Vom Verlauf zum Term
AFB IEine Schülerin beschreibt einen Graphen so: „Er kommt von links oben herein und verschwindet nach rechts unten.“
- Geben Sie an, welche Bedingungen daraus für den Grad \( n \) und den Leitkoeffizienten \( a_n \) folgen.
- Nennen Sie zwei ganzrationale Funktionen mit diesem Globalverlauf — eine vom Grad 3 und eine vom Grad 7.
- Begründen Sie, warum keine Funktion vom Grad 4 diesen Verlauf haben kann.
Hinweis 1 — Ansatz
Hinweis 2 — Durchführung
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Die Äste laufen in entgegengesetzte Richtungen, also ist \( n \) ungerade. Der rechte Ast zeigt nach unten, also ist \( a_n < 0 \).
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Zum Beispiel \( f(x) = -x^{3} + 2x - 1 \) (Grad 3, \( a_3 = -1 < 0 \)) und \( g(x) = -2x^{7} + x^{2} \) (Grad 7, \( a_7 = -2 < 0 \)). Die übrigen Summanden sind frei wählbar.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Bei geradem Grad gilt \( (-x)^{n} = x^{n} \). Weit draußen hat \( f \) auf beiden Seiten dasselbe Vorzeichen wie \( a_n \), die Äste zeigen also zwingend in dieselbe Richtung. Ein Verlauf von links oben nach rechts unten ist damit für \( n = 4 \) unmöglich.
Wie viele Nullstellen sind möglich?
AFB IIGegeben ist eine ganzrationale Funktion vierten Grades mit \( a_4 = -1 \).
- Bestimmen Sie den Globalverlauf.
- Untersuchen Sie, welche Anzahlen von Nullstellen möglich sind. Geben Sie zu jeder möglichen Anzahl ein Beispiel an.
- Entscheiden Sie begründet, ob fünf Nullstellen möglich sind.
Hinweis 1 — Ansatz
Hinweis 2 — Durchführung
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
\( n = 4 \) ist gerade, \( a_4 = -1 < 0 \). Also \( \lim_{x \to \infty} f(x) = -\infty \) und \( \lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty \): beide Äste zeigen nach unten.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Es sind alle Anzahlen von 0 bis 4 möglich:
0 Nullstellen: \( f(x) = -x^{4} - 1 \). Es gilt \( f(x) \le -1 < 0 \) für alle \( x \).
1 Nullstelle: \( f(x) = -x^{4} \) mit der vierfachen Nullstelle \( x = 0 \).
2 Nullstellen: \( f(x) = -x^{4} + 1 = -(x^{2}-1)(x^{2}+1) \) mit \( x = -1 \) und \( x = 1 \).
3 Nullstellen: \( f(x) = -x^{4} + x^{2} = -x^{2}(x^{2}-1) \) mit \( x = -1 \), \( x = 0 \) und \( x = 1 \).
4 Nullstellen: \( f(x) = -x^{4} + 5x^{2} - 4 = -(x^{2}-1)(x^{2}-4) \) mit \( x = -2, -1, 1, 2 \).
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Nein. Eine ganzrationale Funktion vom Grad \( n \) hat höchstens \( n \) Nullstellen, denn jede Nullstelle liefert einen Linearfaktor und das Produkt von fünf Linearfaktoren hätte mindestens den Grad 5. Mehr als vier Nullstellen sind bei Grad 4 also ausgeschlossen.
Vogelbestand in einem Schutzgebiet
AFB IIDer Bestand einer Vogelart in einem Schutzgebiet wird ab dem Jahr 2015 durch
\( B(t) = -0{,}5t^{3} + 6t^{2} + 4t + 120 \)
modelliert. Dabei ist \( t \) die Zeit in Jahren seit 2015 und \( B(t) \) die Anzahl der Brutpaare.
Der Graph von B im Zeitraum von 2015 bis 2030. Ab etwa t = 13,4 liefert das Modell negative Werte — dort endet seine Aussagekraft.
- Berechnen Sie den Bestand für die Jahre 2015, 2023 und 2027.
- Bestimmen Sie den Globalverlauf von \( B \).
- Erklären Sie, warum das Modell nur für einen begrenzten Zeitraum sinnvoll ist, und geben Sie das erste Jahr an, in dem es einen negativen Bestand liefert.
Hinweis 1 — Ansatz
Hinweis 2 — Durchführung
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
\( B(0) = 120 \) Brutpaare (2015).
\( B(8) = -0{,}5 \cdot 512 + 6 \cdot 64 + 32 + 120 = -256 + 384 + 32 + 120 = 280 \) Brutpaare (2023).
\( B(12) = -0{,}5 \cdot 1728 + 6 \cdot 144 + 48 + 120 = -864 + 864 + 48 + 120 = 168 \) Brutpaare (2027).
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Leitterm \( -0{,}5t^{3} \), also \( n = 3 \) (ungerade) und \( a_3 = -0{,}5 < 0 \). Damit \( \lim_{t \to \infty} B(t) = -\infty \) und \( \lim_{t \to -\infty} B(t) = \infty \).
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Wegen \( \lim_{t \to \infty} B(t) = -\infty \) sinken die Modellwerte auf Dauer unter jede Schranke. Eine Anzahl von Brutpaaren kann aber nie negativ werden — das Modell verliert also seine Bedeutung, sobald \( B(t) < 0 \) wird.
\( B(13) = -0{,}5 \cdot 2197 + 6 \cdot 169 + 52 + 120 = -1098{,}5 + 1014 + 52 + 120 = 87{,}5 \)
\( B(14) = -0{,}5 \cdot 2744 + 6 \cdot 196 + 56 + 120 = -1372 + 1176 + 56 + 120 = -20 \)
Der erste negative Wert tritt bei \( t = 14 \) auf, also im Jahr 2029. Sinnvoll ist das Modell demnach höchstens bis 2028.
Aus dem Verlauf auf den Grad schließen
AFB IIIVon einer ganzrationalen Funktion \( f \) ist bekannt: Für \( x \to -\infty \) laufen die Funktionswerte gegen \( \infty \), für \( x \to \infty \) gegen \( -\infty \). Außerdem hat der Graph genau zwei Nullstellen und genau zwei Extrempunkte.
- Leiten Sie her, was daraus für \( n \) und \( a_n \) folgt.
- Begründen Sie, dass \( n \ge 3 \) gelten muss.
- Entscheiden Sie, ob \( n = 3 \) möglich ist, und geben Sie gegebenenfalls ein Beispiel mit Nachweis an.
Hinweis 1 — Ansatz
Hinweis 2 — Durchführung
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Die beiden Äste zeigen in entgegengesetzte Richtungen, also ist \( n \) ungerade. Der rechte Ast läuft nach unten, also ist \( a_n < 0 \).
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Wegen a) kommen nur \( n = 1, 3, 5, \dots \) infrage. Für \( n = 1 \) ist \( f \) eine Gerade: Sie hat genau eine Nullstelle und überhaupt keinen Extrempunkt. Das widerspricht der Vorgabe. Also bleibt \( n \ge 3 \).
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Ja, \( n = 3 \) ist möglich. Wähle
\( f(x) = -(x+1)^{2}(x-2) = -x^{3} + 3x + 2 \).
Zum Ausmultiplizieren: \( (x+1)^{2}(x-2) = (x^{2}+2x+1)(x-2) = x^{3} - 3x - 2 \); mit dem Minuszeichen davor folgt \( f(x) = -x^{3} + 3x + 2 \).
Globalverlauf: \( a_3 = -1 < 0 \) und \( n = 3 \) ungerade — passt zur Vorgabe.
Nullstellen: \( x = -1 \) (doppelt) und \( x = 2 \) — also genau zwei verschiedene Nullstellen. Probe: \( f(-1) = 1 - 3 + 2 = 0 \) und \( f(2) = -8 + 6 + 2 = 0 \).
Extrempunkte: \( f'(x) = -3x^{2} + 3 = 0 \) liefert \( x^{2} = 1 \), also \( x = -1 \) und \( x = 1 \). Wegen \( f''(x) = -6x \) ist \( f''(-1) = 6 > 0 \) (Tiefpunkt \( T(-1\,|\,0) \)) und \( f''(1) = -6 < 0 \) (Hochpunkt \( H(1\,|\,4) \)). Es sind also genau zwei Extrempunkte.
Alle drei Bedingungen sind erfüllt, \( n = 3 \) ist damit der kleinstmögliche Grad.
Jede Funktion ungeraden Grades hat eine Nullstelle
AFB IIIBeweisen Sie: Jede ganzrationale Funktion ungeraden Grades besitzt mindestens eine Nullstelle.
- Beschreiben Sie das Globalverhalten getrennt für \( a_n > 0 \) und für \( a_n < 0 \).
- Begründen Sie, dass es Stellen \( a \) und \( b \) mit \( f(a) < 0 < f(b) \) geben muss.
- Nennen Sie die Eigenschaft ganzrationaler Funktionen, die daraus eine Nullstelle macht.
- Erklären Sie anhand eines Gegenbeispiels, warum die Aussage für geraden Grad falsch ist.
Hinweis 1 — Ansatz
Hinweis 2 — Durchführung
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Sei \( n \) ungerade.
Fall \( a_n > 0 \): \( \lim_{x \to \infty} f(x) = \infty \) und \( \lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty \).
Fall \( a_n < 0 \): \( \lim_{x \to \infty} f(x) = -\infty \) und \( \lim_{x \to -\infty} f(x) = \infty \).
In beiden Fällen strebt \( f \) auf der einen Seite gegen \( \infty \) und auf der anderen gegen \( -\infty \).
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Weil die Funktionswerte auf der einen Seite über jede Schranke wachsen, gibt es eine Stelle \( b \) mit \( f(b) > 0 \). Weil sie auf der anderen Seite unter jede Schranke fallen, gibt es eine Stelle \( a \) mit \( f(a) < 0 \). Also existieren \( a \) und \( b \) mit \( f(a) < 0 < f(b) \).
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Ganzrationale Funktionen sind auf ganz \( \mathbb{R} \) stetig — ihr Graph hat keine Sprünge und keine Definitionslücken. Nach dem Zwischenwertsatz nimmt \( f \) auf dem Intervall zwischen \( a \) und \( b \) jeden Wert zwischen \( f(a) \) und \( f(b) \) an, insbesondere den Wert \( 0 \). Es gibt also ein \( x_0 \) zwischen \( a \) und \( b \) mit \( f(x_0) = 0 \). Damit ist die Behauptung bewiesen.
Erwartungshorizont zu Aufgabe d)
Bei geradem Grad zeigen beide Äste in dieselbe Richtung, der Graph muss die x-Achse also nicht erreichen. Gegenbeispiel: \( f(x) = x^{2} + 1 \) hat den Grad 2 und wegen \( x^{2} \ge 0 \) gilt \( f(x) \ge 1 > 0 \) für alle \( x \). Diese Funktion besitzt keine Nullstelle.