmten Anteil.„Bestimmen Sie“ verlangt ein Ergebnis, das aus einem erkennbaren Rechenschritt hervorgeht.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Das Ganze ist \(\dfrac{8}{8}\). Für die Limonade bleibt \(\dfrac{8}{8}-\dfrac{5}{8}=\dfrac{3}{8}\) der Becher.

Hinweis zu Aufgabe c)
Stelle den Anteil der Apfelschorle und deinen Anteil aus der zweiten Teilaufgabe nebeneinander. Beide Brüche haben denselben Nenner — dann entscheidet allein der Zähler.„Geben Sie an“ verlangt nur das Ergebnis; die anschließende Begründung nennt das Fachargument.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Beide Anteile sind gleich groß, nämlich jeweils \(\dfrac{3}{8}\). Weil beide Brüche denselben Nenner haben, lassen sich ihre Zähler unmittelbar vergleichen — \(3=3\), also wurde von beiden Sorten gleich viel verkauft.

2

Die Saftschorle in der Kanne

AFB II

In einer Glaskanne befinden sich bereits Apfelsaft und Mineralwasser. Der Apfelsaft füllt \(\dfrac{2}{5}\) der Kanne, das Mineralwasser \(\dfrac{1}{3}\). Material M1 zeigt die Kanne, gedanklich in gleich große Teile zerlegt.

M1Die Füllung der Kanne im Streifenmodell
Die Kanne, gedanklich in 15 gleich große Teile zerlegt6 von 15 Teilen Apfelsaft5 von 15 Teilen Mineralwassernoch frei

Erst im gemeinsamen Raster aus 15 Teilen lassen sich die beiden Anteile zusammenzählen.

  1. Berechnen Sie den Anteil der Kanne, der bereits gefüllt ist.
  2. Bestimmen Sie den Anteil, der noch frei ist.
  3. Entscheiden Sie, ob die Kanne überläuft, wenn zusätzlich \(\dfrac{1}{5}\) der Kanne mit Zitronensaft aufgefüllt wird.
Hinweis zu Aufgabe a)
Suche das kleinste gemeinsame Vielfache von \(5\) und \(3\). Beide Zahlen haben außer \(1\) keinen gemeinsamen Teiler — das erleichtert die Suche.„Berechnen“ heißt: Rechenweg aufschreiben, Ergebnis angeben, Einheit oder Bezug nennen.
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(\operatorname{kgV}(5,3)=15\), also wird mit \(3\) beziehungsweise mit \(5\) erweitert: \(\dfrac{2}{5}=\dfrac{6}{15}\) und \(\dfrac{1}{3}=\dfrac{5}{15}\). Gefüllt sind \(\dfrac{6}{15}+\dfrac{5}{15}=\dfrac{11}{15}\) der Kanne.

Hinweis zu Aufgabe b)
Die volle Kanne entspricht \(\dfrac{15}{15}\). Ziehe davon den bereits gefüllten Anteil ab — im Streifenmodell M1 sind das genau die noch weißen Teile.„Bestimmen Sie“ verlangt das Ergebnis samt dem Rechenschritt, aus dem es folgt.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Frei bleiben \(\dfrac{15}{15}-\dfrac{11}{15}=\dfrac{4}{15}\) der Kanne, also etwas mehr als ein Viertel.

Hinweis zu Aufgabe c)
Rechne \(\dfrac{1}{5}\) zuerst in Fünfzehntel um. Dann genügt es zu prüfen, ob der neue Gesamtanteil unter oder über \(1\) liegt.„Entscheiden“ verlangt ein klares Ja oder Nein mit rechnerischer Begründung.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

\(\dfrac{1}{5}=\dfrac{3}{15}\). Neuer Gesamtanteil: \(\dfrac{11}{15}+\dfrac{3}{15}=\dfrac{14}{15}\). Wegen \(\dfrac{14}{15}<\dfrac{15}{15}\) läuft die Kanne nicht über; es bleibt genau \(\dfrac{1}{15}\) frei.

3

Zwei Anstreicher, ein Raum

AFB II

Ein Klassenraum soll gestrichen werden. Frau Brandt schafft den Raum allein in \(4\) Stunden, ihr Praktikant allein in \(6\) Stunden. Beide arbeiten gleichmäßig, also in jeder Stunde gleich viel.

  1. Geben Sie an, welchen Anteil des Raums jede Person in einer Stunde streicht.
  2. Berechnen Sie den Anteil, den beide gemeinsam in einer Stunde schaffen.
  3. Beurteilen Sie die Aussage eines Schülers: „Zusammen brauchen sie \(5\) Stunden, denn das ist der Mittelwert aus \(4\) und \(6\).“
Hinweis zu Aufgabe a)
Wer für den ganzen Raum \(4\) Stunden braucht, schafft in einer Stunde den vierten Teil davon. Übertrage diesen Gedanken auf die zweite Person.„Geben Sie an“ verlangt nur das Ergebnis, hier also zwei Brüche.
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Frau Brandt schafft in einer Stunde \(\dfrac{1}{4}\) des Raums, der Praktikant \(\dfrac{1}{6}\).

Hinweis zu Aufgabe b)
Addiere die beiden Stundenanteile über den Hauptnenner. Suche dazu das kleinste gemeinsame Vielfache von \(4\) und \(6\) — es ist kleiner als das Produkt der beiden Zahlen.„Berechnen“ verlangt einen nachvollziehbaren Rechenweg mit Ergebnis, nicht nur die Zahl.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(\operatorname{kgV}(4,6)=12\). Erweitern liefert \(\dfrac{3}{12}+\dfrac{2}{12}\), gemeinsam also \(\dfrac{5}{12}\) des Raums pro Stunde.

Hinweis zu Aufgabe c)
Vergleiche deinen Stundenanteil aus der zweiten Teilaufgabe mit \(\dfrac{1}{5}\), dem Anteil, den die Behauptung unterstellt. Frage dich außerdem, ob zwei Personen zusammen überhaupt länger brauchen können als eine allein.„Beurteilen“ verlangt ein begründetes Urteil mit eigenen Argumenten — nicht nur richtig oder falsch.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Die Aussage ist falsch. Gemeinsam schaffen die beiden \(\dfrac{5}{12}\) pro Stunde, in \(5\) Stunden also weit mehr als den ganzen Raum. Zusammenarbeit macht schneller als jede Person allein, das Ergebnis muss daher unter \(4\) Stunden liegen; tatsächlich sind nach zwei Stunden bereits \(\dfrac{10}{12}\) geschafft.

4

Zwei Pumpen am Regenbecken

AFB III

Ein Regenwasserbecken einer Schule wird von zwei Pumpen leergepumpt. Pumpe A benötigt allein \(x\) Stunden für das gesamte Becken. Pumpe B ist schwächer und braucht allein \(2\) Stunden länger. Beide Pumpen fördern gleichmäßig.

  1. Stellen Sie auf einen Term für den Anteil des Beckens, den beide Pumpen zusammen in einer Stunde leeren.
  2. Fassen Sie zusammen diesen Term zu einem einzigen Bruch und geben Sie an, welche Werte für \(x\) ausgeschlossen sind.
  3. Berechnen Sie den Anteil für \(x=3\) und deuten Sie das Ergebnis im Sachzusammenhang.
Hinweis zu Aufgabe a)
Pumpe B braucht \(x+2\) Stunden. Wer für das ganze Becken \(x\) Stunden braucht, schafft in einer Stunde \(\dfrac{1}{x}\) davon.„Stellen Sie auf“ verlangt einen Term, noch keine Umformung.
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Pumpe A schafft \(\dfrac{1}{x}\) pro Stunde, Pumpe B schafft \(\dfrac{1}{x+2}\) pro Stunde. Zusammen ergibt das den Term \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x+2}\).

Hinweis zu Aufgabe b)
Die Nenner \(x\) und \(x+2\) haben keinen gemeinsamen Faktor, deshalb ist ihr Produkt zugleich der kleinste Hauptnenner. Denke beim Erweitern an die Klammern. Für die ausgeschlossenen Werte frage dich, wann einer der Nenner null wird.„Fassen Sie zusammen“ verlangt einen einzigen, vollständig vereinfachten Bruch.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Hauptnenner ist \(x(x+2)\). Erweitern über Kreuz liefert \(\dfrac{1\cdot(x+2)+1\cdot x}{x(x+2)}\), zusammengefasst \(\dfrac{2x+2}{x(x+2)}\). Ausgeschlossen sind \(x=0\) und \(x=-2\), es gilt also \(D=\mathbb{R}\setminus\{-2;\,0\}\); im Sachzusammenhang kommen ohnehin nur Werte \(x>0\) in Frage.

Hinweis zu Aufgabe c)
Setze \(x=3\) in deinen zusammengefassten Bruch ein und rechne Zähler und Nenner getrennt aus. Für die Deutung überlege, welcher Teil des Beckens nach einer Stunde weg ist — und was daraus für zwei Stunden folgt.„Berechnen“ verlangt Rechenweg und Ergebnis; das Deuten verlangt zusätzlich einen Satz in der Sprache der Sachsituation.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Einsetzen von \(x=3\): \(\dfrac{2\cdot 3+2}{3\cdot 5}=\dfrac{8}{15}\). Beide Pumpen zusammen leeren in einer Stunde \(\dfrac{8}{15}\) des Beckens. Nach zwei Stunden wäre das \(\dfrac{16}{15}\), also mehr als das ganze Becken — die Arbeit ist demnach in weniger als zwei Stunden erledigt.

5

Hinauf und wieder hinab

AFB III

Eine Wandergruppe geht eine Bergstrecke von \(s\) Kilometern hinauf und anschließend dieselbe Strecke wieder hinab (Material M2). Bergauf schafft sie \(3\;\(\tfrac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}\)\), bergab \(5\;\(\tfrac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}\)\). Pausen bleiben unberücksichtigt.

M2Das Höhenprofil der Wanderung
StartGipfelZielhinauf: 3 Kilometer je Stundehinab: 5 Kilometer je StundeStrecke sdieselbe Strecke s

Hin- und Rückweg sind gleich lang, die Geschwindigkeiten unterscheiden sich jedoch deutlich.

  1. Stellen Sie auf je einen Term für die Zeit bergauf und für die Zeit bergab.
  2. Fassen Sie zusammen die Gesamtzeit zu einem einzigen Bruch.
  3. Beurteilen Sie für \(s=6\) die Aussage: „Die Durchschnittsgeschwindigkeit beträgt \(4\;\(\tfrac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}\)\), denn das ist der Mittelwert aus \(3\) und \(5\).“
Hinweis zu Aufgabe a)
Zeit ist Weg geteilt durch Geschwindigkeit. Schreibe die beiden Zeiten als Brüche mit \(s\) im Zähler.„Stellen Sie auf“ verlangt zwei Terme, noch keine Zahlenwerte.
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Bergauf benötigt die Gruppe \(\dfrac{s}{3}\) Stunden, bergab \(\dfrac{s}{5}\) Stunden.

Hinweis zu Aufgabe b)
Der Hauptnenner von \(3\) und \(5\) ist \(15\). Erweitere beide Brüche darauf; \(s\) bleibt dabei als Faktor im Zähler stehen und lässt sich am Ende ausklammern.„Fassen Sie zusammen“ verlangt einen einzigen Bruch, keine Summe zweier Brüche.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Hauptnenner ist \(15\). Erweitern liefert \(\dfrac{5s}{15}+\dfrac{3s}{15}\), zusammengefasst \(\dfrac{8s}{15}\) Stunden.

Hinweis zu Aufgabe c)
Für die Beurteilung brauchst du die Gesamtstrecke und die Gesamtzeit — nicht den Mittelwert der beiden Geschwindigkeiten. Setze \(s=6\) in dein Ergebnis aus der zweiten Teilaufgabe ein und überlege, wie viele Kilometer insgesamt zurückgelegt wurden.„Beurteilen“ verlangt ein eigenes, rechnerisch gestütztes Urteil.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Für \(s=6\) ergibt sich \(\dfrac{8\cdot 6}{15}=\dfrac{48}{15}=3{,}2\) Stunden. Insgesamt wurden \(12\) Kilometer zurückgelegt, die Durchschnittsgeschwindigkeit beträgt also \(12:3{,}2=3{,}75\;\tfrac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}\). Die Aussage ist damit falsch: Für die langsamere Strecke wird mehr Zeit gebraucht, deshalb zieht sie den Durchschnitt stärker nach unten, als der Mittelwert der Geschwindigkeiten vermuten lässt.