Monotonieintervalle berechnen: Übungen – Mathe Klasse 11

A1Das Verfahren in WortenAFB I

Vervollständige die Beschreibung des Verfahrens, mit dem Monotonieintervalle berechnet werden.

Ziehe die Bausteine an die richtige Stelle.

Zuerst bildet man f′ und bestimmt deren . Diese zerschneiden die x-Achse in . In jedem Stück genügt eine einzige , um das Vorzeichen von f′ zu bestimmen. Im Antwortsatz sind die Intervallklammern immer .

Die vier Lücken entsprechen genau den vier Schritten des Verfahrens.

A2Stimmt das so?AFB I

Sechs Aussagen zu Monotonie, Vorzeichen und Intervallschreibweise. Entscheide jeweils, ob sie zutreffen.

Richtig oder falsch?

Aussage 1 von 6

Zwei Aussagen drehen sich um die offenen Klammern und die doppelte Nullstelle — die beiden häufigsten Fehlerquellen.

A3Die richtige ReihenfolgeAFB I

Sechs Arbeitsschritte stehen durcheinander. Ordne sie so, wie du sie in einer Klausur abarbeiten würdest.

Bringe die Schritte in die richtige Reihenfolge — mit der Tastatur: ↑/↓ verschiebt, Shift+↑/↓ wechselt nur den Fokus.

1f′ bilden und, wenn möglich, faktorisieren.

2f′(x) = 0 setzen und alle Lösungen bestimmen.

3Die Zahlengerade an allen gefundenen Stellen zerschneiden.

4In jedes Teilintervall eine Probestelle einsetzen.

5Die Vorzeichen in der Tabelle eintragen und multiplizieren.

6Pro Teilintervall einen Antwortsatz in Intervallschreibweise notieren.

Zerschneiden kommt vor dem Einsetzen — ohne Teilintervalle weißt du nicht, wo du eine Probestelle wählen sollst.

A4Vom Vorzeichen zur MonotonieAFB I

Acht Angaben zu einzelnen Werten von f′. Entscheide bei jeder, was daraus für f folgt.

Zu f′ ist jeweils ein Wert angegeben. Sortiere, was daraus für f an dieser Stelle folgt. Erst eine Karte anklicken, dann den passenden Korb.

1f wächst dort

2f fällt dort

3Schnittstelle — gehört zu keinem Intervall

Nur das Vorzeichen entscheidet — wie groß der Wert von f′ ist, spielt für die Monotonie keine Rolle.

A5Schritt für Schritt durchgerechnetAFB II

Arbeite die Aufgabe f(x) = x³ − 12x der Reihe nach durch. Jede richtige Antwort schaltet die nächste Frage frei.

Gegeben ist f(x) = x³ − 12x. Jeder Schritt schaltet den nächsten frei. Dezimalkomma erlaubt.

f′(x) = 3x² − a. Wie groß ist a?
Löse f′(x) = 0. Wie lautet die positive Nullstelle?
In wie viele Teilintervalle wird die x-Achse zerschnitten?
Probestelle x = 1 einsetzen: Wie groß ist f′(1)?
Probestelle x = 3 einsetzen: Wie groß ist f′(3)?

Die Nullstellen sind −2 und 2. Aus f′(1) < 0 und f′(3) > 0 folgt: f fällt in ]−2; 2[ und wächst in ]2; ∞[.

A6Sechs Intervalle, sechs KreuzeAFB II

Ordne jedem Teilintervall die richtige Monotonie zu. Zwei der Intervalle liegen unmittelbar links und rechts der doppelten Nullstelle x = 2 von f′.

Zu f(x) = ¼x⁴ − x³ + 4x ist f′(x) = x³ − 3x² + 4 = (x + 1) (x − 2)². Setze in jeder Zeile genau ein Kreuz.

Teilintervall	streng monoton wachsend	streng monoton fallend
]−∞; −3[
]−3; −1[
]−1; 0[
]0; 2[
]2; 4[
]4; ∞[

Achte auf die Zeilen ]0; 2[ und ]2; 4[: Sie liegen links und rechts der doppelten Nullstelle x = 2 — und tragen trotzdem dasselbe Kreuz.

A7Jonas' LösungswegAFB II

In der folgenden Musterlösung stecken drei Fehler. Finde sie.

Jonas untersucht f(x) = ⅓x³ − x² − 8x auf Monotonie. Klicke die Zeilen an, in denen ein Fehler steckt.

Drei Zeilen sind korrekt, drei enthalten je einen typischen Klausurfehler: fehlendes Intervall, falsche Klammer, verwechselte Funktion.

A8Eine Aufgabe mit doppelter NullstelleAFB III

Führe die Untersuchung Szene für Szene durch. Nach jeder Entscheidung erfährst du, warum sie richtig oder falsch war.

Du untersuchst f(x) = ⅓x³ − 4x² + 16x auf Monotonie. Wähle in jeder Szene den nächsten sinnvollen Schritt.

Fünf Szenen — genau der Weg durch eine Aufgabe mit doppelter Nullstelle von f′.

A9Den Antwortsatz bauenAFB III

Setze aus den Bausteinen den fachlich korrekten Antwortsatz zusammen. Achte auf Klammern, auf die genannte Funktion und auf die Richtung.

Für f(x) = −⅓x³ + x² + 3x gilt f′(x) = −x² + 2x + 3 mit den Nullstellen −1 und 3. Wegen f′(0) = 3 > 0 gilt dort f′ > 0. Baue daraus den passenden Antwortsatz. Drei Bausteine bleiben übrig.

Die drei übrigen Bausteine sind genau die drei Standardfehler: geschlossene Klammer, Aussage über f′ statt über f, falsche Richtung.

A10Nur f′ ist bekanntAFB III

Der Funktionsterm von f wird nicht gebraucht. Entscheide allein anhand der faktorisierten Ableitung, welche Aussagen zutreffen.

Von einer Funktion f ist nur bekannt: f′(x) = (x + 2)² (x − 1). Mehrere Antworten sind richtig.

(x + 2)² ist links und rechts von −2 positiv. Das Vorzeichen von f′ hängt damit allein an (x − 1): negativ für x < 1, positiv für x > 1.

A11Schritt 1: \(f′\) bildenAFB I

Zu \(f(x)=\tfrac13 x^{3}-\tfrac52 x^{2}+6x-1\) ist die Ableitung gesucht. Gib sie ausmultipliziert ein — sie ist die Grundlage für alles Weitere.

Schreibweise: x^2-5x+6, Potenzen mit ^. Enter prüft.

\(\tfrac13\cdot 3x^{2}=x^{2}\), \(\tfrac52\cdot 2x=5x\), \(6x \to 6\), die \(-1\) fällt weg: \(f′(x)=x^{2}-5x+6\). Diese Ableitung lässt sich zu \((x-2)(x-3)\) faktorisieren — das spart in Schritt 2 die p-q-Formel.

A12Schritt 2 und 3 auf einen BlickAFB II

Arbeite mit \(f′(x)=x^{2}-5x+6\) weiter: Löse \(f′(x)=0\), zähle die Teilintervalle und setze in jedes eine Probestelle ein.

Trage alle sechs Zahlen ein. Enter prüft alle Felder auf einmal.

kleinere Schnittstellegrößere SchnittstelleAnzahl der Teilintervalle\(f′(0)=\)\(f′(2{,}5)=\)\(f′(4)=\)

\(x^{2}-5x+6=(x-2)(x-3)=0\) liefert \(x_1=2\) und \(x_2=3\). Zwei Schnittstellen ergeben immer \(n+1=3\) Teilintervalle. Die Probewerte \(+6\), \(-0{,}25\) und \(+2\) zeigen das Muster Plus – Minus – Plus. Dass \(-0{,}25\) betragsmäßig klein ist, spielt keine Rolle: Nur das Minuszeichen zählt.

A13Vier Probestellen für ein ProduktAFB II

Jetzt eine neue Funktion: \(f′(x)=x\,(x+4)(x-1)\). Berechne die vier Ableitungswerte. Rechne faktorweise — ausmultiplizieren lohnt sich hier nicht.

Trage jeden Wert einzeln ein. Dezimalzahlen mit Komma oder Punkt. Enter prüft alle Felder.

Probestelle \(x\)	Wert \(f′(x)\)
\(-5\)
\(-2\)
\(0{,}5\)
\(2\)

\(f′(-5)=(-5)\cdot(-1)\cdot(-6)=-30\), \(f′(-2)=(-2)\cdot 2\cdot(-3)=12\), \(f′(0{,}5)=0{,}5\cdot 4{,}5\cdot(-0{,}5)=-1{,}125\), \(f′(2)=2\cdot 6\cdot 1=12\). Drei Faktoren, drei Vorzeichen — eine ungerade Anzahl von Minuszeichen macht das Produkt negativ.

A14Die Vorzeichentabelle faktorweise füllenAFB II

Dieselbe Ableitung \(f′(x)=x\,(x+4)(x-1)\), diesmal ohne Einsetzen: Bestimme das Vorzeichen jedes Faktors einzeln, multipliziere die Vorzeichen und übersetze das Ergebnis in eine Monotonieaussage.

Wähle in jedem Menü das passende Zeichen. Die vierte Zeile ist das Produkt der drei Zeilen darüber.

\(]-\infty;-4[\)	\(]-4;\,0[\)	\(]0;\,1[\)	\(]1;\,\infty[\)
\(x\)
\(x+4\)
\(x-1\)
\(f′(x)\)
Monotonie von \(f\)

Jeder Linearfaktor ist links von seiner Nullstelle negativ und rechts davon positiv. Die Vorzeichen der Faktoren werden dann einfach multipliziert: \((-)(-)(-)=-\), \((-)(+)(-)=+\), \((+)(+)(-)=-\), \((+)(+)(+)=+\). Der Antwortsatz lautet: \(f\) fällt streng monoton auf \(]-\infty;-4[\) und auf \(]0;\,1[\), \(f\) wächst streng monoton auf \(]-4;\,0[\) und auf \(]1;\,\infty[\).

A15Das linke Fallintervall einstellenAFB II

Immer noch \(f′(x)=x\,(x+4)(x-1)\). Stelle auf der Zahlengeraden das am weitesten links liegende Intervall ein, auf dem \(f\) streng monoton fallend ist.

Ganz links steht der Griff für \(-\infty\). Ein Klick auf einen Griff (oder Enter) dreht seine Klammer um, Pfeiltasten verschieben ihn.

a: b:

Links von \(-4\) sind alle drei Faktoren negativ, das Produkt also negativ: \(f′(x)<0\), \(f\) fällt. Das Intervall lautet \(]-\infty;\,-4[\). An \(-\infty\) steht immer die offene Klammer, denn Unendlich ist keine Zahl, die erreicht werden kann. Das zweite Fallintervall ist \(]0;\,1[\).

A16Wie lang ist das Fallintervall?AFB II

Gegeben ist \(f(x)=x^{3}-6x^{2}+9x+2\). Bestimme das Intervall, auf dem \(f\) streng monoton fallend ist, und gib seine Länge an.

Rechne vollständig: ableiten, faktorisieren, Nullstellen bestimmen, Vorzeichen prüfen — und dann erst die Differenz der beiden Grenzen bilden.

\(f′(x)=3x^{2}-12x+9=3(x^{2}-4x+3)=3(x-1)(x-3)\). Die Schnittstellen sind 1 und 3. Probe: \(f′(2)=3\cdot 1\cdot(-1)=-3<0\), also fällt \(f\) auf \(]1;\,3[\). Die Länge ist \(3-1=2\). Auf \(]-\infty;1[\) und \(]3;\infty[\) wächst \(f\) streng monoton.

A17Eine Schnittstelle ist ein BruchAFB III

Für \(f(x)=2x^{3}-\tfrac52 x^{2}+x\) ist \(f′(x)=6x^{2}-5x+1\). Bestimme die kleinere der beiden Schnittstellen und gib sie als vollständig gekürzten Bruch an.

Trage Zähler und Nenner ein — vollständig gekürzt, das Minus gehört gegebenenfalls in den Zähler. Enter prüft.

Mit der p-q-Formel nach Division durch 6: \(x^{2}-\tfrac56 x+\tfrac16=0\) liefert \(x_{1,2}=\tfrac{5}{12}\pm\sqrt{\tfrac{25}{144}-\tfrac{24}{144}}=\tfrac{5}{12}\pm\tfrac{1}{12}\), also \(\tfrac13\) und \(\tfrac12\). Schneller geht es durch Faktorisieren: \(6x^{2}-5x+1=(3x-1)(2x-1)\). Schnittstellen müssen keine ganzen Zahlen sein — gerundet wird trotzdem nie, denn ein gerundeter Wert liegt schnell im falschen Teilintervall.

A18Fünf Schnittstellen, zwei FehlerAFB III

Jemand hat zu fünf Ableitungen jeweils eine Schnittstelle notiert. Klicke die falschen Zeilen an und trage den richtigen Wert ein.

Klicke eine Zeile an, wenn du sie für falsch hältst — dann klappt ein Eingabefeld auf. Geprüft wird beides: die Markierungen und die Korrekturen.

Zeile 2: \(x^{2}-4x=x(x-4)\) — die Nullstellen sind 0 und 4, nicht 2. Wer 2 nennt, hat vermutlich halbiert statt ausgeklammert. Zeile 5: \(x^{2}+6x+9=(x+3)^{2}\) hat die doppelte Nullstelle \(-3\); dort wechselt \(f′\) das Vorzeichen nicht, die Monotonie bleibt also gleich. Zeile 4: \(2x^{2}-8x+6=2(x-1)(x-3)\).

A19Ableitung und vollständiges ErgebnisAFB III

Jede faktorisierte Ableitung gehört zu genau einem Monotonieergebnis. Achte auf Vorzeichen und auf doppelte Nullstellen.

Klicke links einen Eintrag an und dann rechts den Partner. Mit der Tastatur: Enter zum Auswählen, ↑/↓ zum Wandern.

Das vorangestellte Minus dreht jedes Vorzeichen und damit jede Monotonieaussage um. Bei den beiden Quadraten wird die Zahlengerade zwar zerschnitten, aber das Vorzeichen bleibt links und rechts gleich — beide Teilintervalle gehören trotzdem in den Antwortsatz.

A20Wechselt das Vorzeichen — oder nicht?AFB III

Zu jeder Karte gehört eine Ableitung und eine Stelle. Entscheide, was an dieser Stelle passiert. Nicht jede genannte Stelle ist überhaupt eine Nullstelle von \(f′\).

Karte anklicken (oder mit Enter auswählen), dann die Ziffer des Bereichs drücken. 0 legt sie zurück.

1 Vorzeichenwechsel — Monotonie kippt

2 kein Vorzeichenwechsel — Monotonie bleibt

3 dort ist \(f′\) gar nicht null

Entscheidend ist, wie oft der Faktor vorkommt: Bei ungerader Vielfachheit (einfach, dreifach) wechselt das Vorzeichen, bei gerader (doppelt) nicht. \(x^{3}\) ist dreifach und wechselt deshalb sehr wohl. \(x^{2}+1\) hat überhaupt keine Nullstelle — \(f\) wächst dann auf ganz \(\mathbb{R}\). Und \((x-4)^{2}\) ist bei \(x=0\) gleich 16, also weit von null entfernt.

Übungen: Monotonieintervalle berechnen

Übungsaufgaben