Null stellen: Übungen – Mathe Klasse 11

1Bauform erkennen, Verfahren wählenAFB I

Jede der neun Funktionen lässt sich mit genau einem der drei Verfahren am schnellsten lösen. Ordnen Sie die Terme den passenden Körben zu.

Ziehe jede Karte in den passenden Korb — oder wähle sie mit Enter aus und drücke dann die Ziffer des Korbs (0 legt sie zurück).

1Wurzel ziehen (es fehlt \(bx\))

2x ausklammern (es fehlt \(c\))

3normieren und pq-Formel

Entscheidend ist, welcher Summand fehlt. Ohne \(bx\) bleibt reines Wurzelziehen, ohne Absolutglied steckt in jedem Summanden ein \(x\) und man klammert aus. Erst wenn alle drei Summanden da sind, lohnt der Weg über Normalform und pq-Formel — bei \(2x^{2}-6x+4\) also zuerst durch 2 teilen.

2Stimmt das?AFB I

Entscheiden Sie bei jeder Aussage, ob sie zutrifft. Nach jeder Antwort erscheint eine kurze Begründung.

Fünf Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann startest du die Serie mit „Neue Runde“ neu.

Aussage 1 von 5

Drei Sätze tragen alle fünf Aussagen: Die pq-Formel braucht die Normalform, das Vorzeichen von \(D\) legt die Anzahl fest, und eine Substitution ist erst mit der Rücksubstitution zu Ende.

3Graph und NullstellenzahlAFB I

Ordnen Sie jeder Beschreibung den passenden der vier schematischen Graphen zu. Es kommt nur auf die Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse an.

Klicke den passenden Graphen an. Mit der Tastatur: Tab oder Pfeiltasten zum Wandern, Enter zum Auswählen.

Nur die Anzahl der Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse ist gefragt. \(x^{2}+4x+4=(x+2)^{2}\) hat die doppelte Nullstelle \(x=-2\), der Scheitel liegt also auf der Achse. \(x^{2}-4\) liefert \(x=\pm 2\), \(x^{2}+2\) hat wegen \(D=-2\) keine Nullstelle, und der geschwungene Graph gehört zu \(x^{3}-4x=x\cdot(x-2)\cdot(x+2)\).

4Die größere NullstelleAFB II

Gegeben ist \(f(x)=x^{2}-3x-10\). Berechnen Sie beide Nullstellen und tragen Sie die größere von beiden ein.

Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.

Die Normalform steht bereits da, also \(p=-3\) und \(q=-10\). Damit ist \(D=\left(\dfrac{-3}{2}\right)^{2}-(-10)=2{,}25+10=12{,}25\) und \(\sqrt{D}=3{,}5\). Aus \(x_{1,2}=1{,}5\pm 3{,}5\) folgen \(x_{1}=5\) und \(x_{2}=-2\). Gesucht war die größere der beiden.

5Rechenweg ordnenAFB II

Die sechs Karten enthalten den vollständigen Weg zu den Nullstellen von \(f(x)=3x^{2}-12x+9\), allerdings durcheinander. Bringen Sie sie in die richtige Reihenfolge.

Ziehe die Karten in die richtige Reihenfolge — mit der Tastatur: ↑/↓ verschiebt, Shift+↑/↓ wechselt nur den Fokus.

1Ansatz notieren: \(0=3x^{2}-12x+9\).

2Durch den Leitkoeffizienten 3 teilen: \(0=x^{2}-4x+3\).

3\(p\) und \(q\) ablesen: \(p=-4\) und \(q=3\).

4Diskriminante berechnen: \(D=(-2)^{2}-3=1\).

5In die pq-Formel einsetzen: \(x_{1,2}=2\pm\sqrt{1}=2\pm 1\).

6Ergebnis angeben: \(x_{1}=3\) und \(x_{2}=1\).

Das Teilen durch 3 muss vor dem Ablesen von \(p\) und \(q\) stehen — sonst arbeitet man mit \(p=-12\) und \(q=9\) weiter. Die Diskriminante gehört vor das Einsetzen, weil sie schon verrät, dass es zwei Lösungen gibt.

6Wie viele Nullstellen?AFB II

Bestimmen Sie für jede Funktion die Anzahl der Nullstellen und setzen Sie in jeder Zeile genau ein Kreuz.

Setze in jeder Zeile genau ein Kreuz. Enter setzt und löscht.

Funktion	keine Nullstelle	genau eine Nullstelle	genau zwei Nullstellen
\(f(x)=x^{2}-4x+4\)
\(f(x)=x^{2}+2x+5\)
\(f(x)=x^{2}-x-6\)
\(2x^{2}-8\)

Der Reihe nach: \(D=4-4=0\), \(D=1-5=-4\), \(D=0{,}25+6=6{,}25\). Bei \(2x^{2}-8\) fehlt das lineare Glied — aus \(x^{2}=4\) folgen sofort \(x=2\) und \(x=-2\), also ebenfalls zwei Nullstellen.

7Aussagen zu einer Funktion dritten GradesAFB II

Gegeben ist \(f(x)=2x^{3}-6x^{2}\). Wählen Sie alle Aussagen aus, die zutreffen.

Mehrere Antworten sind richtig. Markiere alle zutreffenden und klicke dann auf „Prüfen“.

Es gilt \(2x^{3}-6x^{2}=2x^{2}\cdot(x-3)\). Der erste Faktor wird für \(x=0\) null, der zweite für \(x=3\). Es gibt also nur zwei verschiedene Nullstellen; die Stelle \(x=0\) kommt dabei doppelt vor. Eine Polynomdivision ist überflüssig, weil sich \(x^{2}\) ausklammern lässt.

8Fehlersuche in einer fremden RechnungAFB III

Eine Mitschülerin bestimmt die Nullstellen von \(f(x)=2x^{2}+4x-6\). Prüfen Sie jede Zeile und markieren Sie genau die falschen.

In dieser Lösung stecken Fehler. Klicke genau die falschen Zeilen an — die richtigen musst du stehen lassen.

Die drei Fehler hängen zusammen: Ein vergessenes Minuszeichen, ein falsch eingesetztes \(q\) und die daraus gezogene Folgerung. Die letzte Zeile ist richtig — und sie zeigt sofort, dass die Behauptung „keine Lösung“ nicht stimmen kann.

9Der Weg durch den VerfahrensbaumAFB III

Gegeben ist \(f(x)=x^{4}-29x^{2}+100\). Beantworten Sie die Fragen des Entscheidungsbaums für diese Funktion, bis Sie beim passenden Verfahren ankommen.

Beantworte die Fragen des Entscheidungsbaums mit Ja oder Nein und schau, wo du herauskommst.

Der Weg lautet Nein — Nein — Nein — Ja. Das Absolutglied \(100\) verhindert das Ausklammern, der Grad ist 4 und nicht 2, aber alle Exponenten (\(4\), \(2\) und \(0\)) sind gerade. Die Rechnung: \(z^{2}-29z+100=0\) liefert \(z_{1}=25\) und \(z_{2}=4\), die Rücksubstitution daraus \(x=\pm 5\) und \(x=\pm 2\).

10pq-Formel und Substitution abgrenzenAFB III

Ordnen Sie jede Aussage danach ein, ob sie nur für die pq-Formel, nur für die Substitution oder für beide gilt.

Ordne jede Aussage einem der drei Bereiche zu. Mit der Tastatur: Enter zum Auswählen, dann 1–3 für den Bereich, 0 zurück.

1 nur die pq-Formel

2 gilt für beide

3 nur die Substitution

Die Substitution ist kein eigenes Lösungsverfahren, sondern ein Umweg: Sie benutzt die pq-Formel. Deshalb liegen Diskriminante, Normalform und die Regel über den negativen Radikanden in der Schnittmenge. Unterschiedlich sind nur der Anfang (gerade Exponenten) und das Ende (Rücksubstitution, bis zu vier Lösungen).

11Nullstelle einer linearen Funktion als BruchAFB I

Berechnen Sie die Nullstelle von \(f(x)=3x+8\) und geben Sie sie als vollständig gekürzten Bruch an. Das Minuszeichen gehört in den Zähler.

Trage Zähler und Nenner ein — vollständig gekürzt. Eine ganze Zahl bekommt den Nenner 1, ein Minus gehört in den Zähler. Enter prüft.

\(3x+8=0\;\Rightarrow\;3x=-8\;\Rightarrow\;x=-\tfrac83\). Bei Grad 1 gibt es immer genau eine Nullstelle, solange der Leitkoeffizient nicht null ist — und sie ist nur selten eine ganze Zahl. \(-\tfrac83\approx-2{,}67\); die Probe \(3\cdot\left(-\tfrac83\right)+8=-8+8=0\) bestätigt das.

12Die Fachbegriffe zur pq-FormelAFB I

Setzen Sie die Begriffe so ein, dass ein korrekter Text über das Lösen quadratischer Gleichungen entsteht.

Wort anklicken, dann Lücke anklicken (oder umgekehrt) — mit Tab und Enter geht es genauso. Ein Klick auf eine gefüllte Lücke legt das Wort zurück.

Bevor die angewendet werden darf, muss die Gleichung in der \(x^{2}+px+q=0\) stehen — notfalls teilt man dazu die ganze Gleichung durch den . Der Ausdruck unter der Wurzel heißt ; sein Vorzeichen entscheidet über die Anzahl der Lösungen. Fehlt das , ist der schnellere Weg. Und bei einer Gleichung, in der nur \(x^{4}\) und \(x^{2}\) vorkommen, führt die \(u=x^{2}\) auf eine quadratische Gleichung zurück.

Die Reihenfolge ist immer dieselbe: erst die Bauform prüfen, dann das Verfahren wählen. Die pq-Formel braucht zwingend den Leitkoeffizienten 1 — wer \(2x^{2}-10x+12=0\) ohne vorheriges Teilen einsetzt, bekommt Unsinn heraus.

13Normalform herstellen und lösenAFB II

Bringen Sie jede Gleichung auf die Normalform \(x^{2}+px+q=0\), tragen Sie \(p\) und \(q\) ein und berechnen Sie beide Nullstellen. Dezimalzahlen mit Komma.

Fülle alle Felder aus und prüfe dann. Enter in einem Feld prüft ebenfalls.

Gleichung	\(p\)	\(q\)	kleinere Nullstelle	größere Nullstelle
\(2x^{2}-10x+12=0\)
\(3x^{2}+12x-15=0\)
\(0{,}5x^{2}-x-4=0\)

Zeile 1: durch 2 teilen \(\Rightarrow x^{2}-5x+6=0\), also \(x_{1,2}=2{,}5\pm\sqrt{6{,}25-6}=2{,}5\pm0{,}5\). Zeile 2: durch 3 teilen \(\Rightarrow x^{2}+4x-5=0\), \(x_{1,2}=-2\pm\sqrt{4+5}=-2\pm3\). Zeile 3: durch 0,5 teilen heißt mal 2 \(\Rightarrow x^{2}-2x-8=0\), \(x_{1,2}=1\pm\sqrt{1+8}=1\pm3\). Jedes Mal derselbe erste Schritt — und jedes Mal ändert das Teilen \(p\) und \(q\), aber nie die Nullstellen.

14Sechs Nullstellen in einem DurchgangAFB II

Berechnen Sie zu jeder Funktion beide Nullstellen. Tragen Sie in der ersten Spalte jeweils die kleinere ein.

Trage alle Werte ein — Minuszeichen gehören zum Wert. Enter prüft alle Felder auf einmal.

\(x^{2}-6x+8\): kleineregrößere\(x^{2}+2x-15\): kleineregrößere\(2x^{2}-7x+3\): kleineregrößere

Die ersten beiden stehen schon in Normalform: \(3\pm\sqrt{9-8}=3\pm1\) und \(-1\pm\sqrt{1+15}=-1\pm4\). Die dritte muss erst durch 2: \(x^{2}-3{,}5x+1{,}5=0\), also \(1{,}75\pm\sqrt{3{,}0625-1{,}5}=1{,}75\pm1{,}25\) — das ergibt 0,5 und 3. Kontrolle über den Satz von Vieta: Das Produkt der Nullstellen ist \(q\) (hier \(0{,}5\cdot3=1{,}5\)), ihre Summe ist \(-p\) (hier \(3{,}5\)).

15Biquadratisch: der Weg über die SubstitutionAFB II

Gegeben ist \(f(x)=x^{4}-13x^{2}+36\). Arbeiten Sie die Substitution \(u=x^{2}\) Schritt für Schritt ab.

Rechne die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft.

Wie lautet \(p\) in der substituierten Gleichung \(u^{2}+pu+q=0\)?
Wie groß ist die Diskriminante \(\left(\tfrac{p}{2}\right)^{2}-q\)?
Wie lautet die kleinere Lösung \(u_{1}\)?
Wie lautet die größere Lösung \(u_{2}\)?
Wie viele Nullstellen hat \(f\) insgesamt?Nullstellen
Wie lautet die größte Nullstelle von \(f\)?

Mit \(u=x^{2}\) wird aus \(x^{4}-13x^{2}+36=0\) die Gleichung \(u^{2}-13u+36=0\) mit \(u_{1,2}=6{,}5\pm\sqrt{42{,}25-36}=6{,}5\pm2{,}5\). Der Rückweg ist der Schritt, der am häufigsten vergessen wird: Aus \(u=4\) folgt \(x=\pm2\), aus \(u=9\) folgt \(x=\pm3\). Zwei Lösungen in \(u\) werden also zu vier Nullstellen in \(x\) — aber nur, solange beide \(u\)-Werte positiv sind. Wäre ein \(u\) negativ, lieferte es gar keine Nullstelle.

16Die Diskriminante entscheidetAFB II

Berechnen Sie jeweils den Wert unter der Wurzel und geben Sie an, wie viele reelle Lösungen die Gleichung hat. Dezimalzahlen mit Komma.

Trage in jedes Feld den passenden Wert ein. Enter prüft.

Gleichung	Diskriminante \(\left(\tfrac{p}{2}\right)^{2}-q\)	Anzahl der Lösungen
\(x^{2}-6x+9=0\)
\(x^{2}+2x+5=0\)
\(x^{2}-x-6=0\)

\(3^{2}-9=0\) → die Wurzel verschwindet, es bleibt genau eine (doppelte) Lösung \(x=3\). \(1^{2}-5=-4<0\) → aus einer negativen Zahl lässt sich keine reelle Wurzel ziehen, es gibt keine Nullstelle. \(0{,}5^{2}+6=6{,}25>0\) → zwei Lösungen, nämlich \(0{,}5\pm2{,}5\), also 3 und \(-2\). Das Vorzeichen der Diskriminante beantwortet die Anzahlfrage, ohne dass man die Nullstellen überhaupt ausrechnen muss.

17Vollständig in Faktoren zerlegenAFB III

Zerlegen Sie \(f(x)=2x^{3}-8x\) so weit wie möglich in ein Produkt. Die Antwort darf keine Summe mehr sein — klammern Sie zuerst aus und nutzen Sie dann die dritte binomische Formel. Schreibweise z. B. 2x(x-2)(x+2).

Gib den Term ein. Schreibweise: 3x^2 - 5x + 1, Malzeichen * oder weglassen, Brüche mit /, Potenzen mit ^. Enter prüft.

Erst der gemeinsame Faktor: \(2x^{3}-8x=2x\left(x^{2}-4\right)\). Der Klammerinhalt ist eine Differenz von Quadraten und wird zu \((x-2)(x+2)\). Insgesamt \(f(x)=2x(x-2)(x+2)\) mit den Nullstellen \(0\), \(2\) und \(-2\). Wer stattdessen durch \(x\) dividiert, verliert die Nullstelle 0 — deshalb wird beim Lösen von \(f(x)=0\) immer ausgeklammert und nie geteilt.

18Sieben Behauptungen über NullstellenAFB III

Rechnen Sie jede Zeile nach. Markieren Sie die falschen und tragen Sie den richtigen Wert ein (Dezimalzahlen mit Komma).

Klicke eine Zeile an, wenn du sie für falsch hältst — dann klappt ein Eingabefeld auf. Geprüft wird beides: die markierten Zeilen und deine Korrekturen.

Zeile 2: \(x^{2}+6x+8\) hat die Nullstellen \(-3\pm1\), also \(-4\) und \(-2\) — die kleinere ist \(-4\). Zeile 5: \(x^{2}+2x-8\) liefert \(-1\pm3\), also 2 und \(-4\); die größere ist 2, nicht 4. Zeile 7 ist die typischste Falle überhaupt: \(x^{2}-10x+25=(x-5)^{2}\) wird bei \(x=+5\) null. Das Vorzeichen im Linearfaktor dreht sich gegenüber der Nullstelle immer um.

19Die Nullstelle einkreisenAFB III

Die Gleichung \(x^{3}+x-5=0\) lässt sich mit den Verfahren dieses Kapitels nicht exakt lösen. Bestimmen Sie durch Einsetzen ganzer Zahlen zwei aufeinanderfolgende ganze Zahlen, zwischen denen die Nullstelle liegen muss, und stellen Sie das abgeschlossene Intervall \([a;b]\) ein.

Ziehe die beiden Griffe auf die Grenzen. Ein Klick auf einen Griff (oder Enter) dreht seine Klammer um. Pfeiltasten verschieben den ausgewählten Griff.

a: b:

\(f(1)=1+1-5=-3\) ist negativ, \(f(2)=8+2-5=5\) ist positiv. Weil der Graph einer ganzrationalen Funktion keine Sprünge macht, muss er die \(x\)-Achse zwischen 1 und 2 schneiden — das ist der Zwischenwertsatz in seiner praktischen Form. Enger einkreisen geht genauso: \(f(1{,}5)=3{,}375+1{,}5-5=-0{,}125\) ist noch negativ, die Nullstelle liegt also sogar zwischen 1,5 und 2.

20Parameter so wählen, dass es genau eine Lösung gibtAFB III

Für welchen Wert von \(c\) hat die Funktion \(f(x)=x^{2}-6x+c\) genau eine Nullstelle? Berechnen Sie \(c\).

Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.

Genau eine Nullstelle bedeutet Diskriminante null: \(\left(\tfrac{-6}{2}\right)^{2}-c=9-c=0\), also \(c=9\). Dann ist \(f(x)=x^{2}-6x+9=(x-3)^{2}\) — der Graph berührt die \(x\)-Achse bei \(x=3\), statt sie zu schneiden. Für \(c<9\) gäbe es zwei Nullstellen, für \(c>9\) keine.

Übungsaufgaben

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