Wurzelfunktionen: Textaufgaben – Mathe Klasse 11

Quadratisches Solarmodulfeld

AFB I

Ein Energieversorger baut seine Solarparks aus quadratischen Modulfeldern. Bekannt ist jeweils der Flächeninhalt $A$ eines Feldes in Quadratmetern, gesucht ist die Kantenlänge $s$. Die Planungsabteilung rechnet mit $$s(A)=A^{\frac{1}{2}}\qquad\text{mit}\quad [s]=\mathrm{m}.$$ Der Flächeninhalt ist also die Eingabegröße, die Kantenlänge das Ergebnis.

Berechne die Kantenlänge eines Modulfelds für die Flächeninhalte $A=4$, $A=9$ und $A=25$.
Gib an welchen Exponenten die zugehörige Potenzfunktion hat, wie sich der Term mit einem Wurzelzeichen schreiben lässt und welche Definitionsmenge dazugehört.
Berechne den Flächeninhalt eines Modulfelds, dessen Kantenlänge $7{,}5\ \mathrm{m}$ beträgt.

Hinweis zu Aufgabe a)

Ziehe aus jeder Zahl die Quadratwurzel. Frage dich: Welche Zahl mit sich selbst malgenommen ergibt $4$, welche $9$, welche $25$?Beim Operator „Berechne“ gehören Ansatz, Rechnung und das Ergebnis mit Einheit dazu.

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Ansatz: $s(A)=A^{\frac{1}{2}}=\sqrt{A}$.

$s(4)=\sqrt{4}=2$, also $2\ \mathrm{m}$. $s(9)=\sqrt{9}=3$, also $3\ \mathrm{m}$. $s(25)=\sqrt{25}=5$, also $5\ \mathrm{m}$. Die drei Modulfelder haben demnach die Kantenlängen 2 m, 3 m und 5 m.

Hinweis zu Aufgabe b)

Vergleiche $s(A)=A^{\frac{1}{2}}$ mit der allgemeinen Form $f(x)=x^{n}$. Überlege für die Definitionsmenge, aus welchen Zahlen sich eine Quadratwurzel ziehen lässt.„Gib an“ verlangt nur die Angabe ohne Herleitung — dafür aber vollständig, hier also alle drei Teile.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Der Exponent ist $n=\frac{1}{2}$. Wegen $x^{\frac{1}{2}}=\sqrt{x}$ lautet der Term mit Wurzelzeichen $s(A)=\sqrt{A}$. Die Definitionsmenge ist $D=\mathbb{R}_{0}^{+}$, also alle $A\ge 0$; im Sachzusammenhang sind nur Flächen mit $A>0$ sinnvoll, weil ein Modulfeld eine Ausdehnung haben muss.

Hinweis zu Aufgabe c)

Hier läuft die Rechnung rückwärts: Gesucht ist die Zahl, deren Quadratwurzel $7{,}5$ ergibt. Wende auf die Gleichung $7{,}5=\sqrt{A}$ die Gegenrechnung zum Wurzelziehen an.Auch bei der Umkehrrechnung verlangt „Berechne“ den vollständigen Weg mit Einheit.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Ansatz: $7{,}5=\sqrt{A}$. Quadrieren beider Seiten macht das Wurzelziehen rückgängig: $$7{,}5^{2}=A\quad\Rightarrow\quad A=56{,}25$$ Das Modulfeld hat also einen Flächeninhalt von $56{,}25\ \mathrm{m}^{2}$. Probe: $\sqrt{56{,}25}=7{,}5$.

Würfelförmige Umzugskartons

AFB II

Ein Umzugsunternehmen bietet würfelförmige Kartons an und sortiert sie im Katalog nach ihrem Fassungsvermögen $V$ in Litern. Ein Liter entspricht genau einem Kubikdezimeter. Für die Kantenlänge $k$ eines Kartons gilt $$k(V)=V^{\frac{1}{3}}\qquad\text{mit}\quad [k]=\mathrm{dm}.$$ Aus der Katalogangabe lässt sich damit sofort die Kantenlänge bestimmen.

Berechne die Kantenlänge der Kartons mit den Fassungsvermögen $V=8$, $V=64$ und $V=125$ Litern.
Bestimme die Kantenlänge eines Kartons, der genau $100$ Liter fasst, auf eine Nachkommastelle gerundet.
Überprüfe die Werbeaussage „Der Karton mit der doppelten Kantenlänge fasst doppelt so viel“ am Beispiel der Kantenlängen $4\ \mathrm{dm}$ und $8\ \mathrm{dm}$.

Hinweis zu Aufgabe a)

Es gilt $V^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{V}$. Gesucht ist also jeweils die Zahl, die dreimal mit sich selbst malgenommen den Wert $V$ ergibt.Beim Operator „Berechne“ gehört zu jedem Ergebnis die Einheit — hier Dezimeter.

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Ansatz: $k(V)=V^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{V}$.

$k(8)=\sqrt[3]{8}=2$, denn $2\cdot 2\cdot 2=8$ — also $2\ \mathrm{dm}$. $k(64)=\sqrt[3]{64}=4$, denn $4^{3}=64$ — also $4\ \mathrm{dm}$. $k(125)=\sqrt[3]{125}=5$, denn $5^{3}=125$ — also $5\ \mathrm{dm}$.

Hinweis zu Aufgabe b)

Grenze den Wert zuerst mit den Ergebnissen aus Teilaufgabe a) ein und rechne dann $\sqrt[3]{100}$ mit dem Taschenrechner aus.„Bestimme“ verlangt einen nachvollziehbaren Lösungsweg und nicht nur die Zahl.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Gesucht ist $k=\sqrt[3]{100}$. Aus a) folgt die Eingrenzung $64<100<125$, also $4\ \mathrm{dm}<k<5\ \mathrm{dm}$. Der Taschenrechner liefert $\sqrt[3]{100}=4{,}6415\ldots$, gerundet $k\approx 4{,}6\ \mathrm{dm}$.

Probe: $4{,}6^{3}=97{,}336\ \ell$ — knapp unter $100$ Litern, weil auf eine Nachkommastelle abgerundet wurde. Ein Karton mit $4{,}7\ \mathrm{dm}$ Kante fasst dagegen schon $4{,}7^{3}=103{,}823\ \ell$.

Hinweis zu Aufgabe c)

Rechne für beide Kantenlängen das Fassungsvermögen aus — dazu musst du die Kantenlänge dreimal mit sich selbst malnehmen — und bilde anschließend das Verhältnis der beiden Volumina.„Überprüfe“ verlangt am Ende ein klares Urteil: Die Aussage ist zutreffend oder nicht zutreffend.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Aus $k=4\ \mathrm{dm}$ folgt $V=4^{3}=64\ \ell$, aus $k=8\ \mathrm{dm}$ folgt $V=8^{3}=512\ \ell$. Das Verhältnis beträgt $512:64=8$.

Die Aussage ist nicht zutreffend: Weil alle drei Kanten verdoppelt werden, wirkt sich der Faktor $2$ dreifach aus, denn $2^{3}=8$. Umgekehrt gelesen bestätigt das die Kubikwurzel: Für das achtfache Volumen genügt die doppelte Kantenlänge, denn $\sqrt[3]{8}=2$.

Werbebudget eines Streamingdienstes

AFB II

Ein Streamingdienst wertet aus, wie sich seine Werbeausgaben auf die Zahl der neu gewonnenen Abonnenten auswirken. Die Marketingabteilung fasst die Beobachtung im Modell $$N(x)=x^{\frac{1}{2}}$$ zusammen. Dabei sind $x$ die Werbeausgaben einer Kampagne in Euro und $N$ die Zahl der neuen Abonnenten. Auffällig ist, dass jeder zusätzlich investierte Euro weniger bringt als der Euro davor.

Berechne die Zahl der neuen Abonnenten für die Werbeausgaben $x=2500$, $x=10\,000$ und $x=40\,000$ Euro.
Bestimme die Werbeausgaben, die nach diesem Modell nötig sind, um $250$ neue Abonnenten zu gewinnen.
Zeige dass eine Vervierfachung der Werbeausgaben die Zahl der neuen Abonnenten stets verdoppelt.
Erkläre warum die Umkehrung dieses Modells die Funktion $x(N)=N^{2}$ ist und was die Spiegelung an der Winkelhalbierenden $y=x$ im Sachzusammenhang bedeutet.

Hinweis zu Aufgabe a)

Ziehe jeweils die Quadratwurzel. Bei $2500$ hilft die Zerlegung $2500=25\cdot 100$, bei den anderen beiden die Zehnerpotenzen.Beim Operator „Berechne“ gehören Rechnung und Ergebnis mit der zugehörigen Größe dazu.

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Ansatz: $N(x)=x^{\frac{1}{2}}=\sqrt{x}$.

$N(2500)=\sqrt{2500}=\sqrt{25}\cdot\sqrt{100}=5\cdot 10=50$ — also $50$ neue Abonnenten. $N(10\,000)=\sqrt{10\,000}=100$ — also $100$ neue Abonnenten. $N(40\,000)=\sqrt{40\,000}=200$ — also $200$ neue Abonnenten.

Hinweis zu Aufgabe b)

Setze $N=250$ in das Modell ein. Du erhältst eine Gleichung, in der $x$ unter der Wurzel steht — mache das Wurzelziehen rückgängig.„Bestimme“ verlangt den dargestellten Lösungsweg und ein ausformuliertes Ergebnis.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Ansatz: $250=\sqrt{x}$. Quadrieren beider Seiten liefert $$250^{2}=x\quad\Rightarrow\quad x=62\,500.$$ Für $250$ neue Abonnenten sind nach dem Modell Werbeausgaben von $62\,500\ \text{Euro}$ nötig. Probe: $\sqrt{62\,500}=250$. Das entspricht $250$ Euro je gewonnenem Abonnenten.

Hinweis zu Aufgabe c)

Die Werte aus Teilaufgabe a) liefern dir ein konkretes Beispiel. Für die allgemeine Begründung hilft $\sqrt{4x}=\sqrt{4}\cdot\sqrt{x}$.„Zeige“ verlangt eine Begründung durch Rechnung, die für alle Werte gilt — ein Beispiel allein genügt nicht.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Beispiel aus a): Von $x=2500$ auf $x=10\,000$ sind die Ausgaben vervierfacht; die Abonnentenzahl steigt von $50$ auf $100$, also auf das Doppelte. Ebenso von $10\,000$ auf $40\,000$: von $100$ auf $200$.

Allgemein gilt für jedes $x\ge 0$: $$N(4x)=\sqrt{4x}=\sqrt{4}\cdot\sqrt{x}=2\cdot\sqrt{x}=2\cdot N(x)$$ Die vierfachen Ausgaben bringen also genau die doppelte Zahl an Abonnenten. Im Sachzusammenhang heißt das: Der Ertrag pro eingesetztem Euro sinkt — die Kampagne läuft sich fest.

Hinweis zu Aufgabe d)

Vergleiche deinen Rechenweg aus Teilaufgabe b) mit dem aus Teilaufgabe a). Welche Rechenart macht die andere rückgängig, und was passiert dabei mit den beiden Koordinaten eines Punktes?„Erkläre“ verlangt, den Sachverhalt auf die zugrunde liegende Gesetzmäßigkeit zurückzuführen und verständlich einzuordnen.

Erwartungshorizont zu Aufgabe d)

Die Quadratwurzelfunktion ist die Umkehrfunktion der quadratischen Funktion für $x\ge 0$: Das Wurzelziehen macht das Quadrieren rückgängig. In Teilaufgabe a) wird aus den Ausgaben die Abonnentenzahl berechnet, in Teilaufgabe b) genau umgekehrt aus der Abonnentenzahl die nötigen Ausgaben. Deshalb lautet die Umkehrung $x(N)=N^{2}$.

Beim Spiegeln an der Winkelhalbierenden $y=x$ tauschen die beiden Koordinaten eines Punktes ihre Plätze: Aus $P(2500\,|\,50)$ auf dem Graphen von $N$ wird $P'(50\,|\,2500)$ auf dem Graphen der Umkehrfunktion. Sachlich wird dabei dasselbe Wertepaar nur von der anderen Seite gelesen — statt „Wie viele Abonnenten bringen 2500 Euro?“ fragt man „Wie viel Geld kosten 50 Abonnenten?“.

Farbstoff im Nährgel

AFB II

In einem Biologiepraktikum wird ein Farbstofftropfen auf ein Nährgel gegeben; der Farbstoff dringt langsam in das Gel ein. Für die Eindringtiefe $x$ nach $t$ Minuten verwendet die Lehrkraft das Modell $$x(t)=t^{\frac{1}{2}}\qquad\text{mit}\quad [x]=\mathrm{mm}.$$ Die Zeit wird ab dem Auftropfen gemessen.

Berechne die Eindringtiefe des Farbstoffs nach $9$, $36$ und $81$ Minuten.
Ermittle die Zeit, nach der der Farbstoff $12\ \mathrm{mm}$ tief in das Gel eingedrungen ist.
Erkläre mit den Werten aus Teilaufgabe a), warum der Farbstoff im Verlauf des Versuchs immer langsamer vordringt.

Hinweis zu Aufgabe a)

Setze die drei Zeiten in $x(t)=\sqrt{t}$ ein. Alle drei Zahlen sind Quadratzahlen, ein Taschenrechner ist nicht nötig.Beim Operator „Berechne“ gehört zu jedem Ergebnis die Einheit — hier Millimeter.

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Ansatz: $x(t)=t^{\frac{1}{2}}=\sqrt{t}$.

$x(9)=\sqrt{9}=3$, also $3\ \mathrm{mm}$. $x(36)=\sqrt{36}=6$, also $6\ \mathrm{mm}$. $x(81)=\sqrt{81}=9$, also $9\ \mathrm{mm}$.

Hinweis zu Aufgabe b)

Setze $x=12$ in das Modell ein und mache das Wurzelziehen durch die passende Gegenrechnung rückgängig.„Ermittle“ verlangt den Rechenweg samt Ergebnis, hier zusätzlich in einer sinnvollen Zeiteinheit.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Ansatz: $12=\sqrt{t}$. Quadrieren liefert $t=12^{2}=144$. Der Farbstoff ist also nach $144\ \text{Minuten}$ — das sind $2$ Stunden und $24$ Minuten — $12\ \mathrm{mm}$ tief eingedrungen. Probe: $\sqrt{144}=12$.

Hinweis zu Aufgabe c)

Alle drei Ergebnisse aus a) liegen jeweils $3\ \mathrm{mm}$ auseinander. Vergleiche, wie viel Zeit für die jeweils nächsten $3\ \mathrm{mm}$ vergeht.„Erkläre“ verlangt, die Beobachtung auf den Verlauf des Wurzelgraphen zurückzuführen.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Die ersten $3\ \mathrm{mm}$ sind nach $9$ Minuten erreicht. Für die nächsten $3\ \mathrm{mm}$ (von $3$ auf $6\ \mathrm{mm}$) vergehen $36-9=27$ Minuten, für die dritten $3\ \mathrm{mm}$ (von $6$ auf $9\ \mathrm{mm}$) sogar $81-36=45$ Minuten. Gleich große Tiefenzuwächse brauchen also immer mehr Zeit.

Das entspricht genau dem Verlauf des Wurzelgraphen: $x(t)=\sqrt{t}$ steigt am Anfang steil an und wird nach rechts immer flacher. Der Grund lässt sich an der Umkehrung ablesen — aus $x=\sqrt{t}$ folgt $t=x^{2}$, die benötigte Zeit wächst also quadratisch mit der Tiefe.

Ausbreitung eines Ölteppichs

AFB III

Nach einem Schiffsunfall breitet sich auf dem Meer ein annähernd kreisförmiger Ölteppich aus. Ein Institut misst den Radius $r$ in Kilometern zu vier Zeitpunkten $t$ in Stunden nach dem Unfall und erhält $r(1)=1{,}0$, $r(4)=2{,}1$, $r(9)=2{,}9$ und $r(16)=4{,}0$.

Zur Beschreibung stehen zwei Modelle zur Auswahl: $$\text{Modell A:}\ r(t)=t^{\frac{1}{2}}\qquad\qquad\text{Modell B:}\ r(t)=t^{\frac{1}{3}}$$ Beide liefern für $t=1$ den gemessenen Wert $1{,}0\ \mathrm{km}$.

Berechne für beide Modelle die Radien zu den Zeitpunkten $t=4$ und $t=9$ und runde auf zwei Nachkommastellen.
Entscheide anhand der Messwerte, welches der beiden Modelle die Ausbreitung besser beschreibt, und begründe deine Wahl mit den Zahlen aus Teilaufgabe a).
Bestimme mit Modell A die Zeit, nach der der Ölteppich einen Radius von $6\ \mathrm{km}$ erreicht.
Beurteile ob Modell A auch noch mehrere Wochen nach dem Unfall brauchbare Werte liefert.

Hinweis zu Aufgabe a)

Modell A verlangt die Quadratwurzel, Modell B die dritte Wurzel. Für Modell B brauchst du den Taschenrechner, für Modell A nicht.Beim Operator „Berechne“ gehören zu jedem Wert die Rechnung und die Einheit.

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Modell A $\big(r(t)=\sqrt{t}\big)$: $r(4)=\sqrt{4}=2{,}00\ \mathrm{km}$ und $r(9)=\sqrt{9}=3{,}00\ \mathrm{km}$.

Modell B $\big(r(t)=\sqrt[3]{t}\big)$: $r(4)=\sqrt[3]{4}=1{,}5874\ldots\approx 1{,}59\ \mathrm{km}$ und $r(9)=\sqrt[3]{9}=2{,}0801\ldots\approx 2{,}08\ \mathrm{km}$.

Hinweis zu Aufgabe b)

Stelle den Modellwerten die gemessenen Radien gegenüber und bilde die Abweichungen. Ziehe zusätzlich den vierten Messpunkt $t=16$ heran.„Entscheide“ verlangt eine eindeutige Wahl mit Begründung, nicht nur eine Aufzählung von Vor- und Nachteilen.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Vergleich bei $t=4$ (Messwert $2{,}1\ \mathrm{km}$): Modell A weicht um $2{,}1-2{,}00=0{,}1\ \mathrm{km}$ ab, Modell B um $2{,}1-1{,}59=0{,}51\ \mathrm{km}$. Vergleich bei $t=9$ (Messwert $2{,}9\ \mathrm{km}$): Modell A weicht um $3{,}00-2{,}9=0{,}1\ \mathrm{km}$ ab, Modell B um $2{,}9-2{,}08=0{,}82\ \mathrm{km}$. Beim vierten Messpunkt $t=16$ (Messwert $4{,}0\ \mathrm{km}$) liefert Modell A $\sqrt{16}=4{,}00\ \mathrm{km}$ und trifft damit genau, Modell B dagegen nur $\sqrt[3]{16}\approx 2{,}52\ \mathrm{km}$.

Die Entscheidung fällt eindeutig auf Modell A: Seine Abweichungen bleiben durchgehend bei höchstens $0{,}1\ \mathrm{km}$, während Modell B mit wachsender Zeit immer stärker zu kleine Werte liefert. Das war zu erwarten, denn für $t>1$ verläuft der Graph der Kubikwurzelfunktion unterhalb des Graphen der Quadratwurzelfunktion.

Hinweis zu Aufgabe c)

Setze $r=6$ in Modell A ein. In der entstehenden Gleichung steht $t$ unter der Wurzel — mache das Wurzelziehen rückgängig.„Bestimme“ verlangt den dargestellten Lösungsweg und ein im Sachzusammenhang formuliertes Ergebnis.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Ansatz: $6=\sqrt{t}$. Quadrieren beider Seiten liefert $$6^{2}=t\quad\Rightarrow\quad t=36.$$ Nach Modell A wird ein Radius von $6\ \mathrm{km}$ also $36$ Stunden nach dem Unfall erreicht, das entspricht eineinhalb Tagen. Probe: $\sqrt{36}=6$.

Hinweis zu Aufgabe d)

Rechne beispielhaft den Radius nach $30$ Tagen aus, also für $t=720$, und frage dich anschließend, welche Annahmen des Modells nach so langer Zeit noch zutreffen.„Beurteile“ verlangt ein eigenes, fachlich begründetes Urteil — hier über die Grenzen des Modells.

Erwartungshorizont zu Aufgabe d)

Rechnung: Nach $30$ Tagen ist $t=30\cdot 24=720$. Modell A liefert $r(720)=\sqrt{720}=26{,}83\ldots\approx 26{,}8\ \mathrm{km}$. Die bedeckte Kreisfläche betrüge damit $\pi\cdot 720\approx 2260\ \mathrm{km}^{2}$.

Urteil: Für den Zeitraum von Wochen ist Modell A nicht mehr brauchbar. Erstens wächst $\sqrt{t}$ zwar immer langsamer, aber ohne obere Schranke — die ausgelaufene Ölmenge ist dagegen endlich, sodass die Schicht bei über $2000\ \mathrm{km}^{2}$ längst zu dünn für einen zusammenhängenden Teppich wäre. Zweitens verdunstet und zersetzt sich ein Teil des Öls. Drittens verformen Wind, Strömung und Küstenlinien den Teppich, sodass die Annahme einer Kreisform zusammenbricht.

Modell A beschreibt daher die ersten Stunden bis wenigen Tage sehr gut; für längere Zeiträume müsste ein Modell mit einer oberen Grenze verwendet werden.

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