Symmetrie von Potenzfunktionen: Übungen – Mathe Klasse 11

1Aussagen zu den beiden SymmetrieartenAFB I

Entscheide bei jeder Aussage, ob sie stimmt. Eine falsche Einschätzung startet die Serie neu.

Fünf Aussagen nacheinander.

Aussage 1 von 5

Drei Aussagen beschreiben die Bausteine der Merksätze, zwei die klassischen Stolperstellen: das Vorzeichen bei ungeradem Exponenten und der Unterschied zwischen einem Beispielpunkt und einem Beweis.

2Welche Symmetrie liegt vor?AFB II

Entscheidend ist allein, welche Exponenten im Term vorkommen.

Setze in jeder Zeile genau ein Kreuz in die passende Spalte.

Setze in jeder Zeile genau ein Kreuz. Enter setzt und löscht.

	achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse	punktsymmetrisch zum Ursprung	keines von beidem
\(f(x)=x^{6}\)
\(f(x)=x^{-3}\)
\(f(x)=3x^{2}\)
\(f(x)=x^{5}+x^{3}\)
\(f(x)=x^{3}+x^{2}\)

Gerader Exponent bedeutet Achsensymmetrie, ungerader Exponent Punktsymmetrie — auch bei \(x^{-3}\), denn dort steht die Potenz im Nenner und das Minuszeichen bleibt wegen des ungeraden Exponenten stehen. Der konstante Faktor 3 ändert nichts. Nur bei \(x^{3}+x^{2}\) mischen sich gerader und ungerader Exponent — dann liegt keine der beiden Symmetrien vor.

3Zwei Funktionswerte vergleichenAFB II

Gegeben ist \(f\) mit \(f(x)=x^{4}+x^{2}\).

Berechne Schritt für Schritt \(f(3)\), \(f(-3)\) und \(-f(3)\). Jeder Schritt schaltet den nächsten frei.

Rechne die Kette Schritt für Schritt. Enter prüft.

Berechne \(f(3)=3^{4}+3^{2}=\)
Setze \(-3\) ein. Wie groß ist \((-3)^{4}\)?
Und wie groß ist \((-3)^{2}\)?
Damit ist \(f(-3)=\)
Berechne zum Vergleich \(-f(3)=\)

Es ist \(f(-3)=90=f(3)\), aber \(-f(3)=-90\). Der Vergleich zeigt \(f(-x)=f(x)\): Beide Exponenten sind gerade, deshalb heben sich die Minuszeichen paarweise auf und der Graph ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse.

4\(f(-x)\) aufstellen und vereinfachenAFB II

Gegeben ist \(f\) mit \(f(x)=2x^{5}\).

Gib den vereinfachten Term von \(f(-x)\) an — ohne Klammern. Schreibweise: -3x^4.

Gib den Term ein. Potenzen mit ^. Enter prüft.

Schritt 1: \(f(-x)=2\cdot(-x)^{5}\). Schritt 2: Der Exponent 5 ist ungerade, also ist \((-x)^{5}=-x^{5}\) und damit \(f(-x)=-2x^{5}\). Schritt 3: Das ist genau \(-f(x)\) — der Graph ist punktsymmetrisch zum Ursprung. Der konstante Faktor 2 wandert unverändert mit.

5Den Nachweis in die richtige Reihenfolge bringenAFB I

Nachgewiesen werden soll die Symmetrie von \(f(x)=x^{5}+x^{3}\). Die fünf Zeilen der Musterlösung sind durcheinandergeraten.

Ordne die Zeilen so, dass ein vollständiger Nachweis entsteht.

Ziehe die Zeilen mit der Maus oder verschiebe sie mit den Pfeil-Buttons.

1Schritt 1: \(-x\) einsetzen — \(f(-x)=(-x)^{5}+(-x)^{3}\)

2Schritt 2: Vorzeichen klären — \(=-x^{5}-x^{3}\)

3Schritt 2: Minuszeichen ausklammern — \(=-\left(x^{5}+x^{3}\right)\)

4Schritt 3: mit \(f(x)\) vergleichen — \(=-f(x)\)

5Ergebnis: Der Graph ist punktsymmetrisch zum Ursprung.

Jeder Nachweis hat dieselben drei Schritte: \(-x\) einsetzen, vereinfachen, vergleichen. Weil beide Exponenten ungerade sind, wechseln beide Summanden das Vorzeichen; das Minus lässt sich ausklammern und es bleibt \(-f(x)\) stehen.

6Drei Werte einer Funktion mit VorfaktorAFB II

Gegeben ist \(g\) mit \(g(x)=3x^{2}\).

Berechne die drei Werte und vergleiche anschließend.

Alle drei Felder ausfüllen, dann prüfen. Enter prüft ebenfalls.

\(g(4)=\)\(g(-4)=\)\(-g(4)=\)

\(g(-4)=3\cdot(-4)^{2}=3\cdot16=48\), also \(g(-4)=g(4)\) und nicht \(-g(4)=-48\). Damit gilt \(g(-x)=g(x)\): Der Graph ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. Der konstante Faktor 3 wird beim Vereinfachen einfach mitgeschleppt und ändert an der Symmetrie nichts.

7Ein negativer, gerader ExponentAFB II

Gegeben ist \(f\) mit \(f(x)=x^{-100}\).

Wähle alle Aussagen aus, die zutreffen.

Mehrere Antworten sind richtig. Markiere alle zutreffenden.

Bei \(x^{-100}\) steckt die Potenz im Nenner: \(f(-x)=\frac{1}{(-x)^{100}}=\frac{1}{x^{100}}=f(x)\). Ob das Minuszeichen im Nenner stehen bleibt, hängt nur von der Parität des Exponenten ab — bei 100 Faktoren heben sich die Minuszeichen paarweise auf. Das Vorzeichen des Exponenten spielt für die Symmetrie keine Rolle.

8Die Bedingung für Punktsymmetrie zusammensetzenAFB I

Zu \(P(x\,|\,f(x))\) gehört bei einer Drehung um \(180^\circ\) der Bildpunkt \(P'(-x\,|\,-f(x))\). Er liegt genau dann wieder auf dem Graphen, wenn die passende Gleichung für jedes \(x\) gilt.

Setze die Bedingung für Punktsymmetrie zum Ursprung aus den Bausteinen zusammen.

Klicke die Bausteine in der richtigen Reihenfolge an. Es sind mehr Bausteine vorhanden als Plätze.

Die Bedingung lautet \(f(-x)=-f(x)\). Links steht immer \(f(-x)\) — das Ergebnis nach dem Einsetzen von \(-x\). Rechts steht bei Punktsymmetrie \(-f(x)\), bei Achsensymmetrie dagegen \(f(x)\). Genau dieser Vergleich ist Schritt 3 des Nachweises.

9Wertepaare \(f(a)\) und \(f(-a)\)AFB II

Gegeben ist \(f\) mit \(f(x)=x^{3}\).

Berechne alle acht Funktionswerte. Dezimalzahlen mit Komma oder Punkt.

Fülle alle Felder aus und prüfe dann. Enter in einem Feld prüft ebenfalls.

\(a\)	\(f(a)\)	\(f(-a)\)
\(1\)
\(2\)
\(4\)
\(0{,}5\)

In jeder Zeile sind die beiden Werte entgegengesetzt: \(f(-a)=-f(a)\). Der Exponent 3 ist ungerade, deshalb bleibt das Minuszeichen beim Potenzieren stehen. Das ist genau die Bedingung für Punktsymmetrie zum Ursprung — \(x^{3}\) ist das Musterbeispiel dafür.

10Neun Terme einsortierenAFB II

Schau nur auf die Exponenten: Sind alle gerade, alle ungerade oder gemischt?

Ordne jeden Funktionsterm der Symmetrie zu, die sein Graph besitzt.

Ziehe jede Karte in den passenden Korb — oder wähle sie mit Enter aus und drücke dann die Ziffer des Korbs (0 legt sie zurück).

1achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse

2punktsymmetrisch zum Ursprung

3keines von beidem

Kommen ausschließlich gerade Exponenten vor, bleibt beim Einsetzen von \(-x\) jeder Summand unverändert: \(f(-x)=f(x)\). Sind alle Exponenten ungerade, wechselt jeder Summand das Vorzeichen, du kannst das Minus ausklammern und erhältst \(-f(x)\). Gemischte Terme wie \(x^{2}+x\) erfüllen keine der beiden Gleichungen. Beachte: \(x\) ist \(x^{1}\), also ungerade.

11Der Nachweis als LückentextAFB I

Vervollständige die Beschreibung des dreischrittigen Nachweises. Nicht alle Bausteine werden gebraucht.

Klicke einen Baustein an und danach die Lücke — oder umgekehrt. Ein Klick auf eine gefüllte Lücke legt den Baustein zurück.

Beim rechnerischen Nachweis setzt du in Schritt 1 immer in den Funktionsterm ein. In Schritt 2 vereinfachst du den Term; entscheidend ist dabei das der Klammern. Kommt am Ende heraus, ist der Graph achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse; die Spiegelachse ist dann die Gerade . Kommt dagegen heraus, ist der Graph punktsymmetrisch zum .

Die drei Schritte lauten: \(-x\) einsetzen, vereinfachen, vergleichen. \(f(-x)=f(x)\) bedeutet Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse, also zur Geraden \(x=0\); \(f(-x)=-f(x)\) bedeutet Punktsymmetrie zum Ursprung \(O(0\,|\,0)\). \(y=0\) wäre die \(x\)-Achse und kommt als Spiegelachse hier nicht vor.

12Ein Funktionswert als BruchAFB II

Gegeben ist \(f\) mit \(f(x)=x^{-2}=\frac{1}{x^{2}}\).

Berechne \(f(-3)\) und gib das Ergebnis als vollständig gekürzten Bruch an.

Trage Zähler und Nenner ein. Enter prüft.

\(f(-3)=\frac{1}{(-3)^{2}}=\frac{1}{9}\). Der Exponent 2 ist gerade, deshalb verschwindet das Minuszeichen im Nenner. Wegen \(f(3)=\frac{1}{9}=f(-3)\) ist der Graph achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse — das Muster gilt eben auch für negative Exponenten.

13Fehlersuche in einem NachweisAFB III

Ein Schüler untersucht \(f(x)=x^{3}+x^{2}\) auf Symmetrie. Zwei Zeilen sind falsch.

Klicke genau die fehlerhaften Zeilen an.

In diesem Lösungsweg stecken Fehler. Klicke genau die falschen Zeilen an.

Nur das Ausklammern in Zeile 3 ist falsch, und daraus folgt die falsche Behauptung in Zeile 4. Der Term mischt einen ungeraden und einen geraden Exponenten: \(x^{3}\) wechselt das Vorzeichen, \(x^{2}\) nicht. Die Probe in den letzten beiden Zeilen zeigt mit einem einzigen Gegenbeispiel, dass die Bedingung nicht für jedes \(x\) gilt.

14Den Exponenten zurückrechnenAFB III

Der Graph von \(f(x)=x^{n}\) ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse, und es gilt \(f(-2)=0{,}0625\). Der Exponent \(n\) ist eine ganze Zahl.

Bestimme den Exponenten \(n\).

Trage nur die Zahl \(n\) ein. Enter prüft.

Aus \(0{,}0625=\frac{1}{16}\) folgt, dass die Potenz im Nenner steht — der Exponent ist also negativ. Wegen \(2^{4}=16\) kommt nur \(n=-4\) in Frage: \((-2)^{-4}=\frac{1}{(-2)^{4}}=\frac{1}{16}=0{,}0625\). Das passt auch zur Achsensymmetrie, denn \(-4\) ist gerade; bei \(n=-5\) wäre der Wert negativ und der Graph punktsymmetrisch.

15Eine Summe zweier Potenzen umformenAFB III

Gegeben ist \(f\) mit \(f(x)=2x^{5}-x^{3}\).

Gib den vollständig vereinfachten Term von \(f(-x)\) an — ohne Klammern. Schreibweise: -3x^4+x^2.

Gib den Term ein. Potenzen mit ^. Enter prüft.

Schritt 1: \(f(-x)=2\cdot(-x)^{5}-(-x)^{3}\). Schritt 2: Beide Exponenten sind ungerade, also \((-x)^{5}=-x^{5}\) und \((-x)^{3}=-x^{3}\); damit wird \(f(-x)=-2x^{5}+x^{3}\) — beim zweiten Summanden wird aus „minus mal minus“ ein Plus. Schritt 3: \(-2x^{5}+x^{3}=-\left(2x^{5}-x^{3}\right)=-f(x)\), der Graph ist punktsymmetrisch zum Ursprung.

16Nachweis bei einem negativen ExponentenAFB III

Untersucht wird \(f(x)=x^{-3}\).

Spiele den Nachweis durch — nur die richtige Karte bringt dich weiter.

Spiele den Lösungsweg Schritt für Schritt durch.

Auch bei negativen Exponenten entscheidet allein die Parität: \(-3\) ist ungerade, also \(f(-x)=-f(x)\) und der Graph ist punktsymmetrisch zum Ursprung. Bei \(x^{-100}\) wäre derselbe Weg auf Achsensymmetrie hinausgelaufen.

17\(f(x)\) und \(f(-x)\) als PaarAFB II

Finde die fünf Paare aus Funktionsterm und zugehörigem vereinfachten Term von \(f(-x)\). Du hast 16 Versuche.

Decke immer zwei Karten auf. Passen sie zusammen, bleiben sie offen liegen.

Versuche: 0 von 16

Bei geradem Exponenten bleibt der Term unverändert, bei ungeradem dreht sich sein Vorzeichen um — der konstante Faktor bleibt jedes Mal unberührt. Bei \(f(x)=-x^{5}\) steht schon ein Minuszeichen davor: \(f(-x)=-(-x)^{5}=-(-x^{5})=x^{5}\).

18Ein Gegenbeispiel ausrechnenAFB II

Gegeben ist \(f\) mit \(f(x)=x^{4}+x^{3}\).

Berechne die fünf Werte und vergleiche anschließend \(f(-2)\) mit \(f(2)\) und \(-f(2)\).

Fülle alle Felder aus und prüfe dann auf einmal.

Wert	\(f(1)\)	\(f(-1)\)	\(f(2)\)	\(f(-2)\)	\(-f(2)\)
Ergebnis

\(f(2)=16+8=24\), \(f(-2)=16-8=8\) und \(-f(2)=-24\). Der Wert \(f(-2)=8\) stimmt mit keinem der beiden anderen überein — dieses eine Gegenbeispiel genügt, um beide Symmetrien auszuschließen. Ursache ist die Mischung: \(x^{4}\) behält sein Vorzeichen, \(x^{3}\) wechselt es. Auch \(f(1)=2\) und \(f(-1)=0\) zeigen das.

19Was gehört zu welcher Symmetrie?AFB II

Ordne jeden Begriff dem Bereich zu, in den er gehört.

Klicke einen Begriff an und danach den passenden Bereich — oder wähle ihn mit Enter aus und drücke dann die Ziffer des Bereichs.

1 nur Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse

2 nur Punktsymmetrie zum Ursprung

3 gilt bei beiden Symmetriearten

Beide Merksätze haben dieselbe Bauart: links \(f(-x)\), rechts \(f(x)\) oder \(-f(x)\). Der Unterschied steckt nur im Vorzeichen der rechten Seite — und damit darin, ob gespiegelt (Spiegelachse \(x=0\)) oder gedreht wird (Symmetriezentrum \(O(0\,|\,0)\)).

20Symmetrie mit dem EntscheidungsbaumAFB II

Gegeben ist \(g(x)=x^{-7}\).

Bestimme mit dem Entscheidungsbaum, welche Symmetrie der Graph besitzt.

Beantworte die Fragen mit Ja oder Nein und schau, wo du herauskommst.

Bei \(g(x)=x^{-7}\) ist der Term eine einzige Potenz, und \(-7\) ist ungerade — der Weg führt also zu „punktsymmetrisch zum Ursprung“. Das negative Vorzeichen des Exponenten spielt dabei keine Rolle, nur seine Parität. Der Baum fasst genau das Muster der Eigenschaftstabelle zusammen.

Interaktive ÜbungSymmetrie von Potenzfunktionen

20 Übungsaufgaben