Parabolrinne eines Solarkraftwerks
AFB IIn einem solarthermischen Kraftwerk bündeln lange Parabolrinnen das Sonnenlicht auf ein Absorberrohr. Der Querschnitt einer solchen Rinne wird durch $$h(x)=0{,}05\,x^{2}$$ beschrieben. Dabei ist \(x\) der waagerechte Abstand von der Rinnenmitte in Metern und \(h(x)\) die Höhe des Spiegelrands über dem tiefsten Punkt, ebenfalls in Metern. Die Rinne ist \(6\ \mathrm{m}\) breit, es gilt also \(-3\le x\le 3\).
- Berechne die Höhen \(h(1)\), \(h(-1)\), \(h(3)\) und \(h(-3)\).
- Gib an welche Symmetrie der Querschnitt besitzt, und notiere die zugehörige Bedingung in Formelschreibweise.
- Beschreibe welchen praktischen Vorteil diese Symmetrie beim Anfertigen einer Biegeschablone für die Spiegelbleche hat.
Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
\(h(1)=0{,}05\cdot 1^{2}=0{,}05\cdot 1=0{,}05\), also \(0{,}05\ \mathrm{m}\).
\(h(-1)=0{,}05\cdot(-1)^{2}=0{,}05\cdot 1=0{,}05\), also \(0{,}05\ \mathrm{m}\).
\(h(3)=0{,}05\cdot 3^{2}=0{,}05\cdot 9=0{,}45\), also \(0{,}45\ \mathrm{m}\).
\(h(-3)=0{,}05\cdot(-3)^{2}=0{,}05\cdot 9=0{,}45\), also \(0{,}45\ \mathrm{m}\).
Zwei Stellen mit gleichem Abstand zur Mitte liefern also dieselbe Höhe; der Spiegelrand liegt beidseitig \(0{,}45\ \mathrm{m}\) über dem tiefsten Punkt.
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Der Querschnitt ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse, also zur senkrechten Geraden \(x=0\) durch die Rinnenmitte. Die Bedingung lautet $$h(-x)=h(x)\qquad\text{für alle }x\text{ mit }-3\le x\le 3.$$ Der Exponent \(2\) ist gerade — genau darauf beruht die Achsensymmetrie.
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Weil zu jedem \(x\) der Wert an der Stelle \(-x\) derselbe ist, muss nur die halbe Rinne berechnet und vermessen werden: Eine Schablone für \(0\le x\le 3\) genügt, die zweite Hälfte entsteht durch Spiegeln an der Mittelachse. Das halbiert den Aufwand bei Konstruktion, Fertigung und Qualitätskontrolle und sichert zugleich, dass beide Hälften das Licht auf dieselbe Brennlinie werfen.
Kennlinie eines Audioverstärkers
AFB IIEin Audioverstärker macht aus einer kleinen Eingangsspannung \(u\) eine größere Ausgangsspannung. Bei kräftiger Aussteuerung verläuft seine Kennlinie nicht mehr geradlinig. Das Datenblatt gibt sie für \(-3\ \mathrm{V}\le u\le 3\ \mathrm{V}\) mit $$U(u)=8u-0{,}5\,u^{3}$$ an; beide Spannungen werden in Volt gemessen. Ein negatives \(u\) steht dabei für die entgegengesetzte Auslenkung der Lautsprechermembran.
- Berechne die Ausgangsspannungen \(U(1)\), \(U(-1)\), \(U(2)\) und \(U(-2)\).
- Weise nach dass \(U(-u)=-U(u)\) für alle \(u\) des angegebenen Bereichs gilt.
- Deute die Punktsymmetrie der Kennlinie im Sachzusammenhang.
- Überprüfe ob die Symmetrie erhalten bleibt, wenn ein Bauteilfehler eine feste Offsetspannung von \(0{,}3\ \mathrm{V}\) hinzufügt, die Kennlinie also \(V(u)=8u-0{,}5\,u^{3}+0{,}3\) lautet.
Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
\(U(1)=8\cdot 1-0{,}5\cdot 1^{3}=8-0{,}5=7{,}5\), also \(7{,}5\ \mathrm{V}\).
\(U(-1)=8\cdot(-1)-0{,}5\cdot(-1)^{3}=-8-0{,}5\cdot(-1)=-8+0{,}5=-7{,}5\), also \(-7{,}5\ \mathrm{V}\).
\(U(2)=8\cdot 2-0{,}5\cdot 2^{3}=16-0{,}5\cdot 8=16-4=12\), also \(12\ \mathrm{V}\).
\(U(-2)=8\cdot(-2)-0{,}5\cdot(-2)^{3}=-16-0{,}5\cdot(-8)=-16+4=-12\), also \(-12\ \mathrm{V}\).
Zu jeder Eingangsspannung gehört bei umgekehrtem Vorzeichen der genau entgegengesetzte Ausgangswert.
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Schritt 1 und 2 (einsetzen und vereinfachen):
$$U(-u)=8\cdot(-u)-0{,}5\cdot(-u)^{3}=-8u-0{,}5\cdot\left(-u^{3}\right)=-8u+0{,}5u^{3}=-\left(8u-0{,}5u^{3}\right)=-U(u)$$Schritt 3 (vergleichen): Es kommt \(-U(u)\) heraus, der Graph ist also punktsymmetrisch zum Ursprung. Beide Exponenten, \(1\) und \(3\), sind ungerade; deshalb wechseln beide Summanden beim Einsetzen von \(-u\) das Vorzeichen, und das Minus lässt sich ausklammern.
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Die Punktsymmetrie bedeutet, dass der Verstärker die beiden Halbwellen eines Tonsignals gleich behandelt: Zu \(-2\ \mathrm{V}\) am Eingang gehört mit \(-12\ \mathrm{V}\) genau der entgegengesetzte Wert wie zu \(+2\ \mathrm{V}\) mit \(12\ \mathrm{V}\). Die Membran wird also nach innen genauso weit ausgelenkt wie nach außen. Verzerrungen gibt es zwar — der Summand \(-0{,}5u^{3}\) drückt die Kennlinie bei großer Aussteuerung ab —, sie fallen aber in beiden Richtungen gleich stark aus. Ein Gleichanteil, der die Membran dauerhaft aus der Ruhelage schieben würde, entsteht nicht.
Hinweis zu Aufgabe d)
Erwartungshorizont zu Aufgabe d)
Gegenbeispiel: \(V(2)=16-4+0{,}3=12{,}3\ \mathrm{V}\) und \(V(-2)=-16+4+0{,}3=-11{,}7\ \mathrm{V}\). Damit ist \(-V(2)=-12{,}3\ \mathrm{V}\neq -11{,}7\ \mathrm{V}=V(-2)\), also keine Punktsymmetrie. Wegen \(V(-2)=-11{,}7\ \mathrm{V}\neq 12{,}3\ \mathrm{V}=V(2)\) liegt auch keine Achsensymmetrie vor.
Allgemein: \(V(-u)=-8u+0{,}5u^{3}+0{,}3\), aber \(-V(u)=-8u+0{,}5u^{3}-0{,}3\). Die beiden Terme unterscheiden sich um \(0{,}6\) und stimmen für kein \(u\) überein. Der konstante Summand hängt nicht von \(u\) ab und passt damit nicht zu den beiden ungeraden Potenzen; er verschiebt die ganze Kennlinie nach oben. Im Sachkontext heißt das: Die Membran hat eine dauerhaft verschobene Ruhelage, die Halbwellen werden ungleich verstärkt.
Signalton in einem Werksgang
AFB IIIn einem langen, geraden Werksgang hängt in der Mitte ein Signallautsprecher. Für die Schallintensität an einer Stelle des Ganges gilt näherungsweise $$I(x)=72\,x^{-2}.$$ Dabei ist \(x\) der Abstand zum Lautsprecher in Metern — nach rechts positiv, nach links negativ gezählt — und \(I(x)\) die Intensität in \(\mathrm{mW/m^{2}}\).
- Berechne die Intensität an den Stellen \(x=3\), \(x=-3\), \(x=6\) und \(x=-6\).
- Weise nach dass der Graph von \(I\) achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse ist.
- Erkläre warum die Stelle \(x=0\) nicht zum Definitionsbereich gehört, und was die Achsensymmetrie im Sachzusammenhang bedeutet.
- Bestimme alle Stellen des Ganges, an denen die Intensität \(0{,}5\ \mathrm{mW/m^{2}}\) beträgt, und begründe mit der Symmetrie, dass es genau zwei sind.
Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
\(I(3)=\dfrac{72}{3^{2}}=\dfrac{72}{9}=8\), also \(8\ \mathrm{mW/m^{2}}\).
\(I(-3)=\dfrac{72}{(-3)^{2}}=\dfrac{72}{9}=8\), also \(8\ \mathrm{mW/m^{2}}\).
\(I(6)=\dfrac{72}{6^{2}}=\dfrac{72}{36}=2\), also \(2\ \mathrm{mW/m^{2}}\).
\(I(-6)=\dfrac{72}{(-6)^{2}}=\dfrac{72}{36}=2\), also \(2\ \mathrm{mW/m^{2}}\).
Links und rechts vom Lautsprecher ergeben gleiche Abstände gleiche Intensitäten.
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
$$I(-x)=72\cdot(-x)^{-2}=\frac{72}{(-x)^{2}}=\frac{72}{(-x)\cdot(-x)}=\frac{72}{x^{2}}=72\,x^{-2}=I(x)$$
Es gilt \(I(-x)=I(x)\) für jedes \(x\neq 0\), der Graph ist also achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. Der Exponent \(-2\) ist eine gerade Zahl; die beiden Minuszeichen im Nenner heben sich gegenseitig auf.
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Für \(x=0\) stünde im Nenner \(0^{2}=0\); die Division durch null ist nicht erklärt. Der Definitionsbereich ist deshalb \(D=\mathbb{R}\setminus\{0\}\). Auch sachlich passt das: Direkt am Lautsprecher liefert das Modell keinen Wert, denn die Intensität würde dort über alle Grenzen wachsen — eine punktförmige Schallquelle gibt es in Wirklichkeit nicht.
Die Achsensymmetrie bedeutet: Zwei Personen, die links und rechts vom Lautsprecher gleich weit entfernt stehen, hören den Signalton gleich laut. Für die Planung genügt es daher, eine Seite des Ganges zu betrachten.
Hinweis zu Aufgabe d)
Erwartungshorizont zu Aufgabe d)
Ansatz: $$\frac{72}{x^{2}}=0{,}5\;\Longrightarrow\;x^{2}=\frac{72}{0{,}5}=144\;\Longrightarrow\;x=12\ \text{oder}\ x=-12$$
Probe: \(I(12)=\dfrac{72}{144}=0{,}5\) und \(I(-12)=\dfrac{72}{144}=0{,}5\). Die gesuchten Stellen liegen also \(12\ \mathrm{m}\) rechts und \(12\ \mathrm{m}\) links vom Lautsprecher.
Begründung mit der Symmetrie: Wegen \(I(-x)=I(x)\) gehört zu jeder Lösung auch die an der \(y\)-Achse gespiegelte. Da \(I\) für \(x>0\) mit wachsendem Abstand streng fällt, gibt es dort genau eine Lösung — zusammen mit ihrem Spiegelbild also genau zwei.
Strömungsprofil in einem Blutgefäß
AFB IIIn einem geraden Blutgefäß mit dem Innenradius \(3\ \mathrm{mm}\) strömt das Blut in der Mitte am schnellsten und haftet an der Gefäßwand. Ein Standardmodell beschreibt die Strömungsgeschwindigkeit durch $$v(r)=0{,}36-0{,}04\,r^{2}.$$ Dabei ist \(r\) der Abstand von der Gefäßachse in Millimetern — zu einer Seite positiv, zur anderen negativ gezählt — und \(v(r)\) die Geschwindigkeit in \(\mathrm{m/s}\). Es gilt \(-3\le r\le 3\).
- Berechne die Geschwindigkeiten \(v(0)\), \(v(2)\), \(v(-2)\) und \(v(3)\) und deute den letzten Wert.
- Zeige dass \(v(-r)=v(r)\) für alle \(r\) mit \(-3\le r\le 3\) gilt.
- Erkläre warum der konstante Summand \(0{,}36\) die Achsensymmetrie nicht zerstört.
- Überprüfe ob das abgewandelte Modell \(w(r)=0{,}36-0{,}04\,r^{3}\) für dasselbe Gefäß brauchbar wäre.
Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
\(v(0)=0{,}36-0{,}04\cdot 0^{2}=0{,}36\), also \(0{,}36\ \mathrm{m/s}\).
\(v(2)=0{,}36-0{,}04\cdot 2^{2}=0{,}36-0{,}16=0{,}20\), also \(0{,}20\ \mathrm{m/s}\).
\(v(-2)=0{,}36-0{,}04\cdot(-2)^{2}=0{,}36-0{,}04\cdot 4=0{,}36-0{,}16=0{,}20\), also \(0{,}20\ \mathrm{m/s}\).
\(v(3)=0{,}36-0{,}04\cdot 3^{2}=0{,}36-0{,}36=0\), also \(0\ \mathrm{m/s}\).
Deutung: An der Gefäßwand ist die Geschwindigkeit null — das Blut haftet dort. In der Mitte ist sie mit \(0{,}36\ \mathrm{m/s}\) am größten.
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
$$v(-r)=0{,}36-0{,}04\cdot(-r)^{2}=0{,}36-0{,}04\cdot\left((-r)\cdot(-r)\right)=0{,}36-0{,}04\,r^{2}=v(r)$$
Es gilt also \(v(-r)=v(r)\) für jedes \(r\) des Bereichs. Der Graph ist achsensymmetrisch zur senkrechten Achse durch die Gefäßmitte. Sachlich heißt das: Zwei Punkte, die gleich weit von der Achse entfernt liegen, haben dieselbe Strömungsgeschwindigkeit.
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Der Summand \(0{,}36\) hängt gar nicht von \(r\) ab: Beim Einsetzen von \(-r\) bleibt er unverändert stehen. Formal lässt er sich als Potenz mit dem Exponenten \(0\) auffassen, und \(0\) ist eine gerade Zahl. Für die Achsensymmetrie ist entscheidend, dass jeder Summand beim Ersetzen von \(r\) durch \(-r\) unverändert bleibt. Hier gilt das für beide Summanden — der eine, weil er konstant ist, der andere, weil der Exponent \(2\) gerade ist. Eine Konstante verschiebt den Graphen lediglich nach oben; die Spiegelachse bleibt dabei senkrecht stehen.
Hinweis zu Aufgabe d)
Erwartungshorizont zu Aufgabe d)
Rechnung: \(w(2)=0{,}36-0{,}04\cdot 8=0{,}36-0{,}32=0{,}04\ \mathrm{m/s}\), aber \(w(-2)=0{,}36-0{,}04\cdot(-8)=0{,}36+0{,}32=0{,}68\ \mathrm{m/s}\).
Symmetrie: Wegen \(w(-2)\neq w(2)\) ist \(w\) nicht achsensymmetrisch; wegen \(-w(2)=-0{,}04\ \mathrm{m/s}\neq 0{,}68\ \mathrm{m/s}=w(-2)\) auch nicht punktsymmetrisch. Der Grund: Der ungerade Exponent \(3\) passt nicht zum konstanten Summanden mit dem geraden Exponenten \(0\).
Urteil: Das Gefäß ist rund und damit spiegelbildlich gebaut; das Modell müsste zwingend achsensymmetrisch sein. Zusätzlich liefert \(w(3)=0{,}36-0{,}04\cdot 27=0{,}36-1{,}08=-0{,}72\ \mathrm{m/s}\) an der Wand eine negative Geschwindigkeit, also einen Rückfluss, den es dort nicht gibt. Das Modell \(w\) ist deshalb unbrauchbar.
Seitenkraft im Windkanal
AFB IIIIn einem Windkanal wird gemessen, welche Seitenkraft \(F\) auf ein Fahrzeug wirkt, wenn der Wind schräg von vorn kommt. Der Anströmwinkel \(\alpha\) wird in Grad angegeben; er ist positiv, wenn der Wind von rechts kommt, und negativ, wenn er von links kommt. Die Kraft \(F\) wird in Newton gemessen. Gemessen wurden \(F(5)=65\), \(F(10)=160\) und \(F(-10)=-160\). Für die Auswertung wird der Ansatz $$F(\alpha)=c_{1}\,\alpha+c_{3}\,\alpha^{3}$$ verwendet. Die Karosserie des Fahrzeugs ist links und rechts spiegelbildlich gebaut.
- Ermittle die Zahlen \(c_{1}\) und \(c_{3}\) aus den beiden Messwerten bei \(\alpha=5\) und \(\alpha=10\).
- Weise nach dass die gefundene Funktion punktsymmetrisch zum Ursprung ist, und deute das Ergebnis mit Blick auf die Bauform des Fahrzeugs.
- Vergleiche das Modell mit dem Alternativansatz \(G(\alpha)=0{,}6\,\alpha^{2}+10\,\alpha\) und entscheide, welcher der beiden Ansätze für dieses Fahrzeug geeignet ist.
- Beurteile ob mit \(F\) auch die Seitenkraft bei einem Anströmwinkel von \(60\) Grad vorhergesagt werden darf.
Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Ansatz: $$5c_{1}+125c_{3}=65\qquad\text{und}\qquad 10c_{1}+1000c_{3}=160$$
Division durch \(5\) beziehungsweise \(10\) liefert \(c_{1}+25c_{3}=13\) und \(c_{1}+100c_{3}=16\). Die Differenz ergibt \(75c_{3}=3\), also \(c_{3}=0{,}04\), und damit \(c_{1}=13-25\cdot 0{,}04=13-1=12\).
Ergebnis: \(F(\alpha)=12\alpha+0{,}04\,\alpha^{3}\).
Probe: \(F(5)=60+0{,}04\cdot 125=60+5=65\ \mathrm{N}\) und \(F(10)=120+0{,}04\cdot 1000=120+40=160\ \mathrm{N}\).
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
$$F(-\alpha)=12\cdot(-\alpha)+0{,}04\cdot(-\alpha)^{3}=-12\alpha-0{,}04\,\alpha^{3}=-\left(12\alpha+0{,}04\,\alpha^{3}\right)=-F(\alpha)$$
Beide Exponenten, \(1\) und \(3\), sind ungerade; daher wechseln beide Summanden das Vorzeichen und der Graph ist punktsymmetrisch zum Ursprung.
Deutung: Weil die Karosserie links und rechts spiegelbildlich ist, muss Wind von links dieselbe Kraft erzeugen wie Wind von rechts, nur in die entgegengesetzte Richtung. Genau das drückt \(F(-\alpha)=-F(\alpha)\) aus. Die Rechnung \(F(-10)=-120-40=-160\ \mathrm{N}\) stimmt mit der dritten Messung überein.
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Kriterium 1 — die beiden ersten Messwerte: \(G(5)=0{,}6\cdot 25+50=15+50=65\ \mathrm{N}\) und \(G(10)=0{,}6\cdot 100+100=60+100=160\ \mathrm{N}\). Beide Modelle treffen diese Werte also gleich gut; zwei Messwerte reichen zur Entscheidung nicht aus.
Kriterium 2 — die Messung bei \(\alpha=-10\): \(G(-10)=0{,}6\cdot 100-100=60-100=-40\ \mathrm{N}\), gemessen wurden aber \(-160\ \mathrm{N}\). Das Modell \(F\) liefert dagegen genau \(-160\ \mathrm{N}\).
Kriterium 3 — die Symmetrie: In \(G\) steht neben dem ungeraden Exponenten \(1\) der gerade Exponent \(2\). Wegen \(G(-10)=-40\ \mathrm{N}\), \(G(10)=160\ \mathrm{N}\) und \(-G(10)=-160\ \mathrm{N}\) ist \(G\) weder achsen- noch punktsymmetrisch. Das widerspricht der spiegelbildlichen Bauform.
Entscheidung: Geeignet ist \(F(\alpha)=12\alpha+0{,}04\,\alpha^{3}\). Der Ansatz \(G\) scheidet aus, weil er die dritte Messung verfehlt und die physikalisch geforderte Punktsymmetrie nicht besitzt.
Hinweis zu Aufgabe d)
Erwartungshorizont zu Aufgabe d)
Rechnung: \(F(60)=12\cdot 60+0{,}04\cdot 60^{3}=720+0{,}04\cdot 216\,000=720+8640=9360\), also \(9360\ \mathrm{N}\).
Einordnung: Das entspricht ungefähr der Gewichtskraft einer Masse von \(950\ \mathrm{kg}\) und ist als Seitenkraft auf ein Fahrzeug unrealistisch. Das Modell wurde außerdem nur aus Messungen zwischen \(-10\) und \(10\) Grad gewonnen; \(60\) Grad liegt weit außerhalb dieses Bereichs. Physikalisch reißt die Strömung bei stark schräger Anströmung ab, die Seitenkraft wächst dann nicht weiter kubisch, sondern flacht ab oder bricht ein.
Urteil: Die Vorhersage ist nicht zulässig — es handelt sich um eine unzulässige Extrapolation. Die Punktsymmetrie \(F(-\alpha)=-F(\alpha)\) bleibt mathematisch zwar für jedes \(\alpha\) richtig, sagt aber nichts darüber aus, ob das Modell außerhalb des Messbereichs die Wirklichkeit noch beschreibt. Für \(60\) Grad müsste neu gemessen werden.