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Nullstellen: Textaufgaben

Fünf Aufgaben im Abiturformat mit Hinweisen und Erwartungshorizont — von der pq-Formel über das Ausklammern bis zur Substitution mit verworfenem z-Wert.

1

Normieren und die Diskriminante lesen

AFB I

Gegeben sind \(f(x)=x^{2}+2x-15\), \(g(x)=3x^{2}+9x-30\), \(h(x)=x^{2}-6x+9\) und \(k(x)=x^{2}-4x+7\).

  1. Berechnen Sie die Nullstellen von \(f\) mit der pq-Formel.
  2. Berechnen Sie die Nullstellen von \(g\).
  3. Bestimmen Sie für \(h\) und \(k\) jeweils zuerst die Diskriminante und geben Sie anschließend die Nullstellen an.
Hinweis 1 — Ansatz
Die pq-Formel setzt die Normalform \(x^{2}+px+q=0\) voraus. Kontrollieren Sie zuerst den Faktor vor \(x^{2}\); bei \(g\) steht dort eine 3.
Hinweis 2 — Durchführung
Die Diskriminante ist \(D=\left(\dfrac{p}{2}\right)^{2}-q\). Ist \(D>0\), gibt es zwei Nullstellen, bei \(D=0\) genau eine, bei \(D<0\) keine reelle.
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(f\) ist bereits normiert: \(p=2\), \(q=-15\).

\(D=\left(\dfrac{2}{2}\right)^{2}-(-15)=1+15=16\), also \(\sqrt{D}=4\).

\(x_{1,2}=-\dfrac{2}{2}\pm 4=-1\pm 4\) → \(x_{1}=3\), \(x_{2}=-5\).

Probe: \(9+6-15=0\) und \(25-10-15=0\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Zuerst normieren, jeden Summanden einzeln durch 3 teilen:

\(0=3x^{2}+9x-30\;|:3\) → \(0=x^{2}+3x-10\), also \(p=3\), \(q=-10\).

\(D=1{,}5^{2}+10=2{,}25+10=12{,}25\), also \(\sqrt{D}=3{,}5\).

\(x_{1,2}=-1{,}5\pm 3{,}5\) → \(x_{1}=2\), \(x_{2}=-5\).

Probe in der Ausgangsgleichung: \(3\cdot 4+18-30=0\) und \(3\cdot 25-45-30=0\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Für \(h\) gilt \(p=-6\), \(q=9\), also \(D=(-3)^{2}-9=0\). Es gibt genau eine Nullstelle:

\(x=3\pm 0=3\). Der Graph berührt die \(x\)-Achse an dieser Stelle, statt sie zu schneiden.

Für \(k\) gilt \(p=-4\), \(q=7\), also \(D=(-2)^{2}-7=4-7=-3\). Wegen \(D<0\) lässt sich die Wurzel nicht ziehen: \(k\) hat keine reelle Nullstelle, die Parabel verläuft vollständig oberhalb der \(x\)-Achse.

2

Grad 3: ausklammern und weiterrechnen

AFB II

Gegeben ist \(f(x)=-x^{3}-6x^{2}+3x\).

  1. Klammern Sie so weit wie möglich aus und geben Sie die erste Nullstelle an.
  2. Berechnen Sie die übrigen Nullstellen exakt und runden Sie sie anschließend auf drei Nachkommastellen.
  3. Erläutern Sie, warum die Funktion nicht mehr als drei Nullstellen haben kann.
Hinweis 1 — Ansatz
Alle drei Summanden enthalten ein \(x\). Klammern Sie es aus; nach dem Satz vom Nullprodukt liefert der Faktor \(x\) sofort eine Nullstelle.
Hinweis 2 — Durchführung
In der Klammer steht \(-x^{2}-6x+3\). Vor der pq-Formel muss der Faktor vor \(x^{2}\) gleich 1 sein — multiplizieren Sie die Klammergleichung mit \(-1\).
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(f(x)=-x^{3}-6x^{2}+3x=x\,\left(-x^{2}-6x+3\right)\)

Nach dem Satz vom Nullprodukt wird das Produkt genau dann null, wenn einer der Faktoren null wird. Der erste Faktor liefert unmittelbar \(x_{1}=0\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Der zweite Faktor: \(0=-x^{2}-6x+3\;|\cdot(-1)\) → \(0=x^{2}+6x-3\), also \(p=6\), \(q=-3\).

\(D=\left(\dfrac{6}{2}\right)^{2}-(-3)=9+3=12\)

\(x_{2,3}=-3\pm\sqrt{12}=-3\pm 2\sqrt{3}\)

Mit \(\sqrt{12}\approx 3{,}4641\) ergibt sich \(x_{2}\approx 0{,}464\) und \(x_{3}\approx -6{,}464\).

Das Multiplizieren mit \(-1\) ändert die Lösungsmenge nicht, denn null mal \(-1\) bleibt null.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

\(f\) hat den Grad 3, weil die höchste Potenz \(x^{3}\) ist. Eine ganzrationale Funktion vom Grad \(n\) besitzt höchstens \(n\) Nullstellen. Hier sind es mit 0, \(-3+2\sqrt{3}\) und \(-3-2\sqrt{3}\) genau drei — die Obergrenze ist also ausgeschöpft.

3

Wenn eine Potenz von x ausgeklammert wird

AFB II

Gegeben sind \(f(x)=x^{4}-20x^{3}+64x^{2}\) und \(g(x)=\dfrac{1}{2}x^{4}-\dfrac{7}{2}x^{2}\).

  1. Bestimmen Sie alle Nullstellen von \(f\).
  2. Bestimmen Sie alle Nullstellen von \(g\) exakt.
  3. Vergleichen Sie die beiden Rechnungen: Warum wird bei \(g\) keine pq-Formel gebraucht?
Hinweis 1 — Ansatz
Klammern Sie die höchste Potenz von \(x\) aus, die in allen Summanden steckt. Bei \(f\) und bei \(g\) ist das jeweils \(x^{2}\).
Hinweis 2 — Durchführung
Bleibt \(x^{2}=0\) als Faktor stehen, ist \(x=0\) eine doppelte Nullstelle. In der Restklammer von \(g\) fehlt das lineare Glied — dort genügt Wurzelziehen.
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(f(x)=x^{4}-20x^{3}+64x^{2}=x^{2}\left(x^{2}-20x+64\right)\)

Erster Faktor: \(x^{2}=0\) → \(x_{1}=0\), und zwar doppelt, weil \(x^{2}\) für zwei gleiche Faktoren \(x\cdot x\) steht.

Zweiter Faktor: \(0=x^{2}-20x+64\) mit \(p=-20\), \(q=64\).

\(D=(-10)^{2}-64=100-64=36\), also \(\sqrt{D}=6\).

\(x_{2,3}=10\pm 6\) → \(x_{2}=16\), \(x_{3}=4\).

Nullstellen: 0 (doppelt), 4 und 16.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(g(x)=\dfrac{1}{2}x^{4}-\dfrac{7}{2}x^{2}=\dfrac{1}{2}x^{2}\left(x^{2}-7\right)\)

Der Zahlfaktor \(\dfrac{1}{2}\) wird nie null und liefert deshalb keine Nullstelle.

\(x^{2}=0\) → \(x_{1}=0\) (doppelt).

\(x^{2}-7=0\;|+7\) → \(x^{2}=7\;|\sqrt{\phantom{x}}\) → \(x_{2}=\sqrt{7}\approx 2{,}646\) und \(x_{3}=-\sqrt{7}\approx -2{,}646\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

In beiden Fällen bleibt nach dem Ausklammern eine quadratische Klammer stehen. Bei \(f\) enthält sie alle drei Summanden, dort führt nur die pq-Formel zum Ziel. Bei \(g\) fehlt in der Klammer das lineare Glied, es liegt also der Sonderfall \(b=0\) vor — reines Wurzelziehen ist schneller und liefert dasselbe Ergebnis.

4

Vielfachheiten sauber angeben

AFB III

Gegeben sind \(f(x)=\dfrac{1}{3}x^{5}+2x^{3}\) und \(g(x)=-\dfrac{1}{3}x^{5}+2x^{4}-3x^{3}\).

  1. Bestimmen Sie alle Nullstellen von \(f\) und geben Sie deren Vielfachheit an.
  2. Zerlegen Sie \(g\) so weit wie möglich und bestimmen Sie alle Nullstellen mit Vielfachheit.
  3. Beurteilen Sie die Aussage: „Eine Funktion vom Grad 5 hat immer fünf Nullstellen.“
Hinweis 1 — Ansatz
Klammern Sie bei beiden Funktionen \(x^{3}\) aus — bei \(g\) zusätzlich den Zahlfaktor \(-\dfrac{1}{3}\), damit vor \(x^{2}\) in der Klammer eine 1 steht.
Hinweis 2 — Durchführung
Prüfen Sie die Restklammer von \(g\) auf eine binomische Formel. Bei \(f\) landen Sie auf \(x^{2}=-6\) — überlegen Sie, ob das lösbar ist.
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(f(x)=\dfrac{1}{3}x^{5}+2x^{3}=x^{3}\left(\dfrac{1}{3}x^{2}+2\right)\)

Erster Faktor: \(x^{3}=0\) → \(x_{1}=0\). Weil \(x^{3}=x\cdot x\cdot x\) ist, handelt es sich um eine dreifache Nullstelle.

Zweiter Faktor: \(0=\dfrac{1}{3}x^{2}+2\;|-2\) → \(-2=\dfrac{1}{3}x^{2}\;|\cdot 3\) → \(x^{2}=-6\).

Ein Quadrat ist nie negativ, also gibt es dafür keine reelle Lösung. \(f\) hat somit nur die eine Nullstelle \(x=0\), diese aber dreifach.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(g(x)=-\dfrac{1}{3}x^{5}+2x^{4}-3x^{3}=-\dfrac{1}{3}x^{3}\left(x^{2}-6x+9\right)\)

Kontrolle durch Ausmultiplizieren: \(-\dfrac{1}{3}x^{3}\cdot x^{2}=-\dfrac{1}{3}x^{5}\), \(-\dfrac{1}{3}x^{3}\cdot(-6x)=2x^{4}\), \(-\dfrac{1}{3}x^{3}\cdot 9=-3x^{3}\). Passt.

Die Klammer ist ein Quadrat: \(x^{2}-6x+9=(x-3)^{2}\). Also \(g(x)=-\dfrac{1}{3}x^{3}(x-3)^{2}\).

\(x_{1}=0\) (dreifach) und \(x_{2}=3\) (doppelt). Wer die Klammer nicht als binomische Formel erkennt, kommt mit \(p=-6\), \(q=9\) und \(D=9-9=0\) zum selben \(x=3\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Die Aussage ist falsch. Der Grad gibt nur eine Obergrenze an. Beide Funktionen hier haben den Grad 5: \(f\) besitzt nur eine einzige Nullstelle, \(g\) nur zwei verschiedene. Zählt man die Vielfachheiten mit, kommt \(g\) auf \(3+2=5\) — bei \(f\) bleibt es dagegen bei 3, weil der Faktor \(\dfrac{1}{3}x^{2}+2\) über den reellen Zahlen keine Nullstelle beisteuert.

5

Substitution: verworfene Werte und Mischformen

AFB III

Lösen Sie die folgenden Gleichungen in \(\mathbb{R}\) und geben Sie jeweils die Lösungsmenge an: \(2x^{4}-13x^{2}-45=0\), \(5x^{4}+23x^{2}+12=0\), \(\left(x^{2}+5\right)\left(16x^{4}-25x^{2}+9\right)=0\) und \(4x^{6}-33x^{4}+8x^{2}=0\).

  1. Lösen Sie \(2x^{4}-13x^{2}-45=0\) und begründen Sie, warum nur zwei Lösungen übrig bleiben.
  2. Lösen Sie \(5x^{4}+23x^{2}+12=0\).
  3. Lösen Sie \(\left(x^{2}+5\right)\left(16x^{4}-25x^{2}+9\right)=0\).
  4. Lösen Sie \(4x^{6}-33x^{4}+8x^{2}=0\).
Hinweis 1 — Ansatz
Setzen Sie \(z=x^{2}\); dann ist \(z^{2}=x^{4}\). Vor der pq-Formel muss die \(z\)-Gleichung normiert sein. Bei der letzten Gleichung klammern Sie zuerst \(x^{2}\) aus.
Hinweis 2 — Durchführung
Nach dem Lösen der \(z\)-Gleichung folgt die Rücksubstitution \(x^{2}=z\). Jedes positive \(z\) liefert zwei \(x\)-Werte, \(z=0\) liefert einen — und jedes negative \(z\) wird ersatzlos verworfen.
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Substitution \(z=x^{2}\): \(0=2z^{2}-13z-45\;|:2\) → \(0=z^{2}-6{,}5z-22{,}5\), also \(p=-6{,}5\), \(q=-22{,}5\).

\(D=(-3{,}25)^{2}+22{,}5=10{,}5625+22{,}5=33{,}0625\), also \(\sqrt{D}=5{,}75\).

\(z_{1,2}=3{,}25\pm 5{,}75\) → \(z_{1}=9\), \(z_{2}=-2{,}5\).

Rücksubstitution: \(x^{2}=9\) → \(x=3\) oder \(x=-3\). Der Wert \(z_{2}=-2{,}5\) führt auf \(x^{2}=-2{,}5\) und wird verworfen, denn ein Quadrat ist nie negativ. Genau deshalb bleiben von vier möglichen Lösungen nur zwei übrig.

\(\mathbb{L}=\{-3;\,3\}\)

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(0=5z^{2}+23z+12\;|:5\) → \(0=z^{2}+4{,}6z+2{,}4\), also \(p=4{,}6\), \(q=2{,}4\).

\(D=(2{,}3)^{2}-2{,}4=5{,}29-2{,}4=2{,}89\), also \(\sqrt{D}=1{,}7\).

\(z_{1,2}=-2{,}3\pm 1{,}7\) → \(z_{1}=-0{,}6\), \(z_{2}=-4\).

Beide \(z\)-Werte sind negativ, beide werden verworfen. \(\mathbb{L}=\{\;\}\)

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Nach dem Satz vom Nullprodukt wird jeder Faktor einzeln null gesetzt.

Erster Faktor: \(x^{2}+5=0\) → \(x^{2}=-5\) — keine reelle Lösung.

Zweiter Faktor mit \(z=x^{2}\): \(0=16z^{2}-25z+9\;|:16\) → \(0=z^{2}-\dfrac{25}{16}z+\dfrac{9}{16}\).

\(D=\left(\dfrac{25}{32}\right)^{2}-\dfrac{9}{16}=\dfrac{625}{1024}-\dfrac{576}{1024}=\dfrac{49}{1024}\), also \(\sqrt{D}=\dfrac{7}{32}\).

\(z_{1,2}=\dfrac{25}{32}\pm\dfrac{7}{32}\) → \(z_{1}=\dfrac{32}{32}=1\), \(z_{2}=\dfrac{18}{32}=\dfrac{9}{16}\).

Rücksubstitution: \(x^{2}=1\) → \(x=\pm 1\); \(x^{2}=\dfrac{9}{16}\) → \(x=\pm\dfrac{3}{4}\).

\(\mathbb{L}=\left\{-1;\,-\dfrac{3}{4};\,\dfrac{3}{4};\,1\right\}\)

Erwartungshorizont zu Aufgabe d)

Hier stehen nur gerade Exponenten, aber die höchste ist 6. Erst ausklammern:

\(0=4x^{6}-33x^{4}+8x^{2}=x^{2}\left(4x^{4}-33x^{2}+8\right)\)

Erster Faktor: \(x^{2}=0\) → \(x_{1}=0\) (doppelt).

Zweiter Faktor mit \(z=x^{2}\): \(0=4z^{2}-33z+8\;|:4\) → \(0=z^{2}-8{,}25z+2\).

\(D=(-4{,}125)^{2}-2=17{,}015625-2=15{,}015625\), also \(\sqrt{D}=3{,}875\).

\(z_{1,2}=4{,}125\pm 3{,}875\) → \(z_{1}=8\), \(z_{2}=0{,}25\).

Rücksubstitution: \(x^{2}=8\) → \(x=\pm\sqrt{8}=\pm 2\sqrt{2}\approx\pm 2{,}828\); \(x^{2}=0{,}25\) → \(x=\pm 0{,}5\).

\(\mathbb{L}=\left\{-2\sqrt{2};\,-0{,}5;\,0;\,0{,}5;\,2\sqrt{2}\right\}\)