Grad und Koeffizienten ablesen
AFB IGegeben sind die Funktionen \(f(x)=3x^{4}-2x^{3}+7x-5\) und \(g(x)=6-x^{2}\).
- Geben Sie den Grad von \(f\) an und nennen Sie alle Koeffizienten \(a_{4},a_{3},a_{2},a_{1},a_{0}\).
- Bringen Sie \(g\) in die Standardform und geben Sie Grad sowie alle Koeffizienten an.
- Nennen Sie für beide Funktionen den Leitkoeffizienten und das Absolutglied.
Hinweis 1 — Ansatz
Hinweis 2 — Durchführung
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Ergänzt man die fehlende Potenz, so lautet der Term \(f(x)=3x^{4}-2x^{3}+0\cdot x^{2}+7x^{1}-5x^{0}\). Der größte Exponent ist 4, also ist der Grad von \(f\) gleich 4.
Damit gilt: \(a_{4}=3\), \(a_{3}=-2\), \(a_{2}=0\), \(a_{1}=7\), \(a_{0}=-5\).
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Sortiert nach fallenden Exponenten ergibt sich \(g(x)=-x^{2}+6\), ausführlich \(g(x)=-1\cdot x^{2}+0\cdot x^{1}+6\cdot x^{0}\). Der Grad von \(g\) ist 2.
Damit gilt: \(a_{2}=-1\), \(a_{1}=0\), \(a_{0}=6\).
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Der Leitkoeffizient steht jeweils vor der höchsten Potenz, das Absolutglied ist der Summand ohne \(x\).
Für \(f\): Leitkoeffizient \(a_{4}=3\), Absolutglied \(a_{0}=-5\). Für \(g\): Leitkoeffizient \(a_{2}=-1\), Absolutglied \(a_{0}=6\).
Ganzrational oder nicht — mit Begründung
AFB IISechs Terme liegen vor: \(f_{1}(x)=5x^{3}-\sqrt{2}\,x+1\), \(f_{2}(x)=3\sqrt{x}+x^{2}\), \(f_{3}(x)=\frac{4}{x}+2x\), \(f_{4}(x)=2^{x}-x^{3}\), \(f_{5}(x)=7\), \(f_{6}(x)=\frac{x^{2}}{4}+3\).
- Entscheiden Sie für jeden Term, ob er zu einer ganzrationalen Funktion gehört.
- Begründen Sie Ihre Entscheidung jeweils mit einem Satz.
- Geben Sie bei den ganzrationalen Funktionen zusätzlich den Grad an.
Hinweis 1 — Ansatz
Hinweis 2 — Durchführung
Erwartungshorizont
\(f_{1}(x)=5x^{3}-\sqrt{2}\,x+1\): ganzrational, Grad 3. Die Wurzel steht bei der Zahl 2, nicht bei \(x\). Koeffizienten dürfen beliebige reelle Zahlen sein, die Exponenten 3, 1 und 0 sind natürliche Zahlen.
\(f_{2}(x)=3\sqrt{x}+x^{2}\): nicht ganzrational. Es gilt \(\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}\), und \(\frac{1}{2}\) ist keine natürliche Zahl.
\(f_{3}(x)=\frac{4}{x}+2x\): nicht ganzrational. Es gilt \(\frac{4}{x}=4x^{-1}\); der Exponent \(-1\) ist negativ. Außerdem ist der Term für \(x=0\) nicht definiert, während ganzrationale Funktionen auf ganz \(\mathbb{R}\) definiert sind.
\(f_{4}(x)=2^{x}-x^{3}\): nicht ganzrational. Im ersten Summanden steht die Variable im Exponenten — das ist eine Exponentialfunktion. Dass der zweite Summand passt, ändert daran nichts.
\(f_{5}(x)=7\): ganzrational, Grad 0. Wegen \(x^{0}=1\) lässt sich der Term als \(7\cdot x^{0}\) schreiben. Der größte Exponent ist also 0.
\(f_{6}(x)=\frac{x^{2}}{4}+3\): ganzrational, Grad 2. Der Nenner enthält kein \(x\); der Term ist gleichwertig zu \(\frac{1}{4}x^{2}+3\).
Zusammengefasst sind \(f_{1}\), \(f_{5}\) und \(f_{6}\) ganzrational mit den Graden 3, 0 und 2.
Produkt in Standardform bringen
AFB IIGegeben ist \(f(x)=(2x-1)\,(x^{2}+3)\).
- Multiplizieren Sie aus und bringen Sie den Term in die Standardform.
- Bestimmen Sie Grad, Leitkoeffizient und alle Koeffizienten.
- Berechnen Sie \(f(0)\) und \(f(1)\) und vergleichen Sie \(f(0)\) mit dem Absolutglied.
Hinweis 1 — Ansatz
Hinweis 2 — Durchführung
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Ausmultiplizieren:
\(f(x)=2x\cdot x^{2}+2x\cdot 3+(-1)\cdot x^{2}+(-1)\cdot 3\)
\(f(x)=2x^{3}+6x-x^{2}-3\)
Sortiert nach fallenden Exponenten ergibt sich die Standardform
\(f(x)=2x^{3}-x^{2}+6x-3\).
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Der größte Exponent ist 3, also ist der Grad 3. Der Leitkoeffizient ist \(a_{3}=2\). Vollständig gilt \(a_{3}=2\), \(a_{2}=-1\), \(a_{1}=6\), \(a_{0}=-3\).
Das passt zur Erwartung: Die erste Klammer hat Grad 1, die zweite Grad 2, das Produkt also Grad \(1+2=3\).
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
\(f(0)=2\cdot 0^{3}-0^{2}+6\cdot 0-3=-3\). Das ist genau das Absolutglied \(a_{0}=-3\).
\(f(1)=2\cdot 1-1+6-3=4\). Zur Kontrolle über die Produktform: \(f(1)=(2\cdot 1-1)\cdot(1^{2}+3)=1\cdot 4=4\). Beide Wege liefern denselben Wert.
Schachtel aus einem Karton
AFB IIIAus einem rechteckigen Karton mit den Maßen 20 cm und 30 cm wird eine oben offene Schachtel gefaltet. Dazu schneidet man an allen vier Ecken ein Quadrat mit der Seitenlänge \(x\) (in cm) heraus und klappt die entstehenden Ränder nach oben.
Das Volumen der Schachtel hängt damit nur noch von \(x\) ab.
- Stellen Sie einen Term für das Volumen \(V(x)\) auf und bringen Sie ihn in die Standardform.
- Begründen Sie, dass \(V\) eine ganzrationale Funktion ist, und geben Sie Grad, Leitkoeffizient und Absolutglied an.
- Bestimmen Sie den sinnvollen Definitionsbereich und berechnen Sie \(V(3)\), \(V(4)\) und \(V(5)\).
Hinweis 1 — Ansatz
Hinweis 2 — Durchführung
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Die Höhe der Schachtel ist \(x\). Von der 20 cm langen Seite werden an beiden Enden \(x\) abgeschnitten, es bleiben \(20-2x\). Ebenso bleiben von der 30 cm langen Seite \(30-2x\). Damit gilt
\(V(x)=x\,(20-2x)(30-2x)\).
Zuerst die beiden Klammern:
\((20-2x)(30-2x)=600-40x-60x+4x^{2}=4x^{2}-100x+600\)
Nun mit \(x\) multiplizieren:
\(V(x)=x\,(4x^{2}-100x+600)=4x^{3}-100x^{2}+600x\)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
In der Standardform treten nur die Exponenten 3, 2 und 1 auf — alles natürliche Zahlen. Also ist \(V\) eine ganzrationale Funktion vom Grad 3. Der Leitkoeffizient ist \(a_{3}=4\), das Absolutglied ist \(a_{0}=0\).
Das Absolutglied 0 hat eine anschauliche Bedeutung: Für \(x=0\) wird nichts ausgeschnitten, es entsteht keine Höhe und damit auch kein Volumen.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Sinnvoll ist \(x>0\), sonst gibt es keine Höhe. Außerdem muss die kürzere Seite positiv bleiben: \(20-2x>0\), also \(x<10\). Der sinnvolle Definitionsbereich lautet damit \(0<x<10\).
\(V(3)=4\cdot 27-100\cdot 9+600\cdot 3=108-900+1800=1008\)
\(V(4)=4\cdot 64-100\cdot 16+600\cdot 4=256-1600+2400=1056\)
\(V(5)=4\cdot 125-100\cdot 25+600\cdot 5=500-2500+3000=1000\)
Die Volumina betragen also 1008 cm³, 1056 cm³ und 1000 cm³. Von den drei geprüften Werten liefert \(x=4\) das größte Volumen.
Warum der Grad bei einer Summe sinken kann
AFB IIIBehauptung eines Mitschülers: „Addiert man zwei ganzrationale Funktionen vom Grad 3, so hat die Summe wieder den Grad 3.“
Untersuchen Sie diese Behauptung anhand der Beispiele \(f(x)=2x^{3}+x^{2}-1\) und \(g(x)=-2x^{3}+4x+3\) sowie \(p(x)=x^{3}+x^{2}+5\) und \(q(x)=-x^{3}-x^{2}+2\).
- Berechnen Sie \(f(x)+g(x)\) und \(p(x)+q(x)\) jeweils in Standardform und geben Sie den Grad an.
- Beurteilen Sie die Behauptung und formulieren Sie eine korrekte Aussage über den Grad der Summe.
- Erklären Sie, welcher Sonderfall eintritt, wenn man \(g=-f\) wählt.
Hinweis 1 — Ansatz
Hinweis 2 — Durchführung
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Erste Summe, Koeffizienten gleicher Potenzen addieren:
\(f(x)+g(x)=(2-2)x^{3}+(1-0)x^{2}+(0+4)x+(-1+3)\)
\(f(x)+g(x)=x^{2}+4x+2\)
Der Summand mit \(x^{3}\) fällt weg, weil \(2+(-2)=0\) ist. Die Summe hat also den Grad 2, nicht 3.
Zweite Summe:
\(p(x)+q(x)=(1-1)x^{3}+(1-1)x^{2}+0\cdot x+(5+2)=7\)
Hier fallen sogar zwei Potenzen weg. Übrig bleibt die konstante Funktion mit dem Wert 7, also Grad 0.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Die Behauptung ist falsch. Ein Gegenbeispiel genügt bereits — hier gibt es sogar zwei.
Korrekt ist: Die Summe zweier ganzrationaler Funktionen vom Grad 3 hat höchstens den Grad 3. Sie hat genau dann den Grad 3, wenn die beiden Leitkoeffizienten sich nicht gegenseitig aufheben, also wenn \(a_{3}+b_{3}\neq 0\) gilt.
Der Grund ist einfach: Beim Addieren werden nur die Koeffizienten gleicher Potenzen addiert. Neue Potenzen können dabei nicht entstehen, wohl aber können vorhandene verschwinden.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Wählt man \(g=-f\), so gilt \(f(x)+g(x)=f(x)-f(x)=0\) für alle \(x\). Die Summe ist dann die Nullfunktion. Für sie gibt es keinen Koeffizienten ungleich null, deshalb wird ihr Grad nicht festgelegt — sie ist der Sonderfall, in dem die Frage nach dem Grad gar keine Antwort hat.