Global verhalten: Übungen – Mathe Klasse 11

1Vier Verläufe zuordnenAFB I

Jede der acht Funktionen gehört zu genau einem der vier Globalverläufe. Ordnen Sie die Terme den passenden Körben zu.

Ziehe jede Karte in den passenden Korb — oder wähle sie mit Enter aus und drücke dann die Ziffer des Korbs (0 legt sie zurück).

1beide Äste nach oben

2links unten, rechts oben

3beide Äste nach unten

4links oben, rechts unten

Nur zwei Dinge waren nötig: das Vorzeichen des Leitkoeffizienten und die Parität des Grades. Die übrigen Summanden spielten in keiner einzigen Karte eine Rolle.

2Fachbegriffe einsetzenAFB I

Vervollständigen Sie den Merktext mit den passenden Fachbegriffen. Zwei Wörter der Wortbank bleiben übrig.

Wort anklicken, dann Lücke anklicken (oder umgekehrt) — mit Tab und Enter geht es genauso. Ein Klick auf eine gefüllte Lücke legt das Wort zurück.

Der Globalverlauf beschreibt den Verlauf einer Funktion, wenn man sehr weit . Entscheidend ist dabei allein der Summand mit der höchsten Potenz, der . Sein Vorfaktor heißt , sein Exponent heißt der Funktion. Ist dieser Exponent , laufen beide Äste in dieselbe Richtung; ist er , laufen sie in entgegengesetzte Richtungen.

Zwei Wörter blieben übrig: Nullstellen und Wendepunkte. Beide gehören zum lokalen Verhalten und spielen für den Globalverlauf keine Rolle.

3Arbeitsschritte ordnenAFB I

Bringen Sie die fünf Arbeitsschritte in die Reihenfolge, in der man das Globalverhalten einer ganzrationalen Funktion bestimmt.

Ziehe die Karten in die richtige Reihenfolge — mit der Tastatur: ↑/↓ verschiebt, Shift+↑/↓ wechselt nur den Fokus.

1Alle Summanden anschauen und den mit der höchsten Potenz von x suchen.

2Den Grad n ablesen und prüfen, ob er gerade oder ungerade ist.

3Das Vorzeichen des Leitkoeffizienten aₙ bestimmen.

4Aus beiden Angaben den passenden der vier Verläufe auswählen.

5Beide Grenzwerte in der Schreibweise lim notieren.

Der Leitterm wird zuerst gesucht — erst danach lassen sich Grad und Vorzeichen überhaupt ablesen. Das Notieren der Grenzwerte steht am Ende, weil es nur noch die Zusammenfassung ist.

4Aussagen bewertenAFB II

Entscheiden Sie für jede Aussage, ob sie wahr oder falsch ist.

Fünf Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann startest du die Serie mit „Neue Runde“ neu.

Aussage 1 von 5

Aussage 3 ist die anspruchsvollste: Ein sehr großer Nebenkoeffizient wirkt beeindruckend, ändert aber am Globalverlauf nichts — er verschiebt nur die Stelle, ab der der Leitterm gewinnt.

5Kreuztabelle zum GlobalverhaltenAFB II

Kreuzen Sie in jeder Zeile alle Aussagen an, die auf die Funktion zutreffen. Pro Zeile können mehrere Kreuze richtig sein.

Setze in jeder Zeile überall dort ein Kreuz, wo die Aussage zutrifft — es können mehrere pro Zeile sein. Enter setzt und löscht.

Funktion	f(x) → +∞ für x → +∞	f(x) → +∞ für x → −∞	beide Äste zeigen in dieselbe Richtung
g₁(x) = 3x⁴ − x + 2
g₂(x) = −2x⁵ + 7x
g₃(x) = x³ − 9x
g₄(x) = −x² + 6x − 8
g₅(x) = 0,25x⁶ − 4x⁴

Die dritte Spalte ist genau dann angekreuzt, wenn der Grad gerade ist — bei g₁, g₄ und g₅. Die ersten beiden Spalten stimmen bei geradem Grad immer überein und widersprechen sich bei ungeradem Grad immer.

6Graph zum Term findenAFB II

Vier schematische Graphen stehen zur Auswahl. Klicken Sie zu jeder Frage den passenden Graphen an.

Klicke den passenden Graphen an. Mit der Tastatur: Tab oder Pfeiltasten zum Wandern, Enter zum Auswählen.

Die vier Bilder sind genau die vier Verläufe. Für die Zuordnung genügt es, Vorzeichen und Parität abzulesen — die konkrete Form der Kurve dazwischen ist ohne Bedeutung.

7Folgerungen aus aₙ < 0 und ungeradem GradAFB II

Gegeben ist eine ganzrationale Funktion mit negativem Leitkoeffizienten und ungeradem Grad. Markieren Sie alle Aussagen, die daraus zwingend folgen.

Mehrere Antworten sind richtig. Markiere alle zutreffenden und klicke dann auf „Prüfen“.

Die vierte Aussage ist die interessante: Weil der Graph von +∞ nach −∞ läuft und ganzrationale Funktionen keine Sprünge haben, muss er die x-Achse mindestens einmal schneiden. Punktsymmetrie folgt dagegen nicht — dafür müssten alle Exponenten ungerade sein.

8Fehlerhafte MusterlösungAFB III

Eine Schülerin bestimmt das Globalverhalten von \( f(x) = -3x^{4} + 12x^{3} - 5 \). Finden Sie alle fehlerhaften Zeilen ihrer Lösung.

In dieser Musterlösung stecken Fehler. Klicke genau die falschen Zeilen an — die richtigen musst du stehen lassen.

Drei Zeilen sind falsch. Alle drei Fehler haben dieselbe Wurzel: Es wird an einer einzelnen Stelle gerechnet oder eine Regel verdreht, statt konsequent den Leitterm −3x⁴ zu betrachten.

9Entscheidungsbaum anwendenAFB III

Gegeben ist \( f(x) = (2-x)(x+4)(x-1)(x+3) \). Bestimmen Sie zunächst Grad und Leitkoeffizienten und arbeiten Sie sich dann durch den Entscheidungsbaum.

Beantworte die Fragen des Entscheidungsbaums mit Ja oder Nein und schau, wo du herauskommst.

Der Grad ist 1 + 1 + 1 + 1 = 4, also gerade. Der Leitkoeffizient entsteht aus (−x) · x · x · x und ist damit −1, also negativ. Ergebnis: beide Äste nach unten.

10Produktform Schritt für SchrittAFB III

Gegeben ist \( f(x) = -2(x-1)^{2}(x+3)^{3} \) in Produktform. Leiten Sie den Globalverlauf her, ohne auszumultiplizieren.

Spiele die Herleitung Schritt für Schritt durch: Was gilt als Nächstes? Nur die richtige Karte bringt dich weiter.

Eine Funktion in Produktform muss man nicht ausmultiplizieren: Der Grad ist die Summe der Exponenten, und der Leitkoeffizient ist das Produkt der Vorfaktoren vor den x-Termen.

11Beide Grenzwerte angebenAFB I

Geben Sie zu jeder Funktion an, wohin die Funktionswerte für \(x\to+\infty\) und für \(x\to-\infty\) streben. Sie brauchen dafür nur den Leitterm.

Wähle in jedem Menü den passenden Grenzwert.

Funktion	\(x\to+\infty\)	\(x\to-\infty\)
\(f(x)=3x^{4}-x^{2}\)
\(f(x)=-2x^{5}+x\)
\(f(x)=x^{3}-6x^{2}+9x\)
\(f(x)=-x^{6}+5\)
\(f(x)=7-4x^{3}\)

Zwei Fragen genügen: gerader oder ungerader Grad, positiver oder negativer Leitkoeffizient. Gerader Grad heißt, beide Äste zeigen in dieselbe Richtung; ungerader Grad heißt, sie zeigen in entgegengesetzte Richtungen. Das Vorzeichen von \(a_{n}\) legt fest, wohin der rechte Ast läuft. Bei \(7-4x^{3}\) steht der Leitterm hinten — sortiert lautet er \(-4x^{3}\), also ungerader Grad mit negativem Leitkoeffizienten.

12Leitterm herausfischenAFB I

Bestimmen Sie zu \(f(x)=7x-4x^{3}+x^{2}\), \(g(x)=5-2x^{6}\) und \(h(x)=x^{2}-x^{7}+3x^{5}\) jeweils Grad und Leitkoeffizient. In allen drei Termen steht die höchste Potenz nicht vorn.

Enter prüft alle Felder auf einmal.

f: Grad n =f: aₙ =g: Grad n =g: aₙ =h: Grad n =h: aₙ =

Die drei Funktionen lauten \(f(x)=7x-4x^{3}+x^{2}\), \(g(x)=5-2x^{6}\) und \(h(x)=x^{2}-x^{7}+3x^{5}\). Sortiert man nach fallenden Exponenten, liest man sofort ab: \(-4x^{3}\), \(-2x^{6}\) und \(-x^{7}\). Bei \(h\) ist der Leitkoeffizient \(-1\), obwohl dort keine Zahl steht — \(-x^{7}\) bedeutet \(-1\cdot x^{7}\).

13Wann überholt der Leitterm?AFB II

Verglichen werden der Leitterm \(x^{3}\) und der Nebenterm \(40x^{2}\). Berechnen Sie beide Werte an den vier Stellen und lesen Sie ab, ab wann der Leitterm vorn liegt.

Große Zahlen ohne Tausenderpunkt eintragen, z. B. 125000. Enter prüft.

\(x\)	\(x^{3}\)	\(40x^{2}\)
\(10\)
\(20\)
\(40\)
\(50\)

Bei \(x=10\) und \(x=20\) ist der Nebenterm noch größer, bei \(x=40\) sind beide exakt gleich (\(x^{3}=40x^{2}\Leftrightarrow x=40\)), ab \(x=50\) zieht der Leitterm davon — und zwar unaufholbar. Genau das meint der Satz „der Leitterm gewinnt immer“: Ein großer Koeffizient beim Nebenterm verschiebt nur, ab wann das passiert, aber nicht ob.

14Gleichstand ausrechnenAFB II

Für \(f(x)=2x^{5}-50x^{3}\) sind Leitterm und Nebenterm an einer Stelle \(x>0\) betragsmäßig gleich groß. Berechnen Sie diese Stelle.

Ergebnis als Zahl eintragen. Enter prüft.

Ansatz \(2x^{5}=50x^{3}\). Für \(x\neq 0\) darf man durch \(x^{3}\) teilen: \(2x^{2}=50\), also \(x^{2}=25\) und damit \(x=5\) (die zweite Lösung \(x=-5\) ist wegen \(x>0\) ausgeschlossen). Rechts von \(x=5\) ist der Leitterm größer: bei \(x=10\) etwa \(2\cdot 100\,000=200\,000\) gegen \(50\cdot 1000=50\,000\). Wer durch \(x^{5}\) statt durch \(x^{3}\) teilt, landet bei \(2=50/x^{2}\) — dasselbe Ergebnis, nur umständlicher.

15Produktform Schritt für SchrittAFB II

Untersucht wird \(f(x)=(2-3x)(x^{2}+1)(x+4)\). Bestimmen Sie das Globalverhalten, ohne auszumultiplizieren.

Jeder richtige Schritt schaltet den nächsten frei. Enter prüft.

Wie groß ist der Grad des Produkts?
Wie lautet der Leitkoeffizient \(a_{n}\)?
Berechne \(f(0)\).
Welcher der vier Fälle liegt vor? 1 = \(a_{n}>0\) und n gerade, 2 = \(a_{n}>0\) und n ungerade, 3 = \(a_{n}<0\) und n gerade, 4 = \(a_{n}<0\) und n ungerade.

Die Grade addieren sich: \(1+2+1=4\). Die Leitkoeffizienten werden multipliziert: \((-3)\cdot 1\cdot 1=-3\). Also \(a_{n}<0\) bei geradem Grad — beide Äste laufen nach unten, \(\lim_{x\to\infty}f(x)=-\infty\) und \(\lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty\). Der \(y\)-Achsenabschnitt entsteht dagegen aus den Absolutgliedern: \(f(0)=2\cdot 1\cdot 4=8\).

16Leitkoeffizient als BruchAFB II

Gegeben ist \(f(x)=\dfrac{2x^{3}-5x}{8}\). Geben Sie den Leitkoeffizienten als vollständig gekürzten Bruch an.

Zähler und Nenner getrennt eintragen, vollständig gekürzt. Enter prüft.

Im Nenner steht nur die Zahl \(8\), also \(f(x)=\tfrac{2}{8}x^{3}-\tfrac{5}{8}x=\tfrac14 x^{3}-\tfrac58 x\). Der Leitkoeffizient ist \(a_{3}=\tfrac14>0\) bei ungeradem Grad: \(f(x)\to\infty\) für \(x\to\infty\) und \(f(x)\to-\infty\) für \(x\to-\infty\). Dass \(\tfrac14\) kleiner ist als \(\tfrac58\), spielt für das Globalverhalten keine Rolle — entscheidend ist allein der Exponent.

17Nur den Leitterm angebenAFB II

Bestimmen Sie den Leitterm von \(f(x)=(2x-1)^{2}(x+3)\). Gefragt ist der ganze Summand \(a_{n}x^{n}\), nicht der ausmultiplizierte Term.

Schreibweise: 4x^3. Enter prüft.

Man multipliziert nur die höchsten Potenzen: \((2x)^{2}\cdot x=4x^{2}\cdot x=4x^{3}\). Ausmultipliziert ergäbe sich \(f(x)=4x^{3}+8x^{2}-11x+3\) — deutlich mehr Arbeit für dieselbe Information. Vorsicht beim Quadrieren: \((2x)^{2}=4x^{2}\), nicht \(2x^{2}\). Der Leitkoeffizient \(4\) ist positiv, der Grad \(3\) ungerade: linker Ast nach unten, rechter nach oben.

18Aussagen zum Globalverhalten korrigierenAFB III

Markieren Sie die falschen Aussagen und tragen Sie den richtigen Wert ein. Drei der sechs Zeilen stimmen.

Eine Zeile anklicken heißt „diese Aussage ist falsch“.

Zeile 2 ist der klassische Denkfehler: Ein großer Koeffizient macht keinen Leitterm. Weit draußen schlägt \(-7x^{4}\) den Summanden \(100x^{3}\) unabhängig davon, wie groß die \(100\) ist — beide Äste laufen nach unten. In Zeile 4 wird der Faktor \((3-x)\) übersehen: Seine höchste Potenz ist \(-x\), also \(1\cdot 1\cdot(-1)=-1\). Zeile 6 liest von links statt zu sortieren.

19Alles aus der ProduktformAFB III

Gegeben ist \(f(x)=(x^{2}-4)(3-x)^{3}\). Bestimmen Sie Grad, Leitkoeffizient und die beiden Funktionswerte — ohne den Term auszumultiplizieren.

In jedes Feld gehört eine ganze Zahl. Enter prüft.

Grad \(n\)	Leitkoeffizient \(a_{n}\)	\(f(0)\)	\(f(1)\)

Grad: \(2+3=5\). Leitkoeffizient: Die höchste Potenz von \((3-x)^{3}\) ist \((-x)^{3}=-x^{3}\), also \(1\cdot(-1)=-1\). Damit ist \(a_{n}<0\) bei ungeradem Grad: linker Ast nach oben, rechter nach unten. Funktionswerte durch Einsetzen: \(f(0)=(0-4)\cdot 3^{3}=-4\cdot 27=-108\) und \(f(1)=(1-4)\cdot 2^{3}=-3\cdot 8=-24\). Wer \((3-x)^{3}\) mit \((x-3)^{3}\) verwechselt, erhält überall das falsche Vorzeichen.

20Parameter so wählen, dass es passtAFB III

Die Funktion \(f(x)=(k-5)x^{6}+3x^{5}\) soll den Grad \(6\) haben und für \(x\to-\infty\) gegen \(-\infty\) laufen. Bestimmen Sie den größten ganzzahligen Wert von \(k\), für den das gilt.

Ergebnis als ganze Zahl eintragen. Enter prüft.

Grad \(6\) verlangt \(k-5\neq 0\), also \(k\neq 5\). Bei geradem Grad zeigen beide Äste in dieselbe Richtung; damit sie nach unten zeigen, muss \(a_{6}=k-5<0\) sein, also \(k<5\). Der größte ganzzahlige Wert ist \(k=4\); dann ist \(a_{6}=-1\). Die Falle ist \(k=5\): Dann verschwindet \(x^{6}\), die Funktion hat den Grad \(5\) mit \(a_{5}=3>0\) — sie läuft für \(x\to-\infty\) zwar ebenfalls gegen \(-\infty\), erfüllt aber die Gradbedingung nicht.

Globalverhalten — Übungen

Übungsaufgaben