Wurzelfunktionen: Übungen – Mathe Klasse 11

1Die Merkformel zusammensetzenAFB I

Die Quadratwurzelfunktion ist die Potenzfunktion mit dem Exponenten \(n=\frac{1}{2}\). Drei der sieben Bausteine gehören nicht dazu.

Setze die vollständige Merkformel aus den Bausteinen zusammen.

Klicke die Bausteine in der richtigen Reihenfolge an — sie wandern von links nach rechts in den Bauplan. Ein Baustein im Bauplan geht per Klick zurück in den Vorrat.

Die Formel lautet \(f(x)=x^{\frac{1}{2}}=\sqrt{x}\) mit \(x\in\mathbb{R}_{0}^{+}\). Die Schreibweisen \(x^{\frac{1}{2}}\) und \(\sqrt{x}\) bedeuten genau dasselbe. Der Zusatz \(x\in\mathbb{R}_{0}^{+}\) gehört zwingend dazu: Aus einer negativen Zahl lässt sich keine Quadratwurzel ziehen, denn kein Quadrat wird negativ.

2Zwei Wertetabellen ausfüllenAFB I

Gegeben sind \(f(x)=x^{\frac{1}{2}}=\sqrt{x}\) und \(g(x)=x^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{x}\).

Berechne alle acht Funktionswerte. Probiere rückwärts: Welche Zahl ergibt quadriert bzw. hoch drei den Wert in der ersten Spalte?

Fülle alle Felder aus und prüfe dann. Enter in einem Feld prüft ebenfalls.

\(x\)	\(f(x)=\sqrt{x}\)	\(g(x)=\sqrt[3]{x}\)
\(0\)
\(1\)
\(64\)
\(729\)

Es gilt \(8^{2}=64\) und \(4^{3}=64\), also \(\sqrt{64}=8\) und \(\sqrt[3]{64}=4\); ebenso \(27^{2}=729\) und \(9^{3}=729\). Die beiden ersten Zeilen musst du nie rechnen: \(0\) und \(1\) bleiben bei jeder Wurzel unverändert — deshalb gehen beide Graphen durch \(O(0\,|\,0)\) und \(P(1\,|\,1)\). Für \(x\gt 1\) ist die Kubikwurzel stets kleiner als die Quadratwurzel.

3Eine fehlende \(x\)-KoordinateAFB II

Der Punkt \(P(\square\,|\,5)\) liegt auf dem Graphen von \(y=x^{\frac{1}{3}}\).

Berechne die fehlende \(x\)-Koordinate.

Trage nur die Zahl ein — Enter prüft.

Aus \(5=\sqrt[3]{x}\) folgt durch Hochdreinehmen \(5^{3}=125=x\). Fehlt die \(y\)-Koordinate, ziehst du die Wurzel; fehlt die \(x\)-Koordinate, gehst du den umgekehrten Weg und potenzierst. Probe: \(\sqrt[3]{125}=5\) ✓.

4Aussagen prüfenAFB II

Entscheide bei jeder Aussage, ob sie stimmt. Eine falsche Einschätzung startet die Serie neu.

Fünf Aussagen nacheinander.

Aussage 1 von 5

Eine Aussage betrifft die Definitionsmenge, zwei den Vergleich der beiden Kurven, zwei die Schreibweise und die Spiegelung. Merke dir die beiden festen Punkte \((0 ; 0)\) und \((1 ; 1)\) und die Regel „für \(x\gt 1\) liegt die Kubikwurzel unten“ — damit sind fast alle Aussagen ohne Rechnung entschieden.

5Fehlende Koordinaten bei \(y=x^{\frac{1}{2}}\)AFB II

Alle vier Punkte gehören zum Graphen von \(y=x^{\frac{1}{2}}\): \(P_{1}(4\,|\,\square)\), \(P_{2}(9\,|\,\square)\), \(P_{3}(\square\,|\,5)\), \(P_{4}(\square\,|\,2{,}25)\).

Bestimme die vier fehlenden Koordinaten — ohne GTR.

Alle vier Felder ausfüllen, dann prüfen. Enter prüft ebenfalls.

\(P_{1}\): \(y=\)\(P_{2}\): \(y=\)\(P_{3}\): \(x=\)\(P_{4}\): \(x=\)

Fehlt die \(y\)-Koordinate, ziehst du die Wurzel: \(\sqrt{4}=2\) und \(\sqrt{9}=3\). Fehlt die \(x\)-Koordinate, quadrierst du: aus \(5=\sqrt{x}\) folgt \(5^{2}=25=x\), aus \(2{,}25=\sqrt{x}\) folgt \(2{,}25^{2}=5{,}0625=x\). Die Wurzel macht das Quadrieren rückgängig — deshalb funktioniert der Weg in beide Richtungen.

6Punkte des Wurzelgraphen setzenAFB II

Gezeichnet ist der Graph von \(f(x)=x^{\frac{1}{2}}=\sqrt{x}\).

Berechne zuerst den jeweiligen Funktionswert und setze dann den Punkt.

Klicke ins Koordinatensystem, um den Punkt zu setzen. Mit der Tastatur: Tab ins Koordinatensystem, Pfeiltasten bewegen den Cursor, Enter setzt.

Für die Quadratzahlen \(1\), \(4\) und \(9\) liest man die Werte \(1\), \(2\) und \(3\) ab. Links von der \(y\)-Achse gibt es keinen Punkt, denn \(D=\mathbb{R}_{0}^{+}\). Zwischen \(x=1\) und \(x=4\) steigt die Kurve um \(1\), zwischen \(x=4\) und \(x=9\) wieder nur um \(1\) — sie wird nach rechts also immer flacher.

7Spiegelung an der WinkelhalbierendenAFB II

Der Punkt \(P(1{,}5\,|\,\square)\) liegt auf dem Graphen von \(f(x)=x^{2}\). Gesucht ist sein Bildpunkt \(P'\) auf dem Graphen von \(\sqrt{x}\).

Führe die Rechnung Schritt für Schritt durch. Jeder Schritt schaltet den nächsten frei.

Rechne die Kette Schritt für Schritt. Enter prüft.

Berechne zuerst die zweite Koordinate von \(P\): \(1{,}5^{2}=\)
Beim Spiegeln tauschen die Koordinaten. Welche \(x\)-Koordinate hat \(P'\)?
Welche \(y\)-Koordinate hat \(P'\)?
Probe auf der Wurzelkurve: \(\sqrt{2{,}25}=\)

Aus \(P(1{,}5\,|\,2{,}25)\) wird beim Spiegeln an \(y=x\) der Punkt \(P'(2{,}25\,|\,1{,}5)\) — aus \(P(a\,|\,b)\) wird \(P'(b\,|\,a)\). Die Probe bestätigt es: \(\sqrt{2{,}25}=1{,}5\). Die Wurzel macht das Quadrieren rückgängig, deshalb liegen die beiden Kurven spiegelbildlich zur Winkelhalbierenden.

8Fünf Werte im KopfAFB II

Berechne jeden Wert und trage ihn ein. Achte beim letzten Feld darauf, dass dort nicht gewurzelt, sondern potenziert wird.

Fülle alle Felder aus und prüfe dann auf einmal.

Term	\(\sqrt[3]{8}\)	\(\sqrt[3]{27}\)	\(\sqrt[3]{1000}\)	\(\sqrt{0{,}25}\)	\(0{,}4^{3}\)
Wert

\(2^{3}=8\), \(3^{3}=27\) und \(10^{3}=1000\), also sind die Kubikwurzeln \(2\), \(3\) und \(10\). Wegen \(0{,}5^{2}=0{,}25\) ist \(\sqrt{0{,}25}=0{,}5\) — bei einer Basis zwischen 0 und 1 ist die Wurzel größer als die Zahl selbst. Ganz rechts wird nicht gewurzelt, sondern potenziert: \(0{,}4^{3}=0{,}4\cdot0{,}4\cdot0{,}4=0{,}064\).

9Was gilt für \(f(x)=x^{\frac{1}{2}}\)?AFB II

Wähle alle Aussagen aus, die für die Quadratwurzelfunktion zutreffen.

Mehrere Antworten sind richtig. Markiere alle zutreffenden.

Negative Stellen sind nicht erlaubt, also gibt es kein \(f(-9)\); und weil kein Funktionswert negativ wird, ist \(W=\mathbb{R}_{0}^{+}\). Die letzte Aussage dreht die Rechenrichtung um: \(2{,}25^{2}=5{,}0625\), aber \(f(2{,}25)=\sqrt{2{,}25}=1{,}5\).

10Wurzel und Wert verbindenAFB II

Verbinde jede Wurzel mit ihrem Wert. Rechne dazu jeweils rückwärts: Welche Zahl ergibt quadriert bzw. hoch drei den Radikanden?

Klicke links einen Eintrag an und dann rechts den passenden Wert. Ein zweiter Klick löst eine Verbindung wieder.

Es gilt \(12^{2}=144\), \(5^{3}=125\), \(1{,}5^{2}=2{,}25\), \(0{,}3^{3}=0{,}027\) und \(0{,}8^{2}=0{,}64\). Bei Dezimalzahlen unter 1 hilft die Stellenzahl: Quadrieren verdoppelt die Zahl der Nachkommastellen, Hochdreinehmen verdreifacht sie.

11Auf welcher Kurve liegt der Punkt?AFB II

Acht Punkte sollen einsortiert werden. Prüfe jeweils, ob die zweite Koordinate die Quadratwurzel oder die Kubikwurzel der ersten ist.

Ordne jeden Punkt dem Graphen zu, auf dem er liegt.

Ziehe jede Karte in den passenden Korb — oder wähle sie mit Enter aus und drücke dann die Ziffer des Korbs (0 legt sie zurück).

1nur auf \(y=\sqrt{x}\)

2nur auf \(y=\sqrt[3]{x}\)

3auf beiden Graphen

Zur Quadratwurzel gehören die Quadratzahlen \(4\), \(9\), \(25\), zur Kubikwurzel die Kubikzahlen \(8\), \(27\), \(125\). Nur \(0\) und \(1\) bleiben bei jeder Wurzel gleich — deshalb liegen \(P(0\,|\,0)\) und \(P(1\,|\,1)\) auf beiden Kurven. Der Wert \(2\) wird von \(\sqrt{x}\) schon bei \(x=4\) erreicht, von \(\sqrt[3]{x}\) erst bei \(x=8\).

12Der Größe nach ordnenAFB II

Ordne die sechs Wurzeln der Größe nach — beginnend mit der kleinsten. Rechne dazu jeden Wert zuerst aus.

Ziehe die Zeilen mit der Maus oder verschiebe sie mit den Pfeil-Buttons.

1\(\sqrt{0{,}25}=0{,}5\)

2\(\sqrt[3]{1}=1\)

3\(\sqrt[3]{8}=2\)

4\(\sqrt{9}=3\)

5\(\sqrt[3]{125}=5\)

6\(\sqrt{49}=7\)

Die Reihenfolge lautet \(0{,}5\), \(1\), \(2\), \(3\), \(5\), \(7\). Der Radikand allein entscheidet nichts: \(\sqrt[3]{125}=5\) ist kleiner als \(\sqrt{49}=7\), obwohl \(125\) die größere Zahl unter der Wurzel ist. Nur bei \(\sqrt{0{,}25}\) ist der Wert größer als der Radikand, weil dieser zwischen 0 und 1 liegt.

13Den Wurzelexponenten bestimmenAFB III

Der Graph einer Wurzelfunktion \(f\) mit \(f(x)=x^{\frac{1}{n}}\) verläuft durch \(P(32\,|\,2)\).

Gib den Funktionsterm in Potenzschreibweise an. Schreibweise: x^(1/4).

Gib den Term ein. Potenzen mit ^, Brüche mit /. Enter prüft.

Der Punkt liefert die Gleichung \(2=\sqrt[n]{32}\), also \(2^{n}=32\). Die Zweierpotenzen lauten \(2,4,8,16,32\) — damit ist \(n=5\) und \(f(x)=x^{\frac{1}{5}}=\sqrt[5]{x}\). Der Nenner des Exponenten ist immer der Wurzelexponent. Probe: \(32^{\frac{1}{5}}=2\) ✓.

14Fehlersuche in einer RechnungAFB III

Ein Schüler bestimmt fehlende Koordinaten zum Graphen von \(y=x^{\frac{1}{2}}\). Zwei Zeilen sind falsch.

Klicke genau die fehlerhaften Zeilen an.

In diesem Lösungsweg stecken Fehler. Klicke genau die falschen Zeilen an.

Beide Fehler haben dieselbe Ursache: Die Wurzel und das Quadrieren werden verwechselt. Fehlt die \(x\)-Koordinate, potenzierst du; fehlt die \(y\)-Koordinate, ziehst du die Wurzel. Und weil kein Quadrat negativ wird, gibt es links der \(y\)-Achse gar keinen Kurvenpunkt.

15Potenz- und Wurzelschreibweise als PaarAFB I

Finde die fünf Paare aus Potenz- und Wurzelschreibweise. Du hast 16 Versuche.

Decke immer zwei Karten auf. Passen sie zusammen, bleiben sie offen liegen.

Versuche: 0 von 16

Es gilt \(x^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{x}\): Der Nenner des Exponenten wird zum Wurzelexponenten. Die beiden Zahlenkarten prüfst du rückwärts: \(6^{2}=36\) und \(4^{3}=64\).

16Die Definitionsmenge auf der ZahlengeradenAFB II

Für die Quadratwurzelfunktion gilt \(D=\mathbb{R}_{0}^{+}\), also alle \(x\ge 0\).

Stelle diese Definitionsmenge als Intervall auf der Zahlengeraden dar. Denke daran, ob die \(0\) dazugehört.

Verschiebe die beiden Grenzen mit den Pfeil-Buttons oder mit der Maus. Ein Klick auf eine Grenze dreht die Klammer um; ganz außen steht die Grenze für unendlich.

a: b:

Die Definitionsmenge ist \([0 ; \infty[\). Die linke Klammer ist geschlossen, weil \(x=0\) erlaubt ist und der Graph im Ursprung startet — \(\sqrt{0}=0\). Nach rechts gibt es keine Grenze, deshalb steht dort \(\infty\) mit offener Klammer: Unendlich ist keine Zahl und kann nicht dazugehören. Negative Stellen bleiben ausgeschlossen.

17Vier Wurzeln, vier WerteAFB II

Die vier Wurzeln sehen ähnlich aus, haben aber vier verschiedene Werte.

Setze in jeder Zeile genau ein Kreuz beim richtigen Wert.

Setze in jeder Zeile genau ein Kreuz. Enter setzt und löscht.

	\(0{,}2\)	\(0{,}3\)	\(1{,}2\)	\(20\)
\(\sqrt{0{,}09}\)
\(\sqrt[3]{0{,}008}\)
\(\sqrt{1{,}44}\)
\(\sqrt[3]{8000}\)

Rückwärts gerechnet: \(0{,}3^{2}=0{,}09\), \(0{,}2^{3}=0{,}008\), \(1{,}2^{2}=1{,}44\) und \(20^{3}=8000\). Bei Dezimalzahlen zählst du die Nachkommastellen: Der Radikand von \(\sqrt[3]{0{,}008}\) hat drei, das Ergebnis also eine.

18Eine Wurzel aus einem BruchAFB III

Berechne \(\left(\frac{8}{27}\right)^{\frac{1}{3}}\) und gib das Ergebnis als vollständig gekürzten Bruch an.

Trage Zähler und Nenner ein. Enter prüft.

Der Exponent \(\frac{1}{3}\) bedeutet die Kubikwurzel: \(\left(\frac{8}{27}\right)^{\frac{1}{3}}=\frac{\sqrt[3]{8}}{\sqrt[3]{27}}=\frac{2}{3}\). Zähler und Nenner werden also einzeln gewurzelt. Probe: \(\left(\frac{2}{3}\right)^{3}=\frac{8}{27}\) ✓.

19Eine fehlende \(x\)-Koordinate mit DezimalzahlAFB III

Der Punkt \(P(\square\,|\,0{,}125)\) liegt auf dem Graphen von \(y=x^{\frac{1}{3}}\).

Spiele den Lösungsweg durch — nur die richtige Karte bringt dich weiter.

Spiele den Lösungsweg Schritt für Schritt durch.

Der Punkt lautet \(P(0{,}001953125\,|\,0{,}125)\), gerundet \(P(0{,}00195\,|\,0{,}125)\). Fehlt die \(x\)-Koordinate, wird potenziert — und zwar mit dem Wurzelexponenten 3. Dass das Ergebnis winzig wird, ist typisch: Für \(0\lt x\lt 1\) liegt die Wurzel über der Winkelhalbierenden, also gehört zu einem kleinen \(y\) ein noch viel kleineres \(x\).

20Lückentext zur WurzelfunktionAFB I

Vervollständige den Text mit den passenden Wörtern. Drei Wörter bleiben übrig.

Klicke ein Wort an und dann die Lücke, in die es gehört. Ein Klick auf eine gefüllte Lücke gibt das Wort zurück.

Steht im einer Potenzfunktion ein , entsteht eine Wurzelfunktion. Für \(f(x)=x^{\frac{1}{2}}=\sqrt{x}\) dürfen nur Zahlen ab eingesetzt werden; der Graph beginnt deshalb im , verläuft streng steigend und wird nach rechts immer . Er entsteht durch Spiegelung der Kurve von \(x^{2}\) mit \(x\ge 0\) an der . Fehlt bei einem Punkt die \(x\)-Koordinate, du den bekannten Funktionswert.

Der vollständige Satz fasst das Kapitel zusammen: Ein Bruch im Exponenten macht aus der Potenz eine Wurzel, \(D=\mathbb{R}_{0}^{+}\) beginnt bei \(0\), und die Spiegelachse ist die Winkelhalbierende \(y=x\). Bei der letzten Lücke entscheidet die Richtung: Ist der Funktionswert bekannt und \(x\) gesucht, wird potenziert — die Wurzel zöge man nur im umgekehrten Fall.

Interaktive ÜbungWurzelfunktionen

20 Übungsaufgaben