MINT lernen

Textaufgaben: Monotonieintervalle berechnen

Fünf Sachkontexte vom Flusswasser bis zum Rückhaltebecken — mit Operatoren, Erwartungshorizont und dem Definitionsbereich als ständigem Begleiter.

T

Textaufgaben

In allen fünf Aufgaben steckt dieselbe Rechnung wie auf der Erklärseite — nur trägt die Variable jetzt eine Bedeutung: Stunden, Meter, Monate. Neu hinzu kommt der Definitionsbereich. Ein Modell gilt nie für alle reellen Zahlen, sondern nur für einen Zeitraum oder eine Strecke, die im Aufgabentext steht.

Wichtig

Zwei Regeln für Sachaufgaben: Erstens: Alle Intervalle werden auf den Definitionsbereich eingeschränkt — aus \(]-\infty;\,4[\) wird bei \(D=[0;12]\) das Intervall \(]0;\,4[\). Zweitens: Eine Nullstelle von \(f'\), die auf dem Rand von \(D\) liegt, ist keine Schnittstelle — sie trennt nichts, weil auf einer Seite kein zulässiger Bereich liegt.

Arbeite jede Aufgabe nach dem bekannten Muster ab und schreibe am Ende einen Satz, in dem die Größen des Kontexts vorkommen — nicht nur \(f\) und \(x\). Zu jeder Teilaufgabe gibt es einen Hinweis und einen Erwartungshorizont — öffne den Erwartungshorizont erst, wenn du deine eigene Lösung aufgeschrieben hast.

1

Sauerstoff im Fluss

AFB I

In einen Fluss wird um 6:00 Uhr geklärtes Abwasser eingeleitet. Der Sauerstoffgehalt \(c\) des Wassers (in \(\mathrm{\tfrac{mg}{l}}\)) lässt sich für die folgenden zwölf Stunden durch

\[c(t)=-0{,}01t^3+0{,}24t^2-1{,}44t+9\qquad\text{mit}\quad 0\le t\le 12\]

beschreiben; dabei ist \(t\) die Zeit in Stunden nach der Einleitung (Material M1).

M1Sauerstoffgehalt im Verlauf von zwölf Stunden
t in hc in mg/l24681012246810T(4 | 6,44)c fälltc wächstD = [0; 12]

Der Graph fällt zunächst bis zu einem Tiefstwert und steigt danach wieder auf den Ausgangswert.

  1. Bestimme \(c′\) und deren Nullstellen.
  2. Gib die Monotonieintervalle von \(c\) innerhalb des Definitionsbereichs an.
  3. Deute das Ergebnis im Sachzusammenhang: In welchem Zeitraum nimmt der Sauerstoffgehalt ab, ab wann nimmt er wieder zu?
Hinweis zu Aufgabe a)
Schritt 1 des Verfahrens: ableiten. Klammere danach \(-0{,}03\) aus.Das Vorzeichen von \(c′\) — und nichts anderes — entscheidet darüber, ob der Sauerstoffgehalt steigt oder fällt.
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(c′(t)=-0{,}03t^2+0{,}48t-1{,}44=-0{,}03\,(t-4)(t-12)\). Nullstellen: \(t_1=4\) und \(t_2=12\).

Hinweis zu Aufgabe b)
\(t_2=12\) ist der rechte Rand von \(D=[0;12]\). Zerschnitten wird nur im Inneren, also allein bei \(t=4\).
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Da \(t_2=12\) auf dem Rand von \(D\) liegt, wird nur bei \(t=4\) zerschnitten. Probestellen: \(c′(1)=-0{,}03\cdot(-3)\cdot(-11)=-0{,}99<0\) und \(c′(8)=-0{,}03\cdot4\cdot(-4)=0{,}48>0\).

Im Intervall \(]0;\,4[\) ist \(c\) streng monoton fallend, im Intervall \(]4;\,12[\) streng monoton wachsend.

Hinweis zu Aufgabe c)
Nenne den Tiefstwert \(c(4)\) und den Ausgangswert \(c(0)\), damit der Antwortsatz Zahlen enthält.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

In den ersten vier Stunden nach der Einleitung nimmt der Sauerstoffgehalt ab — von \(9\,\mathrm{\tfrac{mg}{l}}\) auf den Tiefstwert \(c(4)=6{,}44\,\mathrm{\tfrac{mg}{l}}\). Danach erholt sich das Wasser: Bis zum Ende des Beobachtungszeitraums um 18:00 Uhr steigt der Gehalt wieder auf \(9\,\mathrm{\tfrac{mg}{l}}\).

2

Höhenprofil einer Achterbahn

AFB II

Das Höhenprofil eines Streckenabschnitts einer Achterbahn wird durch

\[h(x)=0{,}02x^3-0{,}42x^2+2{,}4x+8\qquad\text{mit}\quad 0\le x\le 16\]

modelliert. Dabei ist \(x\) die waagerecht zurückgelegte Strecke in Metern und \(h\) die Höhe über dem Boden in Metern (Material M1).

M1Höhenprofil des Streckenabschnitts
x in mh in m2468101214165101520Kuppe (x = 4)Senke (x = 10)D = [0; 16]

Zwei Schnittstellen im Inneren von \(D\) zerlegen den Definitionsbereich in drei Teilintervalle.

  1. Bestimme \(h′\) und deren Nullstellen.
  2. Gib alle Teilintervalle innerhalb des Definitionsbereichs mit dem jeweiligen Monotonieverhalten an.
  3. Beschreibe in Worten, was ein Fahrgast auf jedem Abschnitt erlebt.
Hinweis zu Aufgabe a)
\(h′(x)=0{,}06x^2-0{,}84x+2{,}4\). Klammere \(0{,}06\) aus, dann steht dort \(x^2-14x+40\).Der positive Vorfaktor ändert das Vorzeichen nicht — du kannst dich ganz auf die Klammer konzentrieren.
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(h′(x)=0{,}06x^2-0{,}84x+2{,}4=0{,}06\,(x-4)(x-10)\). Nullstellen: \(x_1=4\) und \(x_2=10\); beide liegen im Inneren von \(D\).

Hinweis zu Aufgabe b)
Beide Nullstellen liegen im Inneren von \(D=[0;16]\), also wird zweimal zerschnitten. Setze als Probestellen \(x=0\), \(x=6\) und \(x=12\) ein.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Probestellen: \(h′(0)=2{,}4>0\), \(h′(6)=-0{,}48<0\), \(h′(12)=0{,}96>0\).

Im Intervall \(]0;\,4[\) ist \(h\) streng monoton wachsend, im Intervall \(]4;\,10[\) streng monoton fallend, im Intervall \(]10;\,16[\) streng monoton wachsend.

Hinweis zu Aufgabe c)
Rechne die Randhöhen \(h(4)\), \(h(10)\) und \(h(16)\) aus, damit die Beschreibung Zahlen enthält.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Auf den ersten vier Metern geht es bergauf bis zur Kuppe in \(h(4)=12{,}16\,\mathrm{m}\) Höhe. Danach fällt die Bahn sechs Meter weit bis zur Senke bei \(h(10)=10\,\mathrm{m}\) — ein flaches Stück, kein Sturzflug. Ab \(x=10\) beginnt die Steigung zum Lifthill, der auf \(h(16)=20{,}8\,\mathrm{m}\) endet.

3

Wirkstoff im Blut

AFB II

Nach der Einnahme einer Retardtablette steigt die Wirkstoffkonzentration \(k\) im Blut zunächst an und fällt danach wieder ab. Ein Modell liefert

\[k(t)=-0{,}04t^3+0{,}36t^2\qquad\text{mit}\quad 0\le t\le 9\]

wobei \(t\) die Zeit in Stunden nach der Einnahme und \(k\) die Konzentration in \(\mathrm{\tfrac{mg}{l}}\) angibt.

  1. Bestimme \(k′\) und deren Nullstellen.
  2. Gib die Monotonieintervalle von \(k\) innerhalb des Definitionsbereichs an.
  3. Erkläre, warum die Stelle \(t=0\) trotz \(k′(0)=0\) keine Schnittstelle im Sinne des Verfahrens ist.
Hinweis zu Aufgabe a)
\(k′(t)=-0{,}12t^2+0{,}72t\). Hier lässt sich \(t\) ausklammern.Der Satz vom Nullprodukt liefert die Nullstellen sofort — ganz ohne \(p\)-\(q\)-Formel.
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(k′(t)=-0{,}12t^2+0{,}72t=-0{,}12\,t\,(t-6)\). Nullstellen: \(t_1=0\) und \(t_2=6\).

Hinweis zu Aufgabe b)
Probestellen \(t=3\) und \(t=8\) reichen aus.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Zerschnitten wird nur bei \(t_2=6\). Probestellen: \(k′(3)=-0{,}12\cdot3\cdot(-3)=1{,}08>0\) und \(k′(8)=-0{,}12\cdot8\cdot2=-1{,}92<0\).

Im Intervall \(]0;\,6[\) ist \(k\) streng monoton wachsend, im Intervall \(]6;\,9[\) streng monoton fallend. Im Sachzusammenhang: Die Konzentration steigt sechs Stunden lang bis auf den Höchstwert \(k(6)=4{,}32\,\mathrm{\tfrac{mg}{l}}\) und fällt danach ab; nach neun Stunden ist der Wirkstoff im Modell vollständig abgebaut, denn \(k(9)=0\).

Hinweis zu Aufgabe c)
Eine Schnittstelle muss zwei Teilintervalle voneinander trennen. Überlege, was links von \(t=0\) liegt.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

\(t_1=0\) ist zwar Nullstelle von \(k′\), aber der linke Rand von \(D=[0;9]\). Eine Schnittstelle muss zwei Teilintervalle voneinander trennen; links von \(0\) liegt jedoch gar kein zulässiger Bereich. Zerschnitten wird deshalb nur im Inneren des Definitionsbereichs, und es bleiben die zwei Teilintervalle \(]0;6[\) und \(]6;9[\).

4

Absatzzahlen eines Onlineshops

AFB III

Ein Onlineshop verkauft ein neues Produkt. Die kumulierte Absatzmenge \(A\) (in Stück) seit Verkaufsstart wird über ein Jahr hinweg durch

\[A(t)=0{,}5t^4-8t^3+36t^2+120\qquad\text{mit}\quad 0\le t\le 12\]

modelliert, wobei \(t\) die Zeit in Monaten angibt. Die Marketingabteilung behauptet: „Im sechsten Monat ist der Absatz eingebrochen, denn dort gilt \(A′(6)=0\).“

  1. Bestimme \(A′\) und faktorisiere den Term vollständig.
  2. Untersuche \(A\) innerhalb des Definitionsbereichs auf Monotonie.
  3. Nimm zu der Behauptung der Marketingabteilung begründet Stellung.
Hinweis zu Aufgabe a)
\(A′(t)=2t^3-24t^2+72t\). Klammere zuerst \(2t\) aus.In der Klammer steckt eine binomische Formel — sie verrät dir sofort, welcher Sonderfall vorliegt.
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(A′(t)=2t^3-24t^2+72t=2t\,(t^2-12t+36)=2t\,(t-6)^{2}\). Nullstellen: \(t_1=0\) (Randstelle) und \(t_2=6\) (doppelt).

Hinweis zu Aufgabe b)
Die Nullstelle \(t=6\) ist doppelt. Prüfe mit \(A′(3)\) und \(A′(9)\), ob dort überhaupt ein Vorzeichenwechsel stattfindet.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Zerschnitten wird nur bei \(t_2=6\); es entstehen \(]0;6[\) und \(]6;12[\). Probestellen: \(A′(3)=2\cdot3\cdot9=54>0\) und \(A′(9)=2\cdot9\cdot9=162>0\) — gleiche Vorzeichen, genau das Verhalten einer doppelten Nullstelle.

\(A\) ist auf \(]0;\,6[\) und auf \(]6;\,12[\) jeweils streng monoton wachsend.

Hinweis zu Aufgabe c)
\(A\) misst die kumulierte Menge. Vergleiche \(A(0)\), \(A(6)\) und \(A(12)\) miteinander.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Die Behauptung ist falsch. Aus \(A′(6)=0\) folgt nicht, dass der Absatz eingebrochen wäre. \(A\) wächst vor und nach dem sechsten Monat: von \(A(0)=120\) über \(A(6)=336\) auf \(A(12)=1848\) Stück. Richtig ist nur, dass der Zuwachs im sechsten Monat kurzzeitig zum Erliegen kommt — die Verkaufszahlen jenes Monats waren also besonders niedrig, aber die Gesamtmenge ist zu keinem Zeitpunkt gesunken.

5

Wasserstand im Rückhaltebecken

AFB III

Ein Regenrückhaltebecken nimmt bei einem Gewitter Wasser auf und gibt es verzögert wieder ab. Für den Wasserstand \(W\) (in Metern) gilt

\[W(t)=-0{,}001t^4+0{,}024t^3-0{,}144t^2+2\qquad\text{mit}\quad 0\le t\le 14\]

mit der Zeit \(t\) in Stunden nach Beobachtungsbeginn (Material M1).

M1Wasserstand während der 14-stündigen Beobachtung
t in hW in m24681012140,511,52T(6 | 0,704)H(12 | 2)D = [0; 14]

Der Verlauf zerfällt in drei Abschnitte — die Randstelle \(t=0\) zählt nicht als Schnittstelle.

  1. Bestimme \(W′\) und faktorisiere den Term vollständig.
  2. Untersuche das Vorzeichen faktorweise und gib alle Monotonieintervalle innerhalb des Definitionsbereichs an.
  3. Begründe, warum \(t=0\) zwar Nullstelle von \(W′\), aber keine Schnittstelle ist, und gib den niedrigsten Wasserstand des Beobachtungszeitraums an.
Hinweis zu Aufgabe a)
\(W′(t)=-0{,}004t^3+0{,}072t^2-0{,}288t\). Klammere \(-0{,}004t\) aus; die verbleibende quadratische Klammer knackst du mit der \(p\)-\(q\)-Formel.
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(W′(t)=-0{,}004t^3+0{,}072t^2-0{,}288t=-0{,}004\,t\,(t^2-18t+72)=-0{,}004\,t\,(t-6)(t-12)\). Nullstellen: \(t=0\), \(t=6\) und \(t=12\).

Hinweis zu Aufgabe b)
Statt Zahlen einzusetzen, gehst du faktorweise vor: Für \(00\), \((t-6)<0\) und \((t-12)<0\).Das Produkt der drei Faktoren ist dann positiv — mit dem Vorfaktor \(-0{,}004\) wird \(W′\) also negativ.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Auf \(]0;6[\) sind die Faktoren \(+,-,-\), das Produkt ist positiv, mit \(-0{,}004\) wird \(W′<0\). Auf \(]6;12[\) sind sie \(+,+,-\), das Produkt ist negativ, also \(W′>0\). Auf \(]12;14[\) sind sie \(+,+,+\), also \(W′<0\).

Im Intervall \(]0;\,6[\) ist \(W\) streng monoton fallend, im Intervall \(]6;\,12[\) streng monoton wachsend, im Intervall \(]12;\,14[\) streng monoton fallend.

Hinweis zu Aufgabe c)
Der niedrigste Wert wird dort erreicht, wo \(W′\) von negativ nach positiv wechselt.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

\(t=0\) ist zwar Nullstelle von \(W′\), aber der linke Rand von \(D=[0;14]\). Eine Schnittstelle trennt zwei Teilintervalle voneinander; links von \(t=0\) existiert im Modell jedoch kein Zeitpunkt. Zerschnitten wird deshalb nur bei \(t=6\) und \(t=12\).

Antwortsatz: Der Wasserstand sinkt in den ersten sechs Stunden von \(2\,\mathrm{m}\) auf den Tiefstwert \(W(6)=0{,}704\,\mathrm{m}\); tiefer sinkt er im Beobachtungszeitraum nicht. Zwischen der sechsten und der zwölften Stunde füllt sich das Becken wieder auf \(W(12)=2\,\mathrm{m}\), danach fällt der Stand erneut.