Definition: Übungen

1Nach dem Grad sortierenAFB I

Ordnen Sie jeden Funktionsterm dem passenden Grad zu. Achten Sie darauf, dass die Summanden nicht immer schon nach fallenden Exponenten geordnet sind.

Ziehe jede Karte in den passenden Korb — oder wähle sie mit Enter aus und drücke dann die Ziffer des Korbs (0 legt sie zurück).

1Grad 1

2Grad 2

3Grad 3

Suchen Sie in jedem Term nur den größten Exponenten — alles andere ist für diese Aufgabe unwichtig. Bei \(f(x)=4-9x\) steht die höchste Potenz nicht vorn; sortiert man um zu \(-9x+4\), ist Grad 1 sofort sichtbar. Und \(f(x)=3-x^{2}\) hat trotz des negativen Leitkoeffizienten den Grad 2: Für den Grad zählt allein der Exponent, nicht das Vorzeichen.

2Aussagen zur Definition prüfenAFB I

Entscheiden Sie bei jeder Aussage, ob sie mit der Definition der ganzrationalen Funktion vereinbar ist.

Fünf Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann startest du die Serie mit „Neue Runde“ neu.

Aussage 1 von 5

Zwei Aussagen prüfen dieselbe Stelle der Definition von zwei Seiten: Die Exponenten müssen natürliche Zahlen sein, die Koeffizienten dagegen dürfen alles Reelle sein. Wer das trennt, entscheidet auch bei ungewohnten Termen wie \(\pi x^{5}\) oder \(\sqrt{2}\,x^{3}\) richtig.

3Standardform herstellenAFB I

Gegeben ist \(f(x)=4x^{2}-x^{5}+7-2x^{3}+6x\).

Bringen Sie die Summanden in die Standardform, also in die Reihenfolge fallender Exponenten.

Ziehe die Zeilen mit der Maus oder verschiebe sie mit den Pfeil-Buttons, bis die Standardform entsteht.

1−x⁵

2−2x³

34x²

46x

5+7

In der Standardform fallen die Exponenten von links nach rechts: 5, 3, 2, 1, 0. Dass \(x^{4}\) fehlt, ist erlaubt — der Koeffizient \(a_{4}\) ist einfach null. Steht der Term erst einmal geordnet da, liest man Grad 5, Leitkoeffizient \(-1\) und Absolutglied 7 ohne Rechnung ab.

4Merkmale in der Tabelle ankreuzenAFB II

Prüfen Sie für jede Funktion, welche der vier Merkmale zutreffen. Pro Zeile können mehrere Kreuze richtig sein — es kann aber auch keines passen.

Setze in jeder Zeile überall dort ein Kreuz, wo die Aussage zutrifft — es können mehrere pro Zeile sein. Enter setzt und löscht.

Funktion	Grad 3	a₀ = 0	a₂ ist negativ	alle Koeffizienten ganzzahlig
f(x) = 2x³ − 5x² + 4
f(x) = x³ + x² + x
f(x) = −x² + 0,5x
f(x) = −3x² + 7
f(x) = 0,25x³ − 2x²

Vier Merkmale, vier verschiedene Blickrichtungen. Der Grad steckt allein im größten Exponenten. \(a_{0}=0\) erkennt man daran, dass gar kein Summand ohne \(x\) auftaucht — dann verläuft der Graph durch den Ursprung. \(a_{2}\) ist der Koeffizient vor \(x^{2}\), bei \(f(x)=-x^{2}+0{,}5x\) also \(-1\) und nicht etwa 0. Und „ganzzahlig“ betrifft nur die Koeffizienten: \(0{,}5\) und \(0{,}25\) sind erlaubt, aber eben nicht ganzzahlig.

5Bauteile der Gleichung findenAFB II

Gegeben ist \(f(x)=5x^{4}-3x^{2}+2x-8\).

Zeigen Sie in der Gleichung nacheinander auf die fünf gesuchten Bauteile.

Klicke das gesuchte Element in der Gleichung an. Mit der Tastatur: Tab oder Pfeiltasten zum Wandern, Enter zum Auswählen.

Die fünf Begriffe beschreiben verschiedene Bauteile derselben Gleichung. Der Leitkoeffizient steht vor der höchsten Potenz, der Grad ist der Exponent dieser Potenz. \(a_{2}\) gehört zu \(x^{2}\) und lautet hier \(-3\) — das Minuszeichen gehört zum Koeffizienten dazu. Das Absolutglied ist der einzige Summand ohne \(x\), also \(-8\); daraus folgt sofort \(f(0)=-8\).

6Ganzrational — ja oder nein?AFB II

Wählen Sie alle Terme aus, die zu einer ganzrationalen Funktion gehören. Formen Sie im Zweifel zuerst um.

Mehrere Antworten sind richtig. Markiere alle zutreffenden und klicke dann auf „Prüfen“.

Vier Terme bestehen die Prüfung. \(\frac{x^{2}}{4}+3\) täuscht nur: Im Nenner steht die Zahl 4, nicht die Variable — der Term ist dasselbe wie \(\frac{1}{4}x^{2}+3\). \((x+1)(x-4)\) muss man erst ausmultiplizieren, dann steht dort \(x^{2}-3x-4\). Die drei Ausreißer scheitern jeweils an einem Exponenten: \(\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}\), \(\frac{1}{x}=x^{-1}\), und bei \(2^{x}\) steht die Variable überhaupt im Exponenten.

7Funktion und Kennwerte verbindenAFB II

Verbinden Sie jede Funktion mit der Beschreibung, die ihren Grad und ihr Absolutglied korrekt angibt.

Klicke links eine Funktion an und dann rechts die passende Beschreibung — es entsteht eine Verbindungslinie. Mit der Tastatur: Enter zum Auswählen, ↑/↓ zum Wandern.

Zwei Angaben genügen zur Unterscheidung: der größte Exponent und der Summand ohne \(x\). Bei \(f(x)=x^{3}-x^{2}\) und \(f(x)=x^{5}+2x^{4}\) fehlt dieser Summand — beide haben \(a_{0}=0\), ihre Graphen laufen also durch den Ursprung. Unterscheiden lassen sie sich nur über den Grad. Und \(f(x)=12\) ist der Sonderfall: Grad 0, weil \(12=12\cdot x^{0}\).

8Entscheidungsbaum durchlaufenAFB III

Zu prüfen ist \(f(x)=(2x-1)\,(x^{2}+3)\).

Begründen Sie Ihre Einordnung, indem Sie den Entscheidungsbaum Schritt für Schritt durchlaufen. Notieren Sie sich vorher, welches Ergebnis Sie erwarten.

Beantworte die Fragen des Entscheidungsbaums mit Ja oder Nein und schau, wo du herauskommst.

Der Weg lautet: nein, nein, ja, ja. In \((2x-1)(x^{2}+3)\) steht \(x\) nicht im Exponenten und auch nicht unter einer Wurzel oder in einem Nenner — aber der Term ist ein Produkt und noch keine Summe. Ausmultiplizieren ergibt \(2x^{3}+6x-x^{2}-3\), sortiert \(2x^{3}-x^{2}+6x-3\). Alle Exponenten sind natürliche Zahlen, also ganzrational vom Grad 3. Merken Sie sich die Reihenfolge: erst umformen, dann urteilen.

9Fehlerhafte Auswertung korrigierenAFB III

Ein Mitschüler wertet \(f(x)=-x^{4}+3x^{2}-5x\) aus und notiert sechs Aussagen.

Beurteilen Sie die Aussagen und markieren Sie genau die falschen.

In dieser Auswertung stecken Fehler. Klicke genau die falschen Zeilen an — die richtigen musst du stehen lassen.

Alle drei Fehler entstehen aus derselben Nachlässigkeit: Es wird gezählt statt gelesen. Der Grad ist keine Anzahl von Summanden, sondern ein Exponent. Das Absolutglied ist nicht der letzte Summand, sondern der ohne \(x\) — fehlt er, ist \(a_{0}=0\). Und ein Koeffizient, der null ist, macht eine Funktion nicht ungültig; er lässt nur eine Potenz aus. Richtig ausgewertet gilt für \(f(x)=-x^{4}+3x^{2}-5x\): Grad 4, \(a_{4}=-1\), \(a_{3}=0\), \(a_{2}=3\), \(a_{1}=-5\), \(a_{0}=0\).

10Produkt in Standardform bringenAFB III

Gegeben ist \(f(x)=(x+3)\,(x^{2}-2x+5)\).

Multiplizieren Sie aus, fassen Sie zusammen und setzen Sie die Standardform aus den vier passenden Bausteinen zusammen. Zwei Bausteine im Vorrat sind Zwischenergebnisse, die nicht stehen bleiben dürfen.

Setze die Standardform von links nach rechts zusammen. Ein Klick legt den Baustein auf den nächsten freien Platz, ein Klick im Bauplan legt ihn zurück. Enter funktioniert genauso.

Jeder Summand der ersten Klammer wird mit jedem der zweiten multipliziert: \(x\cdot x^{2}=x^{3}\), \(x\cdot(-2x)=-2x^{2}\), \(x\cdot 5=5x\), \(3\cdot x^{2}=3x^{2}\), \(3\cdot(-2x)=-6x\), \(3\cdot 5=15\). Anschließend werden gleichartige Summanden zusammengefasst: \(-2x^{2}+3x^{2}=x^{2}\) und \(5x-6x=-x\). Es bleibt \(f(x)=x^{3}+x^{2}-x+15\), also Grad 3 mit Leitkoeffizient 1 und Absolutglied 15. Die Bausteine \(-x^{2}\) und \(+6x\) sind genau die Zwischenergebnisse, die man beim Zusammenfassen falsch stehen lässt.

11Kennwerte aus der Standardform ablesenAFB I

Lesen Sie zu jeder Funktion Grad, Leitkoeffizient \(a_{n}\) und Absolutglied \(a_{0}\) ab. Zwei Terme sind noch nicht nach fallenden Exponenten geordnet — sortieren Sie zuerst.

Brüche dürfen Sie als Dezimalzahl eintragen (\(\tfrac12 = 0{,}5\)). Ein fehlendes Absolutglied ist \(0\).

Funktion	Grad	Leitkoeffizient \(a_{n}\)	Absolutglied \(a_{0}\)
\(f_{1}(x)=4-x^{3}+2x^{2}\)
\(f_{2}(x)=\tfrac12 x^{2}+4x-7\)
\(f_{3}(x)=9\)
\(f_{4}(x)=-5x^{4}+x\)
\(f_{5}(x)=2x-x^{5}+3x^{3}\)

Zwei Zeilen sind Fallen. Bei \(f_{3}(x)=9\) ist wegen \(9=9\cdot x^{0}\) der Grad \(0\); Leitkoeffizient und Absolutglied sind hier dieselbe Zahl. Und bei \(f_{5}\) steht die höchste Potenz in der Mitte: sortiert ergibt sich \(-x^{5}+3x^{3}+2x\), also Grad 5 mit Leitkoeffizient \(-1\). Ein fehlendes Absolutglied bedeutet \(a_{0}=0\) — der Graph geht dann durch den Ursprung.

12Funktionswert berechnenAFB I

Berechnen Sie \(f(-3)\) für \(f(x)=-x^{4}+\tfrac32 x^{2}-x+8\). Achten Sie auf die Klammern: Der Exponent wirkt auf \(-3\), nicht nur auf die \(3\).

Trage das Ergebnis als Dezimalzahl ein (Komma oder Punkt). Enter prüft.

\(f(-3)=-(-3)^{4}+\tfrac32\cdot(-3)^{2}-(-3)+8=-81+13{,}5+3+8=-56{,}5\). Der häufigste Fehler ist \(-(-3)^{4}=+81\): Die vierte Potenz von \(-3\) ist \(+81\), das Minuszeichen davor bleibt aber stehen. Und \(-x\) wird für \(x=-3\) zu \(+3\).

13Horner-Schema: f(3) in vier SchrittenAFB II

Berechnen Sie \(f(3)\) für \(f(x)=2x^{3}-5x^{2}+4x-7\) mit dem Horner-Schema: Leitkoeffizient abschreiben, dann immer „mal \(3\), plus nächster Koeffizient“. So braucht man keine einzige Potenz.

Jeder Schritt schaltet den nächsten frei. Enter prüft.

Schreibe den Leitkoeffizienten \(a_{3}\) ab.
\(2\cdot 3+(-5)=\)
\(1\cdot 3+4=\)
\(7\cdot 3+(-7)=\)

Die letzte Zahl ist der Funktionswert: \(f(3)=14\). Zur Kontrolle direkt eingesetzt: \(2\cdot 27-5\cdot 9+4\cdot 3-7=54-45+12-7=14\). Das Horner-Schema kommt mit drei Multiplikationen aus, das direkte Einsetzen braucht sechs — bei Grad 5 oder 6 lohnt sich der Unterschied deutlich.

14Produkt in Standardform bringenAFB II

Multiplizieren Sie \((2x-3)(x^{2}+4x-1)\) aus und geben Sie das Ergebnis in Standardform an, also nach fallenden Exponenten geordnet und vollständig zusammengefasst.

Schreibweise: 2x^3+5x^2-14x+3. Malzeichen dürfen fehlen, Potenzen mit ^. Enter prüft.

Jeder Summand der ersten Klammer wird mit jedem der zweiten multipliziert: \(2x\cdot x^{2}=2x^{3}\), \(2x\cdot 4x=8x^{2}\), \(2x\cdot(-1)=-2x\), \(-3\cdot x^{2}=-3x^{2}\), \(-3\cdot 4x=-12x\), \(-3\cdot(-1)=3\). Zusammenfassen: \(8x^{2}-3x^{2}=5x^{2}\) und \(-2x-12x=-14x\). Ergebnis \(f(x)=2x^{3}+5x^{2}-14x+3\) — Grad 3, Leitkoeffizient 2, Absolutglied 3.

15Alle Koeffizienten benennenAFB II

Gegeben ist \(f(x)=5+\tfrac12 x-x^{3}\). Bestimmen Sie den Grad, alle vier Koeffizienten \(a_{3}\) bis \(a_{0}\) und den \(y\)-Achsenabschnitt. Denken Sie daran: Eine fehlende Potenz hat den Koeffizienten \(0\).

Brüche gehen auch als 1/2. Enter prüft alle Felder auf einmal.

Grad n =a₃ =a₂ =a₁ =a₀ =f(0) =

In Standardform lautet der Term \(f(x)=-x^{3}+0\cdot x^{2}+\tfrac12 x+5\). Der Leitkoeffizient ist \(-1\), auch wenn dort keine Zahl steht: \(-x^{3}\) bedeutet \(-1\cdot x^{3}\). Der Koeffizient \(a_{2}\) ist \(0\), weil \(x^{2}\) gar nicht vorkommt — der Grad bleibt trotzdem 3. Und \(f(0)=a_{0}=5\), denn beim Einsetzen von \(0\) fallen alle Summanden mit \(x\) weg.

16Grad — oder gar nicht ganzrational?AFB II

Entscheiden Sie bei jedem Term: Ist er ganzrational, und wenn ja, welchen Grad hat er? Formen Sie vorher um — der erste Eindruck täuscht hier mehrfach.

Wähle in jedem Menü den passenden Eintrag.

Term	Einordnung
\(2\sqrt{x}+x^{2}\)
\(\dfrac{x^{2}}{4}+3\)
\(2^{x}\)
\((x-1)(x+1)(x+2)\)
\(7\)
\(\dfrac{x^{2}+1}{x-3}\)
\(x\cdot(3-x^{4})\)

Entscheidend ist immer die Frage, ob nach dem Umformen alle Exponenten von \(x\) natürliche Zahlen sind. \(2\sqrt{x}=2x^{1/2}\) und \(\tfrac{1}{x-3}\) scheitern daran, bei \(2^{x}\) steht \(x\) im Exponenten. Dagegen ist \(\tfrac{x^{2}}{4}\) nur eine andere Schreibweise für \(\tfrac14 x^{2}\) — im Nenner steht eine Zahl, keine Variable. Bei den Produkten addieren sich die Grade: \(1+1+1=3\) und \(1+4=5\).

17Wertetabelle vervollständigenAFB II

Berechnen Sie die fünf Funktionswerte von \(f(x)=x^{5}-x^{2}+2\). Bei \(f(x)=x^{5}-x^{2}+2\) fehlen die Potenzen \(x^{4}\), \(x^{3}\) und \(x^{1}\) — ihre Koeffizienten sind null.

In jedes Feld gehört eine ganze Zahl. Enter prüft.

\(x\)	\(-2\)	\(-1\)	\(0\)	\(1\)	\(2\)
\(f(x)\)

\(f(-2)=-32-4+2=-34\), \(f(-1)=-1-1+2=0\), \(f(0)=2\), \(f(1)=1-1+2=2\), \(f(2)=32-4+2=30\). Zwei Beobachtungen lohnen sich: \(f(0)=2\) ist genau das Absolutglied, und an der Stelle \(x=-1\) liegt eine Nullstelle. Der Sprung von \(-34\) auf \(30\) zeigt außerdem, wie schnell der Summand \(x^{5}\) alles andere überholt.

18Leitkoeffizient als BruchAFB III

Der Term \(f(x)=\dfrac{3x^{4}-2x^{2}}{6}\) sieht nach einem Bruch aus, ist aber ganzrational. Geben Sie den Leitkoeffizienten \(a_{4}\) als vollständig gekürzten Bruch an.

Zähler und Nenner getrennt eintragen, vollständig gekürzt. Enter prüft.

Im Nenner steht nur die Zahl \(6\), also darf man summandenweise teilen: \(f(x)=\tfrac{3}{6}x^{4}-\tfrac{2}{6}x^{2}=\tfrac12 x^{4}-\tfrac13 x^{2}\). Der Leitkoeffizient ist \(a_{4}=\tfrac12\), das Absolutglied ist \(0\). Wäre dagegen ein \(x\) im Nenner gestanden, wäre der Term gebrochenrational und dieses Vorgehen verboten.

19Grad und Leitkoeffizient ohne AusmultiplizierenAFB III

Bestimmen Sie zu jedem Produkt Grad und Leitkoeffizient, ohne auszumultiplizieren. Denken Sie an die beiden Regeln: Die Grade addieren sich, und die Leitkoeffizienten werden multipliziert.

Der Leitkoeffizient ist die Zahl vor der höchsten Potenz — auch wenn diese Potenz nirgends ausgeschrieben steht.

Term	Grad	Leitkoeffizient \(a_{n}\)
\((2x-1)^{3}\)
\((x^{2}+3)(x^{3}-x)\)
\((-3x^{2}+1)(x^{4}+2)\)
\((1-x)^{4}\)
\(2x(x-5)(x+5)\)

Nur die höchsten Potenzen zählen. \((2x)^{3}=8x^{3}\); \(x^{2}\cdot x^{3}=x^{5}\); \(-3x^{2}\cdot x^{4}=-3x^{6}\); \(2x\cdot x\cdot x=2x^{3}\). Die Falle ist \((1-x)^{4}\): Die höchste Potenz stammt aus \((-x)^{4}=+x^{4}\), der Leitkoeffizient ist also \(+1\). Bei ungeradem Exponenten wäre er \(-1\) — vergleichen Sie \((1-x)^{3}\).

20Aussagen prüfen und korrigierenAFB III

Markieren Sie jede falsche Aussage — dann klappt ein Feld auf, in das der richtige Wert gehört. Geprüft wird beides: Ihre Auswahl und Ihre Korrekturen.

Eine Zeile anklicken heißt „diese Aussage ist falsch“. Drei der sechs Zeilen stimmen.

Die drei Fehler entstehen alle durch dieselbe Nachlässigkeit: Es wird von links nach rechts gelesen, statt vorher zu sortieren. Zeile 1 ist in Standardform \(-x^{3}+2x^{2}+4\), also Grad 3. Zeile 4 verliert das Minuszeichen — der Leitkoeffizient ist \(-5\), das Vorzeichen gehört dazu. Zeile 6 ist sortiert \(-2x+3\), der Leitkoeffizient ist also \(-2\) und die \(3\) das Absolutglied.

Übungsaufgaben