Zum NachschlagenZurück zur ErklärungDie vier Zeichenschritte von der Mittellinie bis zu den Hoch- und Tiefpunkten.
Nächster SchrittZu den TextaufgabenFünf Sachaufgaben, in denen du das Gerüst einer Sinuskurve selbst aufbaust: Mittellinie, Startpunkt, Periode, Hoch- und Tiefpunkte — von der Schaukel bis zur Tonkurve am Synthesizer.
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Übungsaufgaben
Zwanzig Aufgaben. Du rechnest jedes Mal dasselbe Gerüst aus — Mittellinie, Startpunkt, Periode, Extrempunkte — und gehst am Ende den Weg rückwärts vom Schaubild zum Term.
1Die vier Schritte in der richtigen ReihenfolgeAFB I
Ordne die vier Zeichenschritte so, wie sie in der Anleitung aufeinander folgen.
Ziehe die Zeilen oder verschiebe sie mit den Pfeil-Buttons.
1Mittellinie \(y=d\) einzeichnen
2Startpunkt um \(c\) verschieben
3Periode abtragen und die Nullstellen dazwischen setzen
4Hoch- und Tiefpunkte setzen und die Kurve zeichnen
Die Reihenfolge ist kein Zufall: Ohne Mittellinie weißt du nicht, wo die Nullstellen liegen, und ohne Nullstellen findest du die Hoch- und Tiefpunkte nicht. Die Kurve entsteht ganz am Ende — aus einem Gerüst, das schon vollständig steht.
2Das Gerüst einer FunktionAFB II
\(f(x)=3\cdot\sin\big(2\cdot(x+4)\big)+1\)
Bestimme die vier Angaben, die du zum Zeichnen brauchst. Runde auf zwei Nachkommastellen.Nur die Zahl eintragen. Alle vier Felder werden gemeinsam geprüft.
Mittellinie bei \(y=\)
Startpunkt bei \(x=\)
Periode \(p=\)
Abstand zweier benachbarter Nullstellen \(=\)
Mittellinie \(y=d=1\); wegen \(c=4>0\) wandert der Startpunkt um \(4\) nach links, also auf \(x=-4\); Periode \(\frac{2\pi}{2}=\pi\approx 3{,}14\). Zwei benachbarte Nullstellen liegen immer eine halbe Periode auseinander, hier also \(\frac{\pi}{2}\approx 1{,}57\).
3Wie hoch liegen die Hochpunkte?AFB II
Berechne für \(f(x)=3\cdot\sin\big(2\cdot(x+4)\big)+1\) die Höhe der Hochpunkte.
Nur die Zahl eintragen. Enter prüft.
Die Hochpunkte liegen um die Amplitude \(|a|=3\) über der Mittellinie \(y=1\), also bei \(y=1+3=4\). Die Tiefpunkte liegen genauso weit darunter, bei \(y=1-3=-2\).
4Noch ein GerüstAFB II
\(f(x)=2\cdot\sin\big(0{,}5\cdot(x-\pi)\big)-1\)
Bestimme die vier Angaben. Runde auf zwei Nachkommastellen.Nur die Zahl eintragen. Alle vier Felder werden gemeinsam geprüft.
Amplitude \(|2|=2\); Periode \(\frac{2\pi}{0{,}5}=4\pi\approx 12{,}57\); in der Klammer steht \(x+(-\pi)\), also \(c=-\pi<0\) und der Startpunkt wandert um \(\pi\approx 3{,}14\) nach rechts; Mittellinie \(y=d=-1\). Diese Kurve ist sehr flach gezogen — eine volle Welle braucht fast \(13\) Einheiten.
5Das Gerüst am SchaubildAFB II
Gezeichnet ist \(f(x)=2\cdot\sin(x)-1\). Klicke die geforderten Stellen an.
Cursor mit der Maus oder mit ←/→ bewegen, Klick bzw. Enter setzt die Marke.
Wichtig ist der Unterschied zwischen Nullstelle und Mittellinienpunkt: Wegen \(d=-1\) liegt die Mittellinie unterhalb der \(x\)-Achse. Die Kurve schwingt zwischen \(-3\) und \(1\) — sie hat zwar echte Nullstellen, aber die Marken des Gerüsts liegen auf \(y=-1\).
6Rechenkette: das ganze GerüstAFB II
\(f(x)=4\cdot\sin\big(2\cdot(x-1)\big)+3\)
Bestimme Schritt für Schritt alles, was du zum Zeichnen brauchst.Zahlen mit Komma oder Punkt. Enter prüft die aktuelle Zeile.
- Wie groß ist die Amplitude?
- Wie groß ist die Periode? (zwei Nachkommastellen)
- Bei welchem \(x\) liegt der Startpunkt?
- Auf welcher Höhe liegen die Hochpunkte?
Amplitude \(4\), Periode \(\frac{2\pi}{2}=\pi\approx 3{,}14\), Startpunkt bei \(x=1\) (denn \(c=-1\) verschiebt nach rechts) und Hochpunkte bei \(y=3+4=7\). Die Tiefpunkte liegen entsprechend bei \(y=3-4=-1\).
7Was gilt beim Zeichnen?AFB II
Markiere alle Aussagen, die richtig sind.
Mehrere Antworten können richtig sein.
Das Gerüst ersetzt die Wertetabelle vollständig — das ist der ganze Sinn der Anleitung. Und ohne weitere Angabe zeichnet man von \(-2\pi\) bis \(2\pi\), also auch nach links.
8Fehlersuche in einer ZeichenanleitungAFB II
Jemand beschreibt, wie er \(f(x)=2\cdot\sin\big(3\cdot(x+\pi)\big)-4\) zeichnet.
Klicke genau die Zeilen an, die falsch sind.Klicke genau die falschen Zeilen an — die richtigen musst du stehen lassen.
Beide Fehler betreffen Abstände: einmal die Richtung der waagerechten Verschiebung, einmal die Verwechslung von ganzer und halber Periode. Die Zeilen 5 und 6 sind übrigens richtig: \(-4+2=-2\) und \(-4-2=-6\).
9Erste Phase und ExtremwerteAFB II
\(f(x)=-2\cdot\sin(x)+1\)
Bestimme, ob die erste Phase nach dem Startpunkt oberhalb oder unterhalb der Mittellinie verläuft, und gib die Höhen der Hoch- und Tiefpunkte an.Beim ersten Feld
oben oder unten eintragen. Dann alles gemeinsam prüfen.Wegen \(a=-2<0\) beginnt die Welle nach unten — die Kurve ist an der Mittellinie gespiegelt. Die Höhen hängen aber nur vom Betrag ab: \(1+2=3\) und \(1-2=-1\). Das Vorzeichen von \(a\) entscheidet also nur über die Reihenfolge, nicht über die Werte.
10Vom Gerüst zum TermAFB III
Eine Sinuskurve hat die Mittellinie \(y=2\), die Amplitude \(3\), die Periode \(2\pi\) und ihren Startpunkt bei \(x=0\). Die erste Phase verläuft oberhalb der Mittellinie.
Gib den Term der Funktion an.Schreibe zum Beispiel
3*sin(x)+2 oder kurz 3sin(x)+2. Enter prüft.Amplitude \(3\) und erste Phase oben geben \(a=3\); Periode \(2\pi\) gibt \(b=1\); Startpunkt bei \(x=0\) gibt \(c=0\); Mittellinie \(y=2\) gibt \(d=2\). Also \(f(x)=3\cdot\sin(x)+2\).
11Stimmt das?AFB I
Entscheide bei jeder Aussage, ob sie stimmt.
Fünf Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann startest du die Serie neu.
Zwei Aussagen prüfen die Richtung der Verschiebung und die Zuständigkeit der Parameter — genau die beiden Stellen, an denen beim Zeichnen die meisten Fehler passieren.
12Angabe und ZeichenschrittAFB II
Verbinde jede Angabe mit dem, was sie im Schaubild festlegt.
Wähle links eine Angabe aus (Klick oder Enter) und klicke dann rechts das passende Ergebnis an.
Die letzten beiden Zeilen unterscheiden sich nur im Vorzeichen von \(a\): Die Höhen bleiben gleich, aber die Welle startet einmal nach oben und einmal nach unten. Und \(b=4\) ergibt \(p=\frac{2\pi}{4}=\frac12\pi\).
13Ablauf: eine Kurve zeichnenAFB III
Gezeichnet werden soll \(f(x)=3\cdot\sin\big(2\cdot(x+4)\big)+1\).
Spiele die Zeichnung Schritt für Schritt durch.Was ist der nächste richtige Schritt? Nur die richtige Karte bringt dich weiter.
Vier Schritte, vier Parameter: \(d\) gibt die Mittellinie, \(c\) den Startpunkt, \(b\) die Periode und \(a\) die Höhe der Extrempunkte. Wer die Reihenfolge einhält, braucht keine einzige Wertetabelle.
14Beginnt die Welle oben oder unten?AFB II
Setze in jeder Zeile genau ein Kreuz. Gemeint ist die erste Phase rechts vom Startpunkt.
In jeder Zeile gehört genau ein Kreuz.
| erste Phase über der Mittellinie | erste Phase unter der Mittellinie | |
|---|---|---|
| \(f(x)=\sin(x)\) | ||
| \(f(x)=-\sin(x)\) | ||
| \(f(x)=0{,}5\cdot\sin(2x)+3\) | ||
| \(f(x)=-4\cdot\sin\big(x-1\big)\) | ||
| \(f(x)=2\cdot\sin(3x)-5\) | ||
| \(f(x)=-\tfrac12\cdot\sin(x)+2\) |
Nur das Vorzeichen von \(a\) entscheidet. Weder \(b\) noch \(c\) noch \(d\) haben darauf Einfluss — auch dann nicht, wenn die Mittellinie wie in Zeile 5 tief unter der \(x\)-Achse liegt.
15Eine nach links verschobene KurveAFB III
Gezeichnet ist \(f(x)=\sin\left(x+\tfrac12\pi\right)\), gestrichelt \(\cos(x)\) zum Vergleich. Klicke die geforderten Stellen des Gerüsts an.
Cursor mit der Maus oder mit ←/→ bewegen, Klick bzw. Enter setzt die Marke.
Die Kurve ist um \(\frac12\pi\) nach links geschobene Sinuskurve — und liegt damit genau auf der Cosinuskurve. Am Gerüst siehst du die Viertelschritte: Startpunkt, Hochpunkt, Nullstelle, Tiefpunkt, Nullstelle, jeweils im Abstand einer Viertelperiode.
16Wo liegt der Startpunkt?AFB II
Bestimme den Startpunkt von \(f(x)=\sin(x+3)\) und stelle den Regler darauf.
17Wo liegt die Mittellinie?AFB II
Ordne jede Funktion der passenden Gruppe zu.
Ziehe jede Karte in den passenden Korb — oder wähle sie mit Enter aus und drücke dann die Ziffer des Korbs.
1Mittellinie oberhalb der \(x\)-Achse
2Mittellinie ist die \(x\)-Achse
3Mittellinie unterhalb der \(x\)-Achse
Ausschlaggebend ist allein der Summand \(d\) ganz am Ende. Steht dort nichts, ist \(d=0\) und die \(x\)-Achse übernimmt die Rolle der Mittellinie — auch dann, wenn der Term wie in der vierten Karte kompliziert aussieht.
18Die Zeichnung von \(f(x)=2\sin(x)+3\)AFB III
Baue die vier Schritte mit den richtigen Zahlen zusammen.
Vier Plätze von oben nach unten. Klick legt den Baustein auf den nächsten freien Platz, Klick im Bauplan legt ihn zurück.
Mit \(a=2\), \(b=1\), \(c=0\) und \(d=3\) ergibt sich: Mittellinie \(y=3\), Startpunkt \(x=0\), Periode \(\frac{2\pi}{1}=2\pi\) und damit Nullstellenabstand \(\pi\), Extrempunkte bei \(3\pm 2\), also \(y=5\) und \(y=1\). Die drei übrigen Bausteine verwechseln jeweils \(a\) mit \(d\) oder verdoppeln \(b\).
19Nullstellenabstand als Vielfaches von \(\pi\)AFB II
Bei \(f(x)=\sin(4x)\) haben zwei benachbarte Nullstellen den Abstand \(\frac{z}{n}\cdot\pi\). Gib den vollständig gekürzten Bruch an.
Trage Zähler und Nenner ein — vollständig gekürzt. Enter prüft.
Die Periode ist \(\frac{2\pi}{4}=\frac12\pi\). Zwei benachbarte Nullstellen liegen eine halbe Periode auseinander, also \(\frac14\pi\approx 0{,}79\). Wer die Halbierung vergisst, kommt fälschlich auf \(\frac12\pi\).
20Rückwärts: von den Nullstellen zu \(b\)AFB III
Eine Funktion der Form \(f(x)=a\cdot\sin\big(b\cdot(x+c)\big)+d\) mit \(b>0\) hat benachbarte Nullstellen im Abstand \(\tfrac14\pi\).
Berechne \(b\).Nur die Zahl eintragen. Enter prüft.
Der Nullstellenabstand ist die halbe Periode, also ist \(p=2\cdot\frac14\pi=\frac12\pi\). Aus \(\frac{2\pi}{b}=\frac12\pi\) folgt \(b=\frac{2\pi}{0{,}5\pi}=4\). Probe: \(\sin(4x)\) hat Nullstellen bei \(0\), \(\frac14\pi\), \(\frac12\pi\), … — genau im geforderten Abstand.